线性连续系统的离散化课件
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第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
(第8讲)离散系统状态方程及解
1 1
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , tt ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
零输入响应自由响应零状态响应强迫响应tgq77126com状态转移矩阵就是将系统由一个状态转移到另外一个状态即制理论上叫状态转移矩数学上叫矩阵指数控tgq77126com信号在时间上不连续的信号叫离散信号
Modern Control Theory
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , tt ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
零输入响应自由响应零状态响应强迫响应tgq77126com状态转移矩阵就是将系统由一个状态转移到另外一个状态即制理论上叫状态转移矩数学上叫矩阵指数控tgq77126com信号在时间上不连续的信号叫离散信号
Modern Control Theory
线性连续系统状态空间模型的离散化 (minimizer)(课堂PPT)
根据精确法计算式有
1 (1-e2T)/2
G(T)(T)0
e2T
T
T1
H(T)0(t)dBt00
(1-ee22tt)/2dt10142T2(-1(-1e-e2 T2)T)
于是该连续系统的离散化状态方程为 1(1 -e 2 T )/2 T /2 -(1 -e 2 T )/4
➢ 考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
( k 1 ) T
x (k ( 1 ) T ) Φ ( T ) x ( k) TΦ [k ( 1 ) T τ ]τ B d u ( k)T kT
➢ 对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
T
x (k ( 1 )T ) Φ (T )x (k)T 0Φ (t)dB u t(k)T
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
Ch.3 线性系统的时域分析
.
1
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 本章小结
.
目录(1/1)
2
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程: x00 12x10u
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
最新第5章数字控制系统的连续——离散化设计PPT课件
（5）再设计
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10
连续系统离散化.ppt
n (T )u(kT)
已知控制系统框图如下图，求该系统的仿真模 型。
R+ e
1
y
s(s 2)
-
R + e e(kT)
1
y
H (s)
s(s 2)
-
1 2
e
1 x1
s
y
1
1 x2
2
s2
e R y
y x1 x2
1
x1 x2
0 0
0 2
连续系统的离散化
③ 在系统的输出端也加一只采样开关S2，它 应该与输入端的开关同步，则y(t)变成了 y(k)。
④ 对u(k)及y(k)分别取Z变换，可得U(z)及 Y(z)，而Y(z)/U(z)=G(z)，它就是与原系统 等价的离散模型。
⑤ 如果要获得可在数字计算机上进行计算的 差分方程，只要对G(z)取一次Z反变换就 行了。
1
s
T (3z 1) 2z(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1
yk
3 2 Tuk
T 2
uk 1
采用三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
1
e s
Ts
2
1
s
T (z 1) 2(z 1)
常用环节的离散相似模型
eaT
yk
k a
(1 eaT
)uk
常用环节的离散相似模型
三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
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主要推荐?
精确离散化方法(1/4)
1. 精确离散化方法
所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是
利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状 态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即
C(T)=C D(T)=D 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样
周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 下面介绍两种离散化方法: 精确法、 近似法。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态 空间模型。 下面分别针对 线性定常连续系统和 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
精确离散化方法(2/4)
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的 采样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出 等价的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间 的关系式。
为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足 如下条件和假设。
在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。
为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。
由此,提出了连续系统的离散化问题。 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机
保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采
样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有
u(t)=u(kT) kT≤t<(k+1)T
线性连续系统状Leabharlann 空间模型的离散化(5/5) 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 整个系统工作于单一的离散状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为
G(T)=(T)=eAT
H(T)
T
Φ(t)dtB
T eAtdtB
0
0
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]dτ Bu(kT) kT
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) 0 Φ(t)dtBu(kT)
将上式与线性定常离散系统的状态方程
x
0 0
1 0 2x 1u
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
Φ(t)
L1[(sI
-
A)1]
L1
s 0
-1 1 1 s 2 0
(1- e2t )/2
e2t
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1- e2T )/2
G(T ) (T ) 0
e2T
T
T 1
H (T ) 0 (t)dtB 0 0
主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采
样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型:
x((k 1)T ) G(T )x(kT) H (T )u(kT) y(kT) C(T )x(kT) D(T )u(kT)
分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5)
图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。
u(t) 保持器
连续系统 x(t)
y(t) 保持器
x(k)
u(k)
y(k)
D/A 数字 A/D 计算机
图 3-3 连续系统离散化的实现
精确离散化方法(1/4)
1. 精确离散化方法
所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是
利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状 态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即
C(T)=C D(T)=D 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样
周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 下面介绍两种离散化方法: 精确法、 近似法。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态 空间模型。 下面分别针对 线性定常连续系统和 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
精确离散化方法(2/4)
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的 采样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出 等价的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间 的关系式。
为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足 如下条件和假设。
在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。
为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。
由此,提出了连续系统的离散化问题。 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机
保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采
样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有
u(t)=u(kT) kT≤t<(k+1)T
线性连续系统状Leabharlann 空间模型的离散化(5/5) 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 整个系统工作于单一的离散状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为
G(T)=(T)=eAT
H(T)
T
Φ(t)dtB
T eAtdtB
0
0
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]dτ Bu(kT) kT
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) 0 Φ(t)dtBu(kT)
将上式与线性定常离散系统的状态方程
x
0 0
1 0 2x 1u
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
Φ(t)
L1[(sI
-
A)1]
L1
s 0
-1 1 1 s 2 0
(1- e2t )/2
e2t
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1- e2T )/2
G(T ) (T ) 0
e2T
T
T 1
H (T ) 0 (t)dtB 0 0
主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采
样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型:
x((k 1)T ) G(T )x(kT) H (T )u(kT) y(kT) C(T )x(kT) D(T )u(kT)
分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5)
图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。
u(t) 保持器
连续系统 x(t)
y(t) 保持器
x(k)
u(k)
y(k)
D/A 数字 A/D 计算机
图 3-3 连续系统离散化的实现