线性定常连续系统的离散化
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.线性系统的状态空间表达式如下，则系统能控能观子空间为（）维系统。
【图片】答案:22.已知线性定常系统的状态方程如下，状态反馈阵【图片】（）使闭环系统极点配置为【图片】。
【图片】答案:3.下列语句中，正确的是（）。
答案:系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的。
4.线性系统的状态空间表达式为如下，则系统的模拟结构图为（）。
【图片】答案:5.系统方框图，如下图所示，则根据系统方框图建立的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:6.已知机械系统如下图所示。
其中质量块m受到外力u(t)的作用产生位移y(t)，质量块m与地面之间无摩擦。
以外力 u(t)为输入信号，位移y(t)为输出量，系统状态空间模型为（）。
【图片】答案:7.若A、B是方阵，则必有【图片】。
答案:错误8.已知单输入单输出系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:9.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:10.原系统传递函数阵的阶数一定高于能控能观子系统传递函数的阶数。
答案:错误11.带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数矩阵。
答案:正确12.带状态观测器的状态反馈系统，观测器的极点会全部被闭环系统的零点相消。
答案:正确13.单输入-单输出线性时不变系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为（）。
答案:14.系统方框图如下所示，则系统的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:；15.RLC电路网络如下图所示，其中【图片】为输入电压, 【图片】为输出电压。
选择状态变量【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
【图片】答案:16.已知单输入单输出系统的微分方程为【图片】，则系统状态空间模型为（）。
答案:17.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式的对角型实现为（）。
答案:18.已知非线性系统的微分方程为【图片】，则利用近似线性化方法得到系统的局部线性化状态方程是（）。
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.下列语句中，不正确的是（）。
A:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
B:现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统；C:20世纪50年代中期，空间技术的迅速发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题；D:在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法；答案:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
2.通过测量输出量，产生一个与输出信号存在函数关系的信号的元件称为（）。
A:给定元件B:放大元件C:反馈元件D:比较元件答案:比较元件3.闭环控制系统的控制方式为（）。
A:按扰动信号控制B:按输入信号控制C:按偏差信号控制D:按反馈信号控制答案:按偏差信号控制4.经典控制理论描述系统的数学模型是由高阶线性常微分方程演变来的传递函数，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:单输入单输出系统C:线性定常系统D:多输入多输出系统答案:单输入单输出系统;线性定常系统5.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:线性时变系统C:多输入多输出系统D:线性定常系统答案:非线性系统;线性时变系统;多输入多输出系统;线性定常系统第一章测试1.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的（）A:对 B:错答案:对2.多输入-多输出系统的U-Y 间的传递函数为（）A:错 B:对答案:对3.由一个状态空间模型可以确定多个传递函数。
第三章线性系统状态方程的解
第三章 线性系统的运动分析§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x =２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中Ate 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=kk t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，则+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=kk t b t b t b b A故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K2且有0)0(b x =。
故+++++=kk t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21 )0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义：∑∞==+++++=022!1!1!21K k k k k Att A k t A k t A At I e则)0()(x e t x At ⋅=。
（２）拉氏变换解法将Ax x= 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ⋅-=-拉氏反变换，有)0(])[()(11x A sI L t x ⋅-=-- 则])[()(11---==A sI L e t At φ【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
线性系统理论第一章
第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析1.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述局部的,有局限性的描述传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.常用的数学工具:拉普拉斯变换主要适用于描述线性定常系统1.单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统其中 : 系统的输出 ; :系统的输入; : 时间; 均为常数 ,(希望input少,收益大)假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到其中为的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :传递函数为的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.系统的特征多项式: 多项式系统的特征方程 : 代数方程系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点系统的零点 : 多项式的零点传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称系统有零极点相消)2.传递函数矩阵考察多输入--多输出的线性定常系统.令输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .用和分别表示和的拉普拉斯变换, 表示系统的由第个输入端到第个输出端的传递函数,其中则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:称由上式所定义的为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为的一个有理分式矩阵. 当的元传递函数除严格真还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称为真有理分式矩阵.通常,当且仅当为真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.作为一个判别准则,当且仅当零阵时, 为严格真的;非零常阵传递函数矩阵为真的.1.2 线性定常系统的状态空间描述1. 状态和状态空间定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,其中为初始时刻由初始变量构成的列向量称为系统的状态向量,简称为状态.状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间.几点解释:1. 状态向量组可完全的表征系统行为的属性.2. 状态变量组的最小性.3. 状态变量组在数学上的特征.4. 状态变量组包含了系统的物理特征.5. 状态变量组选取上的不唯一性定理1.1 系统任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异的关系2.动态系统的状态空间描述和输入--输出描述不同,状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更加细致的过程,输入引起系统状态的变化,而状态和输入则决定了输出的变化."输入"引起"状态"的变化 ( 一个运动的过程)数学上必须采用微分方程或差分方程来表征并且称这个数学方程为系统的状态方程考虑最为一般的连续动态过程: (一个一阶非线性时变微分方程组)进而,在引入向量表示的基础上,还可将状态方程简洁的表示为向量方程的形式:其中"状态"和"输入"决定"输出"的变化 (一个变量见的转换过程)描述这种转换过程的数学表达式为变换方程,并且称之为系统的输出方程或量测方程.最一般的,一个连续的动力学系统的输出方程具有以下形式:表示为向量方程的形式为其中系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成.离散动态过程(离散系统)的状态空间的描述: 只在离散时刻取值,用来表示其状态空间过程描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系.通常,可采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述:一是分析途径,适用于结构和参数已知的系统;二是辨识的途径,适用于结构和参数难于搞清楚的系统.3.线性定常系统的状态空间描述限于考虑线性定常系统的连续动态过程,此时,向量函数将都具有线性的关系,且不显含时间 .从而线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量系统矩阵输入矩阵输出矩阵前馈矩阵以上统称为系统的系数矩阵,均为实常阵.线性定常系统也叫做线性时不变系统(linear time-invariant L TI),完全由系数矩阵决定.简记为.对于线性定常系统,我们分别称系统矩阵的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式为系统的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式,系统的特征值也称作系统的极点.若,则此系统为单输入线性定常系统;若,此系统为单输出线性定常系统;若,此系统为单输入--单输出系统,或单变量系统.考虑线性定常离散系统的状态空间描述,其一般形式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量阶实常系数矩阵简记为1.3 输入输出描述导出状态空间描述------------- 系统的实现问题(第五章详解)考虑单输入--单输出线性定常系统.表征此系统动态过程的输入-输出描述,时域为或等价的频域描述即传递函数其中和分别表示和的拉普拉斯变换对于由上式描述的系统,可以引进状态变量 ,将其写成状态空间描述形式,其中为维状态变量分别为的常矩阵由"上"写成"下",称为实现问题,实现不具有唯一性1. 当时,有如下结论:定理1.2 给定单输入--单输出线性定常系统的输入输出描述如"上",当时,其对应的一个状态空间描述为:2. 当时,已知"上"求其状态空间描述.先求极限然后令为严格真,直接按的形式写出即可.3. 当时, 此时输入输出关系为此时状态空间描述形式为:1.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入--多输出线性定常系统,传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本的形式.1. 传递函数矩阵的表示的基本表达式定理1.3 对应于状态空间描述的传递函数矩阵为并且 ,当时, 为真的 , 时, 为严格真的,且有2.的实用关系式有给出的关系式在理论分析上很重要,但从计算的角度而言不方便,下面给出由计算的两个实用算式.定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵 , 求出则相应的传递函数矩阵可表示为注: 的根 : 系统的极点 ; 分子的根 : 系统的零点推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为2. 脉冲响应矩阵和状态空间描述定理1.11 线性定常系统其中的实常阵的脉冲响应矩阵为将其写作更为常用的形式定理1.12 两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵.定理1.13 两个代数等价的线性定常系统具有相同的输出零状态响应和输出零输入响应.3. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵定理1.14 分别表示线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵,则有推论1.2 给定两个线性定常系统 ,设两者都具有相同的输入和输出维数,状态维数不一定相同,则两系统具有相同的脉冲响应矩阵(即相同的传递函数矩阵)的充要条件为1.8 线性定常离散系统的运动分析归结为对定常的线性差分方程进行求解.1. 线性定常离散系统的运动规律对于上述系统,其状态运动的表达式为或2. 脉冲传递函数矩阵取初始状态 , 则可得到系统的输入输出关系式为其中为线性定常离散系统的传递函数矩阵, 按习惯称为脉冲传递函数矩阵.G(z) 为 z 的有理分式矩阵,通常只讨论其为真的或严格真的情况,此时 G(z) 为物理可实现的. 1.9 线性定常系统的时间离散化1. 问题的提出把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题. (课本P22 或百度文库)2.线性定常系统按采样周期T的离散化线性定常系统引入三点基本假设,以保证系统离散化后的描述简单,且是可复原的1. 采样器的采样方式取为以常数 T 为周期的等间隔采样. 采样瞬时为2. 保持器为零阶的.3. 采样周期的值要满足香农(Shannon)采样定理所给出的条件香农定理:离散信号可以完满地复原为原来的连续信号的条件为采样频率满足.考虑到 , 故上式可化为定理1.15 上述系统的时间离散化模型为其中注 :定理1.15提供了线性定常连续系统时间离散化的算法, 离散化系统仍为定常系统.不管A是否奇异,离散化后系统矩阵G一定是非奇异的.。
计算机控制技术-13离散系统的能控(观测)性及稳定性
rank
CG
CG 2
2 rank 1
4
0 2 0
0 0 2 3 0
系统状态 不完全能观测
0 4 0
3/3/2020
12
3、能观测性判别准则二（标准型法） 同线性连续定常系统的标准型判据：
1）对角线标准型：特征值互异时，C中不包含元素全为0的列； 重特征根时，一定不可观测。
（1）
如果G非奇异阵，则式(1)是系统状态完全能控的充分必要条件； 如果G是奇异阵，则式(1)是系统 状态完全能控的充分条件。
3/3/2020
3
线性定常离散系统 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
k 1
解为 x(k) G k x(0) G ki1Hu(i) i0
n1
端状态的控制序列是否存在，不涉及具体转移几步。 2）对于n阶SI定常系统，若在第n步上不能将初始状态（零
态）转移到零态（任意终端状态），则在n+1及以后的任 何一步都不能转移。
[例]：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能达性和能控性。
x1(k 1) 1 0 0 x1(k) 1
所以 x(n) G n x(0) G ni1Hu(i) i0
证明：对能达性，有 x(0) 0
n1
所以 x(n) G ni1Hu(i) G n1Hu(0) GHu(n 2) Hu(n 1) i0
u(n 1)
H GH Gn1H
统，也可能可控。所以：可达系统一定可控，可控系统
不一定可达。
结论2：如果一个离散时间系统为连续时间线性时不变系统的时
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例3-7 试用离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状 态方程:
0 1 0 x x u 0 2 1
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
1 s 2 s 1 1 Φ(t ) L [(sI A) ] L L 0 0 s 2 s ( s 2 )
x(t ) Φ(t t0 )x(t0 ) Φ(t τ ) Bu(τ )dτ
t0 t
现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1) )x(kT )
y( k)
连续系统离散化的实现
线性定常连续系统的离散化(4/10)
在离散化之后, 系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和 输出变量的值保持不变。
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周 期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
( k 1)T
kT
Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
线性定常连续系统的离散化(8/10)
对上式作变量代换, 令t (k1)T, 则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dt Bu(kT )
0
T
于是有
G(T) (T) eAT
T T H (T ) Φ(t )dt B e At dt B 0 0
上两式即为离散化法的计算式
线性定常连续系统的离散化(9/10)
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量, 又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况
线性定常连续系统的离散化(2/10)
对于第二种情况的系统, 其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法, 要求整个系统统一用离散状态方程来描述 由此, 提出了连续系统的离散化问题
1 1 1 1
1 s
1 0.5 0.5 2t 1 0 . 5 ( 1 e ) 1 s s s 2 L 2t 1 e 0 0 s2
在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程, 或者进行计算机控制 时, 都会遇到离散化问题
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
u(t)
连续系统
x(t)
y( t )
保持器 u(k) D/A x( k)
采样
数字 A/D 计算机
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程, 其离散化后应保持不变, 即 C(T) C D(T) D 离散化主要针对连续系统状态方程(A, B)如何通过采样 周期T, 变换成离散系统状态方程(G, H)
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
线性定常连续系统的离散化(1/10)
3.3 线性定常连续系统的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况:
整个系统工作于单一的离散状态 对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量, 如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态