3.3 线性定常连续系统的离散化
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学绪论单元测试1.下列语句中，不正确的是（）。
A:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
B:现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统；C:20世纪50年代中期，空间技术的迅速发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题；D:在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法；答案:现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，可以解决经典控制理论不能解决的所有控制难题。
2.通过测量输出量，产生一个与输出信号存在函数关系的信号的元件称为（）。
A:给定元件B:放大元件C:反馈元件D:比较元件答案:比较元件3.闭环控制系统的控制方式为（）。
A:按扰动信号控制B:按输入信号控制C:按偏差信号控制D:按反馈信号控制答案:按偏差信号控制4.经典控制理论描述系统的数学模型是由高阶线性常微分方程演变来的传递函数，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:单输入单输出系统C:线性定常系统D:多输入多输出系统答案:单输入单输出系统;线性定常系统5.现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分，比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，适合分析和设计下列哪种系统（）A:非线性系统B:线性时变系统C:多输入多输出系统D:线性定常系统答案:非线性系统;线性时变系统;多输入多输出系统;线性定常系统第一章测试1.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的（）A:对 B:错答案:对2.多输入-多输出系统的U-Y 间的传递函数为（）A:错 B:对答案:对3.由一个状态空间模型可以确定多个传递函数。
线性定常连续系统的离散化
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
e 2T
H (T )
T
(t)dt B
0
T 1 0 0
0.5(1 e2tபைடு நூலகம்e2t
)dt
0 1
1 4
2T (1 e2T
2(1 e2T )
)
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 e2T )/2
T/2 (1 e2T )/4
x(k 1) 0
e 2T
x(k)
(1 e2T )/2
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
➢ 现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
u(t) 保持器
连续系统 y(t)
x(t)
x(k) u(k)
数字 D/A 计算机 A/D
连续系统离散化的实现
采样 y(k)
线性定常连续系统的离散化(4/10)
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
第三章 系统的运动与离散化
第三章系统的运动与离散化一、主要内容1.线性定常系统的自由运动1)线性定常系统自由运动的定义2)线性定常系统自由运动方程3)线性定常系统自由运动方程的解2.矩阵指数函数和状态转移矩阵1)矩阵指数函数的概念2)状态转移矩阵的概念、定义条件和性质3)矩阵指数函数（状态转移矩阵）的计算方法4)几个特殊的矩阵指数函数3.线性定常系统的受控运动1)线性定常系统受控运动的定义2)线性定常系统受控运动方程3)线性定常系统受控运动方程的解4.线性定常离散系统的状态空间描述及其状态方程的解1)线性定常离散系统状态空间表达式的建立2)线性定常离散系统状态方程求解5.线性连续系统离散化二、教学基本要求1、正确理解矩阵指数函数（状态转移矩阵）的概念、涵义和特点。
2、熟练掌握求解状态转移矩阵（矩阵指数函数）的不同方法。
3、熟练掌握求解线性定常系统的自由运动和受控运动的解，理解其解的涵义。
4、熟练掌握线性连续系统离散化方面的知识。
了解连续系统离散化的条件，熟练掌握将线性连续系统进行离散化的方法。
三、重点内容概要1.线性定常系统的自由运动线性定常系统自由运动 线性定常系统在没有控制作用时，即系统输入为零时，由初始条件引起的运动成为自由运动。
自由运动方程 线性定常齐次状态方程AX X= （3.1） 自由运动的解（零输入响应） 线性定常齐次状态方程AX X= 的解称为自由运动的解。
解：（1）若A 为标量，有axx= ，解方程得：adt x dx ax dtdx ax x=⇒=⇒=若初始时刻0t t =，则)(00)(ln t t a Cex C t t a x -=⇒+-=已知：00)(x t x =0000)(!)]([0x i t t a x ex i it t a ∑∞=--==∴（2）若A 为方阵，同理解：0)(0000!)]([)(X eX i t t A t X t t A i i-∞==-=∴∑若初始时刻t 时的状态给定为00)(X t X =，则自由运动方程的解：0)(0)(X et X t t A -=（3.2）其中)(0t t A e -为矩阵指数函数。
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
计算机仿真技术基础第4章 连续系统模型的离散化处理方法
第四章 连续系统模型的离散化处理方法
第一节 第二节 第三节 替换法 离散相似法 根匹配法
４.1
替换法
传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述 形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系 统为Ｚ域的脉冲传递函数Ｇ(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型 G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将 Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系 统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数Ｇ(Z)。 然后，再由Ｇ(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离 散模型——差分方程，从而快速求解。
C C C D D C Z e T Z Y (Z ) A A A B B A U(Z ) Z e T
D C D C T Z e B A B A Z e T
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) e
计算机仿真技术基础
第四章
连续系统模型 的离散化处理方法
第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高, 但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的 实时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算 法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算 方法。 本章介绍对连续系统模型进行离散化处理， 得到一个“等效”的结构比较简单的离散化模型， 便于计算机求解，运行速度较快，又称为“快速 计算方法”。 连续系统模型的离散化方法主要有替换法、 离散相似法和根匹配法。
2 1 S
TS 2TS 1 TS 1 2e e 2 STS
1Z
1 2 1
1 3 2 S TS
2 ( Z 1) TZ
2 1 2 1 T Z ( Z 1) 1 Z 3 T
连续系统离散化方法
5.2.1
连续系统离散化方法
1、反向差分变换法
对于给定的
D( s) =
U ( s) 1 = E (s) s
（5.1）
du (t ) = e(t ) ，用反向差分代替微分，得 其微分方程为 dt du (t ) u (k ) − u (k − 1) ≈ = e( k ) dt T
对（5.2）式两边取 Z 变换得： (1 − z )U ( z ) = TE ( z ) ，即
上式可以写成
1⎞ ⎛ ⎛1⎞ 2 ⎜σ − ⎟ + ω < ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠
2
2
由上式可以看出， s 平面的稳定域映射到 z 平面上以 σ = 1 / 2 ， ω = 0 为圆心， 1 / 2 为半 径的圆内，如图 5-3 所示。
jω
Im
ω =0
σ
Re
z =1
图 5-3 反向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 反向差分变换方法的主要特点如下： ①变换计算简单； ②由图 5-3 看出， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果
⎛ z −1⎞ Re ⎜ ⎟<0 ⎝ T ⎠
令 z = σ + jω ，则上式可以写成
⎛ σ + jω − 1 ⎞ Re⎜ ⎟<0 T ⎝ ⎠
因为 T > 0 ，则有 σ − 1 < 0 即 σ < 1 ，如图 5-4 所示。
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y(k)
连续系统离散化的实现
线性定常连续系统的离散化(4/10)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质, 就是在一定的 采样方式和保持方式下, 由系统的连续状态空间模型来导出 等价的离散状态空间模型, 并建立起两者的各系数矩阵之间 的关系式 为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如 下条件和假设 在离散化之后, 系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
( k 1)T
Φ[( k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
kT
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
kT
线性定常连续系统的离散化(8/10)
对上式作变量代换, 令t (k1)T, 则上式可记为
1 s 2 L s ( s 2) 0
1
1 s
0.5 1 0.5 1 0.5(1 e 2t ) 1 s2 L s s 2t 1 e 0 0 s2
பைடு நூலகம்
线性定常连续系统的离散化(10/10)
对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量, 又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况
线性定常连续系统的离散化(2/10)
对于第二种情况的系统, 其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法, 要求整个系统统一用离散状态方程来描述 由此, 提出了连续系统的离散化问题
Ch.3 线性系统的时域分析
线性定常连续系统的离散化(1/10)
3.3 线性定常连续系统的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况:
整个系统工作于单一的离散状态 对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量, 如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态
根据计算式有
1 0.5(1 e 2T ) G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dt B
0 T T
0
1 0.5(1 e 2t ) dt 2t e 0
2T 0 1 2T (1 e ) 1 4 2(1 e 2T )
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
线性定常连续系统的离散化(5/10)
采样周期T的选择满足香农(Shannon)采样定理, 即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率 满足上述条件和假设, 即可推导出连续系统的离散化的状态 空间模型
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型
x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dt Bu(kT )
0 T
于是有
G(T) (T) eAT
T (t )dt B T e At dt B H (T ) Φ 0 0
上两式即为离散化法的计算式
线性定常连续系统的离散化(9/10)
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程, 其离散化后应保持不变, 即 C(T) C D(T) D 离散化主要针对连续系统状态方程(A, B)如何通过采样 周期T, 变换成离散系统状态方程(G, H)
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程, 或者进行计算机控制 时, 都会遇到离散化问题
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
连续系统
u(t) x(t) 保持器 u(k) D/A x(k) 采样 y(t)
数字 A/D 计算机
例3-7 试用离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状 态方程:
0 x 0 1 0 x u 2 1
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
s 1 Φ(t ) L [(sI A) ] L 0 s 2
1 1 1 1
x(t ) Φ(t t0 )x(t0 ) Φ(t τ ) Bu(τ )dτ
t0 t
现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 e 2T ) / 2 T/ 2 (1 e 2T ) / 4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 e ) / 2