二离散化方法 - 360文档中心

离散化方法

最重要、最复杂的约束条件
对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与外界联系和相互作用的规律
往往影响数值计算的成败
边界条件
边界条件分类:
第一类边界条件
具有相对性
边界上给定待求变量的函数关系
第二类边界条件边界上给定待求变量梯度的函数关系
第三类边界条件边界上给定待求变量与其梯度之间的函数关系
常用边界条件举例
恒壁温边界条件恒热流边界条件绝热边界条件入口出口边界条件对称边界条件周期性边界条件
2u = 1 p = C
y2 x
两次不定积分
u y
=
C
y
c1
u= C
y2 2
c1 y c2
平板边界条件 y 0,u 0; y h,u 0
解析解
u= C y2 h
2
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
(cpT
t
)
=
x
T x
y
T y
ST
沿x方向一维无源稳态导热
T y
ST
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u
t
u
x
v
y
x
x2
y2
v t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
沿x方向压力梯度为定值的平板定常层流
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
常用边界条件举例
对称 ①
Tair ⑤
T、 oil
p
②
绝热
④

第6章连续系统的离散化方法及近似解

第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。

离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。

本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。

连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。

其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。

具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。

Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。

常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。

有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。

以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。

离散化方法总结

离散化方法1引言2离散化方法模拟调节器的离散化方法有许多种，下面介绍几种常用的离散化方法。

2.1差分变换法当模拟调节器采用微分方程来表示时，其导数可以用差分方程近似。

假设通过模拟化的设计方法得到了一个控制器的传递函数，首先将传递函数转化成相应的微分方程，然后通过常用的差分近似方法对导数进行离散化，常用的差分近似有前向差分和后向差分两种。

为了便于编程，通常采用后向差分法。

(1) 一阶后向差分一阶导数采用的近似算式如下()(1)du u k u k dt T--≈(1) (2) 二阶后向差分二阶导数采用的近似算式如下22()()2(1)(2)d u t u k u k u k dt T --+-≈(2) 其中 T 为采样周期。

2.2 零阶保持器法零阶保持器法又称为阶跃响应不变法，其基本思想是：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。

其中采用的零阶保持器的传递函数为1()Tse H s s--=(3) 其中，T 为采样周期。

假设一个模拟控制器的传递函数为D (s)，采用零阶保持器法对其进行离散化时，应将H(s)包含在内，即：()[()()]D z Z H s D s =2.3 双线性变换法(Tustin 变换法)双线性变换法又称为Tustin 变换法，它是直接将s 域函数转化成z 域的一种近似方法。

已知一个连续传递函数D (s)，则D (z)为211()()z s T z D z D s -=+=其中，T 为采样周期。

3 计算机辅助设计已知一个连续控制器的传递函数为20.5()(1)s D s s +=+，分别采用零阶保持器法和双线性变换法求出相应的离散化函数D(z)。

3.1 MATLAB中传递函数的表示方式及c2d命令(1)传递函数的表示方式在MA TLAB中可以采用多种方式来表示传递函数，这里介绍系数法(tf)和零极点增益法(zpk)。

采用系数法来表示D(s)，在MA TLAB命令行中输入如下指令，得到相应的结果>> H=tf([1 0.5],[1 2 1])Transfer function:s + 0.5-------------s^2 + 2 s + 1采用零极点增益法来表示D(s)>> H=zpk(-0.5, [-1, -1], 1)Zero/pole/gain:(s+0.5)-------(s+1)^2两者结果一样。

哈密顿算符公式

计算流体在边界层内流动，需要求出运动微分方程中各项的系数，这些系数不仅与流体的物理性质有关，而且还与作用在流体上的力有关。

为此，常用将各种作用力和流体之间的摩擦力看成一个独立因素处理，得到的各项系数，分别表示流体对作用力的抵抗能力，称为哈密顿算符(hb)。

通过分析边界层内流动，可以证明出流体的不稳定性。

当存在边界层的时候，一般认为微分方程中的边界层外项无法表示流体的不稳定性，需要引入新的非线性因素来描述流体的运动状态。

一、概述。

运动学的两类方法：牛顿法(thenewtonian)和拉格朗日法(thelaglian)是工程上常用的两种计算流体运动微分方程的方法，它们都假设流体是连续、均匀、各向同性的，并且已知作用于流体上的力和流体本身所受的力。

两者最大的差别就是拉格朗日法把流体当做弹性介质来处理，从而忽略了流体粘性;而牛顿法则将流体视为固体来处理，忽略了粘性。

因此，前者的变形可以完全解耦，后者则只能部分解耦。

二、离散化方法。

将流体的运动微分方程离散成相互独立的流体质点运动方程。

此方法的优点是计算量小，适用于计算流体边界层内流动。

因此，现代数值计算机技术发展很快，在不断改进算法，降低计算复杂度。

三、离散哈密顿算符公式。

离散哈密顿算符公式，就是将边界层外流体的速度分布采用哈密顿分布，使得由于质点速度的随机变化而引起的各项的频率增加，从而减少了对频率的依赖性。

它用伯努利方程和流函数表示为：四、哈密顿算符公式的应用。

由于在一定条件下能够说明流体边界层稳定性，因此，有效地考虑边界层对流场特性的影响，其实质是求出边界层的哈密顿算符。

数据处理中的数据规约和离散化技术(三)

数据处理中的数据规约和离散化技术在如今数据爆炸的时代，大量的数据被生成和收集，如何高效地处理和分析这些海量数据成为了一个重要的问题。

数据处理中的数据规约和离散化技术正是其中的两项重要技术。

一、数据规约技术数据规约是指将大量的数据通过某种方法转化为更小且有代表性的数据集。

数据规约技术可以大大减少数据处理的复杂度，从而提高效率。

在数据规约中，常用的方法有：特征选择、数据采样和维度约减。

特征选择是指根据某种评价标准，选择出对任务或领域最有影响力的特征。

通过特征选择，可以减少数据维度，提高数据的可解释性和可用性。

常见的特征选择方法有过滤式、包裹式和嵌入式方法。

过滤式方法通过统计指标或数据属性进行特征选择，包裹式方法通过建立模型评估特征的重要性，而嵌入式方法则是将特征选择和模型构建过程融合在一起。

数据采样是指从大规模数据集中选择出代表性的样本集。

数据采样可以降低数据处理的计算和存储成本，同时保持数据的分布特征。

常见的数据采样方法有随机采样、聚类采样和流式采样。

随机采样是指根据一定的概率模型从数据集中随机选择样本，聚类采样是通过聚类算法从数据集中选择代表性的样本，而流式采样则是考虑到数据不断产生的特点，从流式数据中选择样本。

维度约减是指通过降低数据的维度来减少数据存储空间和计算复杂度。

维度约减常用的方法有主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）。

PCA是通过线性变换将原始数据集投影到低维空间，使得数据集在保持重要信息的同时减少冗余信息，而LDA则是通过线性变换将原始数据投影到一个低维子空间，并使得在此空间中的数据类别间的距离最大化。

二、离散化技术离散化是将连续型数据转化为离散型数据，是数据处理中常用的数据预处理技术。

离散化可以将数据中的噪声和异常值剔除，同时简化数据分析的复杂度。

常见的离散化方法有等宽离散化、等频离散化和基于聚类的离散化。

等宽离散化是指将一段连续的数值划分成若干等宽的区间，所有落在同一个区间内的数据被视为相同的类别。

大量数据处理中的离散化方法及其应用

大量数据处理中的离散化方法及其应用离散化是一种将连续变量转化为离散变量的方法，使得大量数据的处理变得更加简洁和高效。

在实际应用中，离散化方法被广泛应用于数据挖掘、统计学习、机器学习等领域。

本文将重点介绍离散化方法的基本原理和应用。

一、离散化方法的基本原理离散化方法是基于离散化技术实现的，它的基本原理是将连续变量转化为有限个离散变量。

通俗来说，就是将一个连续的数值型变量转换为一个分类变量。

离散化方法主要有两种方式：基于等距和基于等频。

基于等距的方法是按照值域范围等分成若干段，每一段的长度都相等。

基于等频的方法则是将数据按照出现频率的大小进行分组，使每组中的数据量大致相等。

在实际应用中，离散化方法的具体实现会根据数据的特性来决定采用哪种方式。

二、离散化方法的应用1. 减少计算量在大量数据的处理中，离散化方法可以帮助我们减少计算量。

将连续的变量（如年龄、工资等）转换为分类变量后，可以使得在处理大量数据时更加高效。

在数据挖掘、机器学习等领域中，通常会使用分类器对数据进行分类。

使用离散化方法可以将连续的变量转换为离散的分类变量，使得分类器可以更快地运行。

2. 处理数据异常值在实际数据中，经常会出现一些异常值（如年龄为负数等），这些异常值不仅会影响计算结果，还会消耗计算资源。

使用离散化方法，可以将这些异常值转换为边缘区间的数据，从而避免对计算结果的影响。

3. 数据可视化离散化方法还可以帮助我们进行数据可视化。

在实际处理数据时，我们经常需要对数据进行可视化分析。

使用离散化方法可以将连续变量转化为离散变量，使得数据在可视化中更加清晰、易于理解。

三、离散化方法存在的问题离散化方法虽然在实际应用中有很多的优点，但同时也存在一些问题。

其中主要包括：1. 信息损失问题离散化方法会将连续变量转化为离散变量，因此会产生信息损失。

这就意味着，在离散化后的数据中，有一些数值信息将被忽略。

2. 分类标准问题离散化方法的分类标准常常根据主观判断来确定，因此可能存在一定的主观性。

第二章离散化方法

1计算传热学第二章离散化方法任课教师：王增辉中科院研究生院物理科学学院2010年2中国科学院研究生院2010年春季方程求解的关键环节区域离散化的两种方法Taylor级数展开法控制方程离散化的控制容积法Taylor级数法和控制容积法比较四个基本原则本章主要内容3中国科学院研究生院2010年春季2.1 方程求解的关键环节建立恰当的数学模型Proper Mathematical Modelling对求解区域进行离散化处理Discretization of Computational Domain对数学模型进行离散化处理Discretization of Mathematical Model离散化(discretization）：将连续的数据用离散的数据来记录；在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接4中国科学院研究生院2010年春季离散化计算区域离散化控制方程离散化用时空点有限的计算域替代时空点无限的计算域用离散的状态变量分布去近似连续的状态变量分布所满足的基本方程确定拟求解那些时刻和那些位置的状态变量的数值大小，形成网格确定拟求解的那些有限时空点上的离散状态变量所应满足的方程，形成差分方程。

5中国科学院研究生院2010年春季计算区域(domain)网格线(grid line)：沿坐标轴线方向连接相邻节点所形成的曲线族格子（cell）节点(grid pointer，node, center node)：待求状态变量的空间位置；计算节点（computational node, FDM）；节点（FVM）控制容积(control volume，CV)界面(face)：包围节点的最小几何单元，或实施控制方程离散化的最小几何单元界面(控制容积面或控制体界面)：控制体的边界面计算区域边界节点控制体界面数值计算名词6中国科学院研究生院2010年春季区域离散化区域离散化：将求解区域划分为若干个互不重合的子区域（CV)；区域之间不重合子区域（sub-region)也称为控制容积（controlvolume)；并确定节点在每个子区域中的位置：需要给出节点位置坐标，这一过程称之为计算区域的离散化，或网格划分或网格生成技术区域离散化是用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解区域进行分割规则形状的计算域，容易实现区域离散化，一系列平行于坐标轴的曲线族就可实现网格划分；复杂的区域内不存在与坐标轴关联的简单又直观的网格划分方法7中国科学院研究生院2010年春季有限区域(finite domain)：求解区域（Computational domain）＝实际区域无限区域(infinite domain)：求解区域不等于实际区域；界定原则：计算结果不敏感原则，亦即求解区域的大小对计算结果没有明显的影响8中国科学院研究生院2010年春季首先，用一系列与坐标轴相应的直线或曲线把计算域划分成互不重叠，且覆盖整个计算域的一些小区域，这些小区域也称之为子区域。

数据处理中的数据规约和离散化技术(四)

数据处理中的数据规约和离散化技术在数据处理中，数据规约和离散化是两个重要的技术，它们能够有效地降低数据集的维度和复杂度，提高数据分析的效率和准确性。

本文将介绍数据规约和离散化的概念、方法以及在实际应用中的重要性。

一、数据规约的概念和方法数据规约是指通过去除冗余数据、合并相似数据以及抽取核心数据的方法，实现对数据集的压缩和简化。

数据规约可以减少数据的存储空间和处理时间，同时还能保持较好的数据准确性。

常用的数据规约方法包括：属性选择、维度规约和数值规约。

属性选择是通过选择与目标变量相关性较高的属性，将数据集的维度降低到较低的级别。

常见的选择方法有相关系数法、信息增益法和Chisquare法等。

维度规约则是通过将数据集中的维度进行合并和简化，使得数据集变得更易于理解和分析。

维度规约方法包括主成分分析、因子分析和奇异值分解等。

数值规约是通过将数据集中的数值进行精简和统计，减少数据的冗余和复杂性。

数值规约常用的方法有数据采样、数据聚集和数据压缩等。

二、离散化的概念和方法离散化是将连续型数据转换为离散型数据的过程，它能够将数据的取值范围划分为若干个离散的区间，从而降低数据的复杂性和计算成本。

离散化可以分为等宽离散化和等频离散化两种方法。

等宽离散化是将数据集的取值范围等分成n个区间，每个区间的取值范围相等。

这种方法适用于数据分布均匀的情况下，但对于数据分布不均匀的情况，则可能导致某些区间内的数据密度不均。

等频离散化是将数据集划分成n个区间，使得每个区间内的数据个数相等。

这种方法可以有效地保持数据的分布特点，但在数据集分布不均匀的情况下，可能导致某些区间内的数据过于密集或过于稀疏。

除了等宽离散化和等频离散化外，还有一些其他的离散化方法，如聚类离散化、基于决策树的离散化和基于直方图的离散化等。

三、数据规约和离散化的重要性数据规约和离散化在数据处理中具有重要的作用和价值。

首先，数据规约能够降低数据集的维度和复杂度，减少数据的存储空间和处理时间，从而提高数据分析的效率和准确性。