离散化原理及要求和常用的几种数值积分法
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
数值分析方法的核心在于将连续的数学问题转化为离散的计算问题，通过数值计算来逼近解析解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值分析方法的基本原理是利用数值计算来逼近解析解。
在实际问题中，很多数学模型很难或者无法得到精确的解析解，这时就需要借助数值分析方法来求解。
数值分析方法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、选择适当的数值计算方法、计算近似解并进行误差分析。
其中，离散化是数值分析方法的核心，它将连续的数学问题转化为离散的计算问题，从而使得问题可以通过计算机进行求解。
常用的数值分析方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
数值积分是一种通过数值计算来逼近定积分的方法，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解是解决微分方程数值解的常用方法，常用的数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
在科学计算中，数值分析方法常用于模拟物理现象、计算数学模型等。
在工程设计中，数值分析方法常用于求解结构力学、流体力学等问题。
在经济分析中，数值分析方法常用于求解经济模型、金融衍生品定价等问题。
总之，数值分析方法已经成为现代科学技术和工程技术中不可或缺的一部分。
综上所述，数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它的基本原理是利用数值计算来逼近解析解，常用的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解数值分析方法的基本原理和应用价值。
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
cfd离散的四项法则
CFD离散的四项法则1.离散化方法离散化是计算流体动力学（CFD）中的核心步骤，它涉及到将连续的物理空间和时间转化为离散的数值网格。
离散化的目的是将偏微分方程转换为数值求解的差分方程，以便在计算机上进行数值模拟和分析。
常见的离散化方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法各有优缺点，适用于不同的流动和几何形状。
2.离散格式在离散化过程中，需要对偏微分方程中的各个导数项进行离散化。
不同的离散格式会导致不同的数值精度和稳定性。
常见的离散格式包括中心差分格式、前向差分格式、后向差分格式和混合差分格式等。
选择合适的离散格式对于保证数值模拟的精度和稳定性至关重要。
3.时间积分方案时间积分方案决定了如何推进求解的进程，即在离散的时间步长上逐步求解离散的差分方程。
常见的时间积分方案包括隐式方案、显式方案和半隐式方案等。
隐式方案具有较高的稳定性和精度，但计算量较大；显式方案稳定性和精度较低，但计算量较小；半隐式方案则结合了隐式和显式的优点，具有较好的稳定性和精度，同时计算量也相对较小。
4.离散方程的求解方法在CFD中，离散方程的求解方法通常包括迭代法和直接法。
迭代法是通过不断迭代来逼近方程的解，常见的迭代法包括Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
直接法则是通过一定的算法直接求解方程的解，常见的直接法包括高斯消去法和LU分解法等。
选择合适的求解方法可以提高计算效率，并保证数值模拟的准确性。
以上是CFD离散的四项法则中各重要元素的简单概述。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的离散化方法、离散格式、时间积分方案和离散方程的求解方法。
在保证数值模拟的精度和稳定性的同时，提高计算效率是CFD模拟的关键。
随着计算机技术的不断发展，CFD的应用范围越来越广泛，CFD技术也面临着新的挑战和机遇。
未来，CFD技术将不断发展和完善，为流体动力学、气象学、环境科学等领域提供更加精确和可靠的数值模拟和分析工具。
数值计算方法及其在工程中的应用
数值计算方法及其在工程中的应用数值计算是以计算机为工具，通过数值分析、计算和模拟等手段，对实际问题进行数值模拟和解析的一种方法。
它在科学计算、工程技术和经济管理等领域都有广泛的应用。
本文将从数值计算方法的基本原理、常见方法及其在工程中的应用等方面进行探讨。
一、数值计算方法的基本原理1.数学模型数学模型是研究问题的基础。
它在数值计算中的作用，就相当于实验中的试验模型。
数学模型的形式很多，例如微分方程、积分方程、概率模型等等。
这些模型中的各个参量和变量都需要通过实际测量或计算得到。
2.离散化在数值计算过程中，数学模型需要离散化，将其转化为有限个变量的函数。
这样才能实现数值计算的可行性。
离散化一般是将问题分成若干个小部分，每个小部分单独处理，并用数值计算方法连接起来。
3.差分格式差分格式是数值计算的核心内容之一。
它是一种将微分方程转化为差分方程的方法。
在差分格式中，一般使用有限差分法，通过对问题进行离散，用有限差分法求得差分方程的解，然后通过插值等一系列方法将其还原为原问题的解。
4.误差分析误差分析是数值计算过程中必不可少的一部分。
由于数值计算不能完全精确，因此需要对数值结果的误差进行分析。
误差分为截断误差、舍入误差、稳定性误差等等。
误差分析不仅能够评估计算精确度，还能够指导计算过程的优化。
二、数值计算方法的常见方法1. 数值积分数值积分是数值计算的基本内容之一。
它的主要目的是从一定的数据集中寻找积分值。
数值积分算法常见的有梯形公式、辛普森公式、高斯公式等。
数值积分广泛应用于工程领域，特别是在机械工程、电力工程和天文学上，能够帮助工程师更好地处理与积分有关的问题。
2. 数值微分数值微分是利用离散化的方法，对微分算子逼近的一种方法。
数值微分算法常见的有欧拉法、龙格 -库塔法等。
数值微分主要在数值模拟和优化处理方面发挥作用，例如在工程领域应用中，可以帮助工程师根据实际数据得出微分值，以评估机器设备的效果。
离散化原理及要求和常用的几种数值积分法
a1k1h y f (t , y)
系统仿真
31
y (t h) y (t ) h bi ki y (t ) b1hk1 b2 hk2
i 1 y (t ) b1hf (t , y ) b2 h[ f (t , y ) c2 h t f (t , y ) a1k1h y f (t , y ) t ] y
i 1
r
其中r称为阶数，bi待定系数，ki由下式决定
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j ), i 1,2,3,...r
j 1
i 1
且定义C1=0
系统仿真
30
① r=1，此时c1=0，a1=0，k1=f(t,y)，则 y(t h) y(t ) hb1 f (t , y) 取b1=1，即得一阶龙格－库塔法 ② r=2 k1 f (t , y ) k 2 f (t c2 h, y (t ) a1k1h) 将 f (t c2h, y(t ) a1k1h) 在点(t,y)展开泰勒级数
2
令 b1 b2 ，得 a 1, b b 0.5, c1 1 1 1 2 所以
2 f y (t ) (b1 b2 )hf (t , y ) b2c2 h t
2 f y a1b1h y t
yn 1 yn 1 h(k1 k 2 ) 2 k1 f n f (t n , yn ) k f f (t , y ) f (t , y hk ) n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2
第三章 连续系统数值积分 仿真方法学
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
离散化方法
模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器
离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递 函数D(z) 。
“等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数；
---系统的频带； ---稳态增益；
---相位及增益裕度；
---阶跃响应或 脉冲响应形状；
在单位脉冲作用下输出响应为 u (t ) L1 D( s) 其采样值为
ai t A e i i 1
n
u (kT )
ai kT A e i i 1
n
例 已知模拟控制器 D( s) a
sa
，求数字控制器D(z)。
a
解：
D( z ) D( s ) 1 e aT z 1
3.差分变换法
1).一阶向后差分
基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
D( z ) D( s)
1 z 1 T
s
•对于给定
D( s )
U (s) 1 E ( s) s
•其微分方程为 du (t ) / dt e(t ), u (t )
e(t )dt
0
t
•用一阶向后差分代替微分，则 du(t ) / dt {u(kT ) u[(k 1)T ]}/ T
---频率响应特性。
•离散化方法很多
数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法 零极点匹配法 保持器等价法 z变换法(脉冲响应不变法) •
• • •
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
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a
14
舍入误差
舍入误差与h成反比,若计算步长小，计 算次数就多,则舍入误差就大。
a
15
3.2 常用的几种数值积分法
建立系统数学模型的目的是研究系统的 运动规律
y f (t, y)
y
(t0
F(t,y)d
t
(2)
令 Q mttm m 1F(t,Y)dt
(3)
则 Y (tm 1 ) Y (tm ) Q m (4 )
或表示为 Y m 1 Y m Q m (5 )
a
10
数值解法
就是寻求初值问题式(1)的解在一系列离散点 t1,t2,,tm,tm1的近似解 Y1,Y2,,Ym,Ym （1即数值解）。
将上式写成差分方程 yn 1ynh(tfn,yn)
a
19
f(t) 误差
（b）矩形近似解法
f
y f (t, y)
近似矩形
y
(t
0
)
y0
在区间[tn,tn+1]上积分，得
0
tn
tn+1
t
y(tn1)y(tn)ttnn1 f(t,y)dt
于是 y ( tn 1 ) y ( tn ) h ( tn , fy n ) y n 1
2. 准确性：
最基本的准则是：
绝对误差准则：ey(tk)y ˆ(tk)y(tk)
3. 快速性相对系误统差时准间则间：隔—ey—(thkk)=tk+1yˆ-t(ktkyˆ)(tky)(tk)
计算每一步间隔——Tk 若hk＝ Tk ，——实时仿真 若Tk< hk ，——超实时仿真 若Tk>hk ，——离线仿真
第三章 连续系统数值积分 仿真方法学
3.1 离散化原理及要求
（1）离散化原理 （2）离散化建模方法的要求
a
2
（1）离散化原理
在数字计算机上对连续系统进行仿真时， 首先遇到的问题是：数字计算机的数值及时间 均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均 具有连续性，后者如何用前者来实现。
a. “数字”计算，引入舍入误差； b. 按指令一步一步进行，必须将时间
相邻两个离散点的间距 htm1tm
——称为计算步长或步距
常用的基本方法有三类：
单步法、多步法、预估－校正法。
并可分为显式公式和隐式公式。
a
11
单步法与多步法
单步法
只由前一时刻的数值 ym就可求得后一时刻 的数值ym+1
能自动启动
多步法
计算ym+1需要用到 tm,tm-1,tm-2,…时刻y的数 据
y y20, y(0)1
试用欧拉法求其数值解（取步长h=0.1，0≤t≤1）
解：原方程为：
y y2, f(t,y) y2
递推公式为： yn1 yn hf (tn , yn ) yn (1 0.1yn ) t0 0, y0 1 t1 0.1, y1 y0 (1 0.1y0 ) 0.9 t2 0.2, y2 y1(1 0.1y1) 0.819
即： eu(tk)u ˆ(tk) u (tk)0两模型等价。
ey(tk)y ˆ(tk)y(tk)0
a
5
u(t) 原连续模型yf(y,u,t) y(t)
－ey(tk ) 0
+
h
uˆ(tk )
仿真模型 yˆf(yˆ,uˆ,tk)
yˆ(tk )
图2.1 相 似 原理
a
6
（2）离散化建模方法的要求
1. 稳定性
)
y0
a
16
（一）单步法
a
17
（1）欧拉法（一阶龙格－库塔法）
Taylor级数展开 矩形近似解法 切线近似
a
18
（a)Taylor展开
y f (t, y)
y
(t
0
)
y0
假定 y(t)g(t,y) 为其解析解
将y(t)展开成Taylor级数
y(t h )y(t)y (t)h
从而 y (t h ) y (t) h(t,fy )
误差在10－2数量级
a
23
（2）改进的欧拉法（梯形法）
又称二阶龙格－库塔法 曲边梯形的面积
f(t) 误差 f
S 1ttn n 1f(t,y)d ty(tn 1)y(tn)
直边梯形的面积
S 2 1 2 h f ( t n ,y n ) f ( t n 1 ,y n 1 )0 tn
a
7
明确几个概念
a
8
差分方程
已知表示某系统一阶向量微分方程及初
值为：
Y F (t,Y ) Y (t0 ) Y0
对上式两边积分，则
t
Y(t)Y(t0)t0F(t,Y)dt
(1)
a
9
在 tt0,t1,,tm1时的连续解为：
Y(tm1)Y(t0)tt0m1F(t,Y)dt
Y(tm)
tm1 tm
不能自动启动
a
12
Hale Waihona Puke 显式与隐式显式计算 ym+1时所用数值均已计算出来
隐式
计算中隐含有未知量
预估－校正法
使用隐式公式时，需用另一显式公式估计 一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算。
a
13
截断误差
假设前一步得到的结果ym是准确的,则用泰勒级
数求得tm+1处的精确解为
y(tmh)y(tm)hy(tm)21!h2 y(tm) r1!hry(r)(tm)o(hr1)
t10 1.0, y10 y9 (1 0.1y9 ) 0.4628
a
22
已知方程的解析解为 y 1 1 t
精确解与数值解比较
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … 1.0
精确解y(t) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.6667 0.625 … 0.5
数值解yn 1 0.9 0.819 0.7519 0.6594 0.647 … 0.4628
tn+1
t
当h比较小时，以直边梯形代替曲边梯形的面积，可得
离散化。
a
3
连续系统仿真：
从时间、数值两个方面对原系统进行离散 化，并选择合适的数值计算方法来近似积 分运算，由此得到离散模型来近似原连续 模型。
a
4
相似原理
设系统模型为： yf(y,u,t)
仿真时间间隔为：h
离散后的输入变量：uˆ(tk ) 系统变量：y ˆ(tk)
其tk中 kh
如果： uˆ(tk)u(tk) yˆ(tk)y(tk)
yn1ynhnf
a
20
y
（c)切线近似 yn+1
(t1,y1)
y(t)
y(t)在tn处得切线方程为 yn (t0,y0)
yynf(tn,yn)t( tn)
t
则得
0
tn
tn+1
t
y ( tn 1 ) y ( tn ) h ( tn f ,y n ) y n 1
yn1ynhnf
a
21
例1 设系统方程为：