二重积分的换元法
重积分的换元法
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中
用二重积分换元法证明卷积公式
用二重积分换元法证明卷积公式卷积公式是数学中的一种运算，用于描述两个函数之间的关系。
在信号处理、图像处理和数值计算等领域中经常用到卷积公式。
本文将使用二重积分换元法来证明卷积公式。
首先，我们先了解一下二重积分换元法的基本概念。
二重积分换元法是利用变量代换的方法，将原二重积分中的变量替换为新的变量，从而简化被积函数的形式，使得计算更加容易。
设有两个实值函数 f(x) 和 g(x)，定义它们的卷积函数 (f*g)(x)如下：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(x-t)g(t) dt其中，积分运算从负无穷到正无穷。
要证明卷积公式，我们需要证明以下等式成立：∫[-∞,∞] (f*g)(x) dx = ∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx为了方便计算，我们先对卷积公式做一个变形。
首先，我们令u = x-t，于是 t = x-u。
然后对变量 u 求导，得到 du = -dt。
将上述变换代入卷积公式中，得到：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(u)g(x-u) (-du)将上式中的积分限进行一下变换。
当 t = -∞ 时，有 u = x-(-∞)= ∞；当 t = ∞ 时，有 u = x-∞ = -∞。
所以，积分限可以变换为∞ 和 -∞。
(f*g)(x) = ∫[∞,-∞] f(u)g(x-u) (-du)现在我们开始证明卷积公式。
根据卷积公式的右边，我们有：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx根据二重积分换元法，我们令 v = x-u，于是 x = v+u。
对变量v 求导，得到 dv = dx。
将上述变换代入卷积公式中，得到：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv接下来，我们将积分限进行一下变换。
当 x = -∞ 时，有 v = -∞-u = -∞；当x = ∞ 时，有v = ∞-u = ∞。
所以，积分限可以变换为 -∞ 和∞。
∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv我们使用换元法，并令 u = x-t，v = x，则有 x = u+v。
二重积分换元法
y D
定(积3)分变换换元T法: D D是一一对应的 , O
x
则
D
f
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f (tx)(]u,v(t)), dy(tu,(vx))J(u(t,)v))
D
dudv
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uOv坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
D : r 1, 0 2 π
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
a r sin b r cos
abr
2 abc 2π d 1
0
0
1
r2
r
d
r
4 3
π
abc
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M3
D
M1 M 2
O u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
D
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
O
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
v
Ou
D
二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
二重积分雅可比式换元
二重积分雅可比式换元《二重积分雅可比式换元》一、什么是二重积分雅可比式换元二重积分雅可比式换元，即多元函数的二重积分求解中，针对函数两个积分变量的换元法，也称为换根法。
在使用该方法时，先把一个高维函数通过定义域划分为若干个连续小段，利用秩一矩阵中的二重积分，用最简单的单元求解函数的积分，或者以比较好的速度求解函数的积分，从而实现对函数的求解。
二、求解积分的好处换元法是一种求解二重积分的很好的方法，求解积分的好处是可以让不同的函数的变量的求解更加简单，而且可以有效减少计算的复杂性，提高计算的效率。
换元法在求解二重积分类函数时，可以有效减少机器计算量，提高求解速度。
同时，换元法可以尽可能利用当前机器的计算速度，实现尽可能快的求解效率。
三、实际求解步骤1、将目标函数写成一般形式；2、把所有变量范围边界都明确定义；3、将要求求解的函数根据坐标系的变换变换为等价的形式；4、建立从原函数到等价函数的转换关系；5、将第四步中建立的关系引入到原函数中，得到换元后的函数；6、求出新函数的积分，建立积分关系；7、将求解的积分结果和关系引入到原函数中，得到换元前的积分结果。
四、注意事项在换元的过程中，由于函数的结构以及函数表达式的具体情况而有所不同，因此，每一步都要慎重考虑函数的结构。
因为二重积分的步骤是繁琐的，过程中存在很多的实际问题，要根据具体函数情况进行实际操作，把握住步骤，正确处理才能求得准确答案。
五、总结二重积分雅可比式换元是一种多元函数求解的方法，通过把一个高维函数分割为若干个连续小段，利用二重积分的换元法，用最简单的单元求解函数的积分，或者以比较好的速度求解函数的积分，从而实现多元函数的求解。
换元法可以有效减少机器计算量，提高求解速度，便于求解。
但在进行换元计算过程中，要根据具体函数情况进行实际操作，才能求得准确答案.。
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
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8 a 3 cos 3
3
2
d
16a 3 3
02 cos 3
d
2
16a 3 3
02 cos 2
d sin
32 a3 9
例 3 计 算 ( x 2 y 2 ) dxdy ， 其 D 为 由 圆
D
x2 y2 2 y ， x2 y2 4 y 及 直 线 x 3y 0 ，
y 3x 0 所 围 成 的 平 面 闭 区 域 .
第三讲 二重积分的换元法
• 内容提要
1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。
• 教学要求
1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
复习：二重积分在直角坐标系下的计算
1. 在直角坐标系下二重积分
f ( x, y) d f ( x, y)dxdy
o
x
v
v2
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
例2
计算
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0; (u, v )
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分.
则 rr
o
于是面积微元 d rdrd
D
r r r
故 f ( x, y)d f ( r cos ,r sin ) r drd
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
J ( x, y) abr.
(r, ) J 在 D内仅当 r 0 处为零， 故换元公式仍成立，
解
由直角坐标化 x r cos
极坐标公式
y
r
sin
o
x
1
圆的极坐标方程为 r 1
故
D
:
0 0
r
1
2
(1 x2 y2 )dxdy (1 r 2 )rdrd
D
D
02 d 01(1 r 2 )rdr 02 d 01(r r 3 )dr
02
[1 2
r
2
1 4
r
4
]10
d
02
1 4
即 l r r r
l
r r
2.曲线的极坐标方程 : r r( )
o
r r( )
x
1.二重积分的换元法(1)
在直角坐标系下计算二重积分时，在某些情况
下非常烦琐，
如积分区域为a2 x2 y2 b2
y
必须化为四个小区域来计算， 相当麻烦。
ox
因此，有必要学习在其他坐标系下 如极坐标系下计算二重积分.这就需要进 行变量代换，有如下定理.
换是一对一的．
y x
例1 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 2 v 2.
x y2
D
解 x 3y 0
6
y 3x 0
3
x2 y2 2 y r 2sin
y
x2 y2 4y y
x2 y2 2y
3x 0
x 3y 0
x2 y2 4 y r 4sin o
x
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
D
D
y
y dy d y
D
2.二重积分在直角坐标系下的计算：
o
x x dx x
f ( x, y)dxdy X 型
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
D
a
1( x)
Y
型
cd dy
2( y) 1( y)
f
( x,y)dxFra bibliotek预备知识：
1. 如图: 扇环的面积 的近似公式：
近似地看成以 l 和 r 为邻边的矩形
,r
sin
)r
dr
（3）极点 O 在区域 D 的内部
r r( )
D
:
0 r r( )
0 2
D
o
f (r cos ,r sin )r dr d
D
02 d
r( )
0
f (r cos ,r sin ) rdr
例1 计算 (1 x2 y2 )dxdy
y
D
其中积分区域D为x 2 y2 1.
6
2sin
2
2. 二重积分的换元法（2）
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
r r
cos , sin .
上式可看成是从直角坐标平面 ro 到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于 ro 平
面上的一点 M (r,)，通过上式变换，变
成 xoy 平面上的一点 M ( x, y)，且这种变
r1 ( )
d
r ( )
f (r cos ,r sin )rdr
0
2
d
r ( )
f (r cos ,r sin )rdr
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
小结
一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域， 而被积函数中含有 x2 y2 的项时，采用极坐标 计算往往比较方便. 二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
r2( ) f (r cos ,r sin )rdr
(r 2 )
1 2
02
e r 2
a
d
0
(1 ea2 ).
例2 计算 x2 y2d
D
其中积分区域D为( x a)2 y2 a 2 .
解 ( x a)2 y2 a 2 r 2a cos
y
故
D
:
0
2
r 2a
cos
2
o
x
D
x2
y 2 d
2
d
2a cos
0
r 2dr
2
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r r2( )
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
d
2
练习 计算 e x2 y2 dxdy
D
其中积分区域D为x 2 y 2 a 2 .
解
由直角坐标化 x r cos
极坐标公式
y
r
sin
圆的极坐标方程为 r a
y a
D
o ax
故
D
:
0 0
r
a
2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
0
0
D
1 2
02
d
a er 2 d
0
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
D
o
u
D：x y 1 u 1
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d