二重积分的几种换元法
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二重积分换元法
y D
定(积3)分变换换元T法: D D是一一对应的 , O
x
则
D
f
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f (tx)(]u,v(t)), dy(tu,(vx))J(u(t,)v))
D
dudv
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uOv坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
D : r 1, 0 2 π
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
a r sin b r cos
abr
2 abc 2π d 1
0
0
1
r2
r
d
r
4 3
π
abc
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M3
D
M1 M 2
O u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
D
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
O
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
v
Ou
D
二重积分的换元法
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
dxdy
,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
（1）极点 O 在区域 D 的外部
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f (r cos ,r sin )
r dr
r r2( )
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
x2 y2 2y
3x 0
x 3y 0
x2 y2 4 y r 4sin o
x
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
二重积分的换元法
所求立体在xoy面上的投影区域
Dxy {( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 1}.
于是所求立体体积为
V
Dxy
2 2 2 2 [ 2 x x 2 y y x y 1 ( x y )]d 0 0 0 0
[1 ( x x0 ) D
( x, y) 1 1 J 1, ( u, v ) 0 1
D : x y 1 u 1, x 0 u v 0, y 0 v 0.
O
x uv D
v
O
u
原式 f ( u, v ) | J | dudv
D
du
0
1
即 z 2 x0 x 2 y0 y x y 1,
2 0 2 0
该切平面与曲面 z x 2 y 2交线为
2 2 z 2 x0 x 2 y0 y x0 y0 1 2 2 z x y
消去z得 : ( x x0 )2 ( y y0 )2 1,
y x y x
vu vu x ,y . 2 2
1 1 1 ( x, y) 2 2 , J 1 1 2 ( u, v ) 2 2
v v2 D u v u v
2
O
2 u
故
e D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
b
O
x a cos , y b sin ,
a
x
D D {( , ) 0 1 , 0 2π},
( x , y ) a cos J ( , ) b sin
a sin b cos
Dxy {( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 1}.
于是所求立体体积为
V
Dxy
2 2 2 2 [ 2 x x 2 y y x y 1 ( x y )]d 0 0 0 0
[1 ( x x0 ) D
( x, y) 1 1 J 1, ( u, v ) 0 1
D : x y 1 u 1, x 0 u v 0, y 0 v 0.
O
x uv D
v
O
u
原式 f ( u, v ) | J | dudv
D
du
0
1
即 z 2 x0 x 2 y0 y x y 1,
2 0 2 0
该切平面与曲面 z x 2 y 2交线为
2 2 z 2 x0 x 2 y0 y x0 y0 1 2 2 z x y
消去z得 : ( x x0 )2 ( y y0 )2 1,
y x y x
vu vu x ,y . 2 2
1 1 1 ( x, y) 2 2 , J 1 1 2 ( u, v ) 2 2
v v2 D u v u v
2
O
2 u
故
e D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
b
O
x a cos , y b sin ,
a
x
D D {( , ) 0 1 , 0 2π},
( x , y ) a cos J ( , ) b sin
a sin b cos
第七章 第二节 二重积分的换元法
x2 y2 解: 取 D : 2 2 1, 由对称性 a b 2 2 y 2 c 1 x 2 2 d x d y
D a b
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
0 k 1
n
即
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d
r d d dr d r
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( ) r ( ) 1 2 设D : ,则
r ( ) 2 D
x
充分利用对称性
应用换元公式
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1. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
o
r a cos r arccos r a
r
r arccos a
a
x
I dr r f ( r, ) d 0 arccos a
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a
x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
x2 e 0
dx
事实上, 当D 为 R2 时,
2
①
利用例6的结果, 得
故①式成立 .
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例2. 求球体
被圆柱面 x 2 y 2 2 a x
14-7.二重积分的换元法PPT
D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变 成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变 换 是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )
二重积分的所有变换
ax
.
y 5x
例4 计算二重积分 (x6,y其)d中xdy
D
D是由三条线 yx,y所5x围,x成1 的区域.
yx
x 1
解 易知积分区域可表为
D :0x 1 ,xy 5 x
于是
1 5x
(x6y)dxdy dx (x6y)dy
D
0x
1(xy3y2)
0
5x x
dx
176x2dx 76.
0
3
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2
D1
D2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
.
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例8. 计算I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
exydxdy( 1exdx)( 2eydy)ex1ey2
0
1
01
D
(e1)(e2e)e(e1)2
或先积 y再积 x
exydxdy
1
dx
2exydy
01
e1 xy
0
2 1
dx
D
1(ex2
0
ex1)dx
(ex2
ex1)
1 0
(e3 e2)(e2 e) e(e1)2
.
例3 计算二重积分 x y.d其x d中y 积分区域 分 D
k
k
r rk x
域的面积
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k