二重积分的换元(变换) 计算二重积分时,由于某些几分区域的边界曲线
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法摘要：本文旨在探讨计算二重积分的几种简便方法，通过对不同方法的比较和分析，旨在提高计算效率和准确性。
文章首先介绍了二重积分的基本概念及其在计算中的重要性，随后详细阐述了极坐标法、换元法、对称性法，并结合具体实例展示了这些方法的应用过程。
关键词：二重积分；极坐标法；换元法；对称性法一、引言二重积分是数学分析中的重要内容，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
然而，二重积分的计算往往较为复杂，需要选择合适的方法进行简化。
因此，本文旨在探讨计算二重积分的简便方法，为相关领域的研究者提供实用的计算工具。
二、二重积分的基本概念与重要性1.二重积分的定义二重积分是多元函数积分学中的一个基本概念，它描述了一个二元函数在某一给定二维区域上的面积积分。
具体而言，二重积分可以看作是函数值在二维平面上某区域内所有点的累积和，或者理解为函数曲面在指定区域内与坐标平面所围成的体积。
形式上，二重积分可以表示为对两个变量的连续积分，通常写成∫∫f(x,y)dxdy的形式。
2.二重积分的几何与数值意义从几何角度看，二重积分可以表示某个二维区域内函数曲面的面积或者体积。
当被积函数为1时，二重积分计算的就是该区域的面积；当被积函数表示某种密度或强度时，二重积分则计算的是该区域内的总质量或总强度。
因此，二重积分在几何和物理领域具有广泛的应用。
从数值角度看，二重积分提供了一种计算函数在一定区域内平均值的方法。
此外，通过二重积分还可以研究函数的极值、曲线的长度等性质，进而揭示函数图形的变化规律。
3.二重积分的应用领域与范围二重积分在自然科学、工程技术和社会科学等多个领域具有广泛的应用。
在物理学中，二重积分用于计算质心、转动惯量、引力势能等；在经济学中，可以用于计算总收入、总成本等经济指标；在图像处理、计算机视觉等领域，二重积分也被用于计算图像特征、积分变换等。
此外，二重积分还广泛应用于地理学、气象学、生物医学等领域，用于解决各种实际问题。
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。
在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。
本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。
一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。
定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。
1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。
当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。
具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。
2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。
（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。
二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。
具体可以分为以下两种情况。
1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法李季（德州学院数学系，山东德州 253023）摘 要：二重积分计算的基本途径是将二重积分转化为二次积分计算，转化二次积分的方法灵活多变，选择不当将会使积分更加复杂，甚至无法计算，本文针对不同种类的二重积分给出了与之相对应的计算方法，还介绍了如何利用对称性来简化二重积分的计算．关键字：二重积分；积分区域；二次积分；变量代换；二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分，在几何、物理等方面有着重要的应用．理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算，是进行有关研究的基础．但是，二重积分的计算往往比较困难，不知道该怎样进行．学习二重积分的计算，关键在于掌握计算方法．1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰； （1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有图121()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解 积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221x x Dyy dxdy dx dy x x=⎰⎰⎰⎰ 321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但y y=xxy=1 D2D1xO 211 2图33D oxy1D2D 图4是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122x xx x dx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例 3 计算二重积分2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤．[2]分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．OyxD1D2图6y xOx=2yy=2xx+y=3图5解 区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 由公式（3）则12222DD D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰221212211523x x dx y x dy dx x ydy π--=-+-=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数DyxO图7图8vuO很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx x αβ==，如果设2,y y u v x x==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯()()4,,,.uJ u v u v v =∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dx dxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311du dv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰（5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为yxD1D 图 8()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）例7 计算221Dd I x y σ=--⎰⎰，其中D 为圆域：221x y +≤分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解 作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩， 则有221Dd I x yσ=--⎰⎰21211d rdr rπθ=-⎰⎰12201r d πθ⎡⎤=--⎣⎦⎰202d πθπ==⎰． 例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==，以及曲线22x y y =--所围成的平面区域．分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域D 与1D 一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，又1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+= ⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9 计算22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰，其中()22,01,0x D x y y b x a a ⎧⎫⎪⎪=≤≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解 作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知22221Dx y I c dxdy a b =--⎰⎰122001d c r abrdr πθ=-⎰⎰122016abc d r r dr abc ππθ=-=⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰ 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰2112002y dy x ydx +=⎰⎰xyO D1D211()31220213y y dy =+⎰()()521202214211515y =+=-．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=--在2D 内 222244x y x y +-=+-故原式224Dx y dxdy +-⎰⎰ ()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰， 利用极坐标计算有()()12222200448D x y dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰ ()()2232220125442D x y dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=．例12 求(),D f x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y e x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D = .在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy e dxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()00a b x a b x x y x y a x a dx e dy dx e dy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰a b a b ae be e e ----=-+-通过以上例子可以看出,二重积分的计算方法和技巧还是很强的,学习二重积分的计算,需要掌握一些计算方法和技巧,才能准确快速地进行.参考文献：[1] 华师大数学系．数学分析(下)[M]．北京:高等教育出版社．2003．[2] 毛宇辉．数学分析学习指导书(下)[M]．北京:高等教育出版社．2003．[3] 彭辉．高等数学辅导(下)[M]．济南:山东科学技术出版社．2009．[4] 郭大鹏．一个多次分部积分公式的发现、证明[J]．长春师范学院学报，2004，(02):18-19．[5] 汤茂林．分部积分法在二重积分中的巧用[J]．高等数学研究，2007，(02):24-25．[6] 张瑞平．二重积分的几种计算方法[J]．高等数学研究:1997，(01):27-28[7] 倪伟平．用含参变量积分解决积分计算的数学模式[J]．枣庄师专学报:2000，(02):31-32．[8] 林先安．分部积分法在重积分中的应用[J]．数学通报，1993(06):11-12．[9] 汪军、郁时炼．分部积分法的巧用[J]．高等数学研究，1999(04):22-23．D1D2x y aa+bD312 a[10] 缪倩娟、贡韶红．关于分部积分法的进一步探讨[J]．中国科技信息，2006(21):63-64．Calculation of double integralsLi Ji(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)Abstract: The double integral calculation of the basic approach is to calculate the double integral into a double integration, method of double integration into flexible, poor choice will make the integration more complex, if not impossible to calculate. This paper shows the different types of double integral corresponding calculation method also describes how to use symmetry to simplify the calculation of double integrals.Keywords: double integrals; integral area; double integration; variable substitution;。
二重积分计算技巧总结
4 2 首先 O 在区域内，所以 r 0 ，然后过 O 作射线，射线与 y 1 相交，就将参数方程代入被
O 与区域内点的连线的张角范围为 : 交的曲线得到 r sin 1 r
1 1 ，于是 D : ;0 r sin 4 2 sin
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v
2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域， 方便积分。 面积 S
1dxdy 1 J dudv
1 1 1 (u v) , y (v u ) ，则 J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 D ： 1 x 0 u v 0 u v 2 1 y 0 v u 0 u v 2 x
x y 1
1 1 u v v u 1 v 1 2 2
D D
dv n (n 2 m 2 )( 3 3 ) u d u v 4 m 6 3 3
（2）极坐标下的二重积分 极坐标代换法基本格式为：
x r cos y r sin
被积函数 f x, y 化为 f r cos , r sin r ， 接下来重要的是讨论 r , 的范围。 其中 r , 的 范围由于积分次序的不同而不同。 若积分次序为先 r 后 ，则对应方法为“张角 射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区 域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定 r 的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作 射线相交的边界线化成 r r 的形式，就确定出 r 的范围。 比如：求 f x, y dxdy ，其中 D 的范围如图：
二重积分变换积分次序
二重积分变换积分次序一、引言二重积分是高等数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
对于复杂函数的积分问题，通过二重积分的计算方法可以大大简化问题求解的难度。
本篇文章将介绍二重积分的变换、计算实例以及应用，帮助读者更好地理解和掌握二重积分的相关知识。
二、二重积分的基本概念1.重积分的定义重积分是指对一个函数在某个几何区域内进行多次积分的过程。
设函数f(x, y)在平面直角坐标系中的一个有界区域D上连续，D的边界分别为曲线C1、C2、C3和C4，则重积分的定义为：∫∫f(x, y)dydx，其中积分区域为D。
2.重积分的性质重积分具有线性、可积性、保号性等基本性质。
此外，重积分还满足交换积分次序、累次积分与重积分的转换等性质。
3.重积分的基本公式重积分的基本公式包括：重积分换元法、重积分坐标变换法等。
这些公式为二重积分的计算提供了理论依据。
三、二重积分的变换1.积分区域变换（1）平面直角坐标系到极坐标系的变换设平面直角坐标系中的积分区域D，其边界曲线为C1和C2。
通过极坐标变换，可以将平面直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分。
极坐标变换公式为：x = r*cosθ，y = r*sinθ（2）柱面坐标系到直角坐标系的变换设柱面坐标系中的积分区域D，其边界曲线为C1、C2和C3。
通过柱面坐标变换，可以将柱面坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分。
柱面坐标变换公式为：x = r*cosθ，y = r*sinθ，z = r（3）球面坐标系到直角坐标系的变换设球面坐标系中的积分区域D，其边界曲线为C1、C2和C3。
通过球面坐标变换，可以将球面坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分。
球面坐标变换公式为：x = r*cosθ，y = r*sinθ，z = r*sinθ2.积分顺序变换（1）交换积分次序的原理根据重积分的线性性质，可以交换积分次序，即将原积分顺序颠倒，从而简化积分计算。
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。
计算二重积分的几种方法数学专业论文
计算二重积分的几种方法数学专业论文计算二重积分的几种方法摘要二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词二重积分累次积分法对称性分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。
职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。
在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。
2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),d cI x f x y dy=⎰存在，则累次积分(),bda c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰也存在，且(,)(,)b d ac Rf x y dxdy f x y dy dx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是011011i i n k kma x x x x x bc y y y y yd --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为 11(,),1,2,,;1,2,,.ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 设(){}(){}[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k km f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),if y ξ在[]1,k k yy -可积，有()11,,kikki ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将此不等式对1,2,k m=…相加，有()1111,k k mmmy ikki ik ky k k k m y f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰，其中()()()11,,k k my di i i y ck f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰⎰，即()11mmikki ik kk k m yI M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以ix ∆，然后对1,2,i n=…相加，有()11111n mn n miki k i i ik i ki k i i k mx y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1ni i i s T I x S T ξ=≤∆≤∑.(1) 已知函数(),f x y 在R可积，根据定理有()()0lim lim (,),T T RS T s T f x y dxdy →→==⎰⎰又不等式（1），有()()01lim ,niiT i RI x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即()()(),,.bbdaa c Rf x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),d b caf x y dx dy⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，也存在，且()(),,dbcaRf x y dxdy f x y dx dy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.也可将累次积分(),b dacf x y dy dx⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(),d bcaf x y dx dy⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰分别记为(),b dac dx f x y dy⎰⎰和(),dbcadx f x y dy ⎰⎰. 定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域()()()[]{}12,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x 型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x xf x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积分()()()21,bxaxdx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,bxaxRf x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin RRf x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰例 1 计算二重积分()sin Rx y dxdy +⎰⎰，其中0,0.22R x y ππ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭解 被积函数()cos x y +在R 连续，则有()cos Rx y dxdy +⎰⎰=()220cos dy x y dxππ+⎰⎰=220(cos cos sin sin )dy x y x y dxππ-⎰⎰=()20cos sin y y dy π+⎰= 1+01-例2 计算二重积分22Dxdxdyy⎰⎰，其中D是由直线2,x y x==和双曲线1xy=所围成，D既是x型区域又是y 型区域，如图（3）所示.解先对y积分，后对x积分.将D投影在x轴上，得闭区间[]1,2.[]1,2x∀∈,关于y积分，在D内y的积分限是1yx=到y x=，然后在投影区间[]1,2上关于x积分，即()222231221194xxDx xdxdy dx dy x x dxy y==-=⎰⎰⎰⎰⎰.先对x积分，后对y积分.因为D的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy=和y x=给出的，所以必须将图（3）所示的区域D分成两个区域()1D PRS与()2D PRQ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即2122222122211222221294yyD D Dx x x x xdxdy dxdy dxdy dy dx dy dxy y y y y=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例3 设函数()f x在[]0,1上连续，并设()2,f x dx B=⎰求()()22.xI dx f x f y dy=⎰⎰解因为()()()()222yxI dx f x f y dy dy f x f y dx==⎰⎰⎰⎰ ()()()()22yxf y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰所以()()()()()()2222222x xI f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以22B I =.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算. 定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组()(),,,x x u v y y u v == （2）将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈, 有()(),0,,x y J u v ∂=≠∂则()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3）证明 用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：12,,,nR R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12,,,nσσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域12',',,'nR R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12',',,'n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'ku v R ∀∈，有()()(),','.,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈∆=∆∂(),k k kR ξη∀∈，在'kR 对应唯一一点(),kkαβ，而()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.于是，()()()()11,,,,,'.nnkkkkkk k k k k k k f f x y J ξησαβαβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑(4)因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当T →时，也有'0T →.对（4）取极限()0T→，有()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例4 计算两条抛物线2y mx=与2ynx=和两条直线y xα=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）所示.解 已知区域R 的面积RR dxdy =⎰⎰.设2,.y yu v x x==这个函数将xy 平面上的区域R 变换为uv 平面上的区域'R ，'R 是由直线,u m u n ==和,v v αβ==所围成的矩形域.()()()()43224222,11.,,2,1x y x y x uu v u v y x y v y yx y x xy x x∂⎛⎫===== ⎪∂∂⎝⎭-∂-由定理3可知,()()4',,n m RR x y u R dxdy dudv dv duu v v βα∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()223322433.26n m n m dv v βαβααβ---==⎰本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。
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2 2
u
V4
dudv
2
=n
（n − m ）（ − −m 1 1 （ − ） = 3 3 3 3 2 3 3
2
α
β
β α） 6α β
3 3
1
例2 ： 证明
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫ f (u)du
R −1
其中R： 其中 ：|x|+|Y|<=1 证明：如图所示， 是由直线X+Y=1。X+Y=证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1， X+Y=1 X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y， Y=1， Y=- 所组成。作变换得：u=x+y， v=xv=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R： 则此函数组将xy面上的正方形R xy面上的正方形 |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： uv面上的正方形R` -1<=u<=1，-1<=v<=1。且 1<=u<=1， 1<=v<=1。 y
y=βx
y
y=αx
v
β
y2=nx R y2=mx
o x
α
0
R`
m
n
u
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 2 作变换：ｕ＝ y 作变换：ｕ＝ v=y/x
x
∫∫ dxdxy
R
则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 ｘｙ做表面上 ｕｖ α 矩形域Ｒ β 矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝
1
1 1 = ∫ dv ∫ du = * (1 + 1) ∫ f (u)du 2 −1 −1 2 −1
1
=
−1
∫ f (u)du
两点说明： 两点说明： 1、若变换T：X=X（u，v）， 、若变换 ： ），Y=Y（u，v）。在R` ）。在 （ ， ）， （ ， ）。 的个别点上有J=0。则结论依然成立。 的个别点上有 。则结论依然成立。 2、事实上，若 ∃ P`（u0，v0）∈ 。使J(u0,v0)=0。 、事实上， R`。 （ 。 ）。则根据变换 则根据变换T， 面上 ε`）。则根据变换 ，在XY面上 的小邻域U（ ， 也得到面积为 δ ε 的小邻域 （p，ε ）。 小邻域U`（ 小邻域 （P`, 而在其他点上J=0。则在R`上作面积为 δ ε ` 的 。则在 上作面积为 而在其他点上
二重积分的换元
主讲人： 主讲人：汪凤贞
六、二重积分的换元（变换） 二重积分的换元（变换）
计算二重积分时， 计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲 线比较复杂。 线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求 出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。 出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二 重积分计算中也有相应的换元法则。 重积分计算中也有相应的换元法则。
∀（ ｋ， ｋ ∈Ｒ ｕｖ） ｋ
｀
又由已知得 ∀（ ， ） ∈Ｒ，∃！（ ｋ
ｋ ｋ
ξ η
∆δｋ ≈ Ｔ（ ｋ， ｋ） Q∆δｋ Ｊ δｋ｀ ， ｕｖ ， ＝ ∆ ｀ ∆δｋ｀
β ∈ α ， ）Ｒ
｀ ｋ ｋ
ｋ
＝ｘ（ ｋ β ）， ＝ｙ（ ｋ β ） ξｋ α ，ｋ η α ，ｋ ｋ
于是积分和
η ∑ f（ξ ， ）∆δ
R R`
因为f(x,y)在R 连续。所以可积。用任意分法 将 证：因为 因为 在 连续。所以可积。用任意分法T将 R分成 个小区域：R1,R2 ，…，Rn。又由于复合函 分成n个小区域 分成 个小区域： ， 。 数的连续性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在R’ 连续，所以可 在 连续， 积 。设其面积为
1 ∂（x，y） J = = = ∂（u，v） ∂（x，y） ∂（x，y） − − 1
y2 2 y
x y
x2
x 1 x
= −
3 y2 x 4 1 1 4 u （ = x = ‘ ） = u，（ ） = 2 2 y2 y2 x y v v4 y
x3
+
x3
∴
根据定理3： = 根据定理 ： S
∫∫ dxdy = ∫∫
∫∫ f ( x(u, v), (u, v)) J dudv
R′
例１ 求两条抛物线
y
2
=mx，=nx
y
2
与两条直线y= 所围成的区域Ｒ 与两条直线 α x，y=β x 所围成的区域Ｒ的 ， 面积Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０ 面积Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０< α < β Ｓ。其中 矩形域Ｒ‘m ≤ u ≤ n 矩形域Ｒ ： α ≤v≤β
x + y =1
y − x = −1
y
1
Ro `
y − x =1
x + y = −1
x
-1
o
-1
1
x
1 1 ∂（x，y） J= = = =1/ 2 ≠ 0 ∂（x，y） ∂（x，y） 1 1 ∂（x，y） 1 − 1
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫∫
R 1 1 R`
1 f (u) dudv 2
n k =1 k k
k
≈ ∑ f（x（
k =1
n
β α，
k
k
y ）， （
β α，
kkJ ））（β α，kk
∆ ）
δ
k
再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 y=y(u,v)在 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连 续偏导数。反函数组u=u(x,y) u=u(x,y)， 续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由 连续知必一致连续。 连续知必一致连续。 因此当分法T的细度||T|| 0时 分法T` 因此当分法T的细度||T|| → 0时，分法T` 的细度||T`||也趋于0 ||T`||也趋于 的细度||T`||也趋于0。
定理3 ((x,y)在有界闭区域 连续， 在有界闭区域R 定理3 若((x,y)在有界闭区域R连续，函数组 =y(x,y） uv坐标面上的区域 坐标面上的区域R x=x(u,v),y =y(x,y）将uv坐标面上的区域R一 对一变换成xy坐标面上的区域R且x=x( u,v）， 对一变换成xy坐标面上的区域R u,v）， xy坐标面上的区域
L ∆δ1，∆δ2， ，∆δｎ 。
１ ２ ｎ
于是在R’上有对应的分法 ， 分成n个小区 于是在 上有对应的分法T’，将R’分成 个小区 上有对应的分法 分成 域 R1’,……R’ ,设其面积为 ∆δ｀， δ｀ L ∆δ｀ 设其面积为 ∆ ，， 。 则根据函数行列式的几何性质， 则根据函数行列式的几何性质，
y=y（u,v） R’上存在连续偏导数。（u,v 上存在连续偏导数。（ y=y（u,v）在 R’上存在连续偏导数。（u,v ） ∀ 有
∈R,
∂x ∂( x , y) J= = ∂u ∂y ∂( x , y) ∂u
∂x ∂v ≠ 0 ∂y ∂v
则：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv
lim ∑ f (
T →0 k =1 n
n
ξ ,η )∆δ
k k k k
k
= ∫∫ f ( x, y)dxdy
R
T ` →0
lim
∑ f ( x(α , β
k =1
) J(
α ,β
k
k
)∆
δ
` k
= ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv
R`
对（*）式两边取极限 ）式两边取极限||T||-0时，有||T`||-0。 时 。 故有：