2(3).二重积分的换元法
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重积分的换元法
∴ | J |= r ,
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中
二重积分的换元法
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
dxdy
,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
（1）极点 O 在区域 D 的外部
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f (r cos ,r sin )
r dr
r r2( )
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
x2 y2 2y
3x 0
x 3y 0
x2 y2 4 y r 4sin o
x
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
重积分的换元法
(u,v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
二重积分的换元法
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分的换元法
=2
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
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例5
2 y 求椭球体 x2 + 2 + z 2 ≤ 1 的体积. a b c 2
2
二、小结
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
∂( x, y) 1 2. J = = . ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) ∂( x, y)
= 2∫
1
−1
1 − u 2 f ( u a 2 + b 2 + c )du ,其中 D 为
练习题答案
7 一、1、 ln 2 ； 3 1 二、 . 8
5 2、 π . 32
课堂练习 1. 计算
∫∫
D
2 2 其中 D : x + y ≤ 3. | x + y − 2 | dσ , 2 2
y ( x + y )2 e dσ , 其中 D 是由直线 2. 计算重积分 ∫∫ x+ y D x + y = 1, x = 0 和 y = 0 所围成.
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分: 1 、 ∫∫ x 2 y 2 dxdy , 其 中 D 是 由 两 条 双 曲 线 xy = 1 和 xy = 2 , 直线 y = x 和 y = 4 x 所围成的在第Ⅰ象限 的闭区域. 2 、 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy ,其中 D 是椭圆区域:
则有
∫∫ f ( x , y )dσ
D
= ∫∫
D′
∂( x, y) dudv . f [ x ( u, v ), y( u, v )] ∂ ( u, v )
这个公式称为二重积分的一般换元公式.
∂ ( x , y ) 其中记号dσ = dudv 表示曲线坐标下的 ∂ ( u, v )
一般曲线坐标系中二重积分的计算 面积微元.
x = x ( u, v )、 y = y ( u, v )
在 D′ 上有一阶连续偏导数, 且∂ ( x , y ) ∂u ∂v = ≠ 0, ∂ ( u , v ) ∂y ∂y ∂u ∂v
一般曲线坐标系中二重积分的计算
∂x ∂x ∂ ( x , y ) ∂u ∂v = ≠ 0, ∂ ( u , v ) ∂y ∂y ∂u ∂v
D
x 2 + 4 y 2 ≤ 1. 二、设 D 是由曲线 y = x 3 , y = 4 x 3 , x = y 3 , x = 4 y 3 所围 成的第Ⅰ象限部分的闭区域, 求其面积. 三、试证: ∫∫ f (ax + by + c )dxdy
D
D
x 2 + y 2 ≤ 1, 且a 2 + b 2 ≠ 0 .
∂ ( x , y ) 其中记号dσ = dudv 表示曲线坐标下的 ∂ ( u, v )
注: 对极坐标变换 x = r cos θ , y = r sin θ .因为
∂ ( x , y ) cos θ = ∂ ( r ,θ ) sin θ
所以
D D′
− r sin θ = r, r cos θ
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
第二节 二重积分的计算法
二重积分的一般变换
第九章
一般曲线坐标系中二重积分的计算 设函数 f ( x , y )在 xOy 平面上的闭区域 D上连续, 变换 x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uOv平面上的闭区域 D′ 一一对应地变为 xOy 平面上的闭区域 D , 其中函数
一般地,如果区域 D 能用某种曲线坐标表示,使得 积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简 积分的计算.
例1 计算其中由轴、轴和直 D ∫∫ e dxdy,
D
y− x y+ x
x
y
y
2 x+ y= 线所围成的闭区域．
x+ y=2
D
o v
u = −v
x
v=2
D′
u=v
o
u
例2
xy = a , xy = 2a , y = x , y = 2 x ( x > 0, y > 0)
2 2
求曲线
所围平面图形的面积.
例3 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by y 2 = qx x2 = a y
y
D y 2 = px
O
b
v
D′
x
a O p
q u
例4
x2 y2 计算其中为 1 − 2 − 2 dxdy , ∫∫ a b D
D
x2 y2 椭圆所围成的闭区域． 1 + 2 = 2 a b