三、二重积分的换元法
且对 x [a,b], 积分 d f ( x, y)dy 都存在, 则累次 c
积分
b
dx
d
f ( x, y)dy 也存在,
且
a
c
f ( x, y)d
b
dx
d
f ( x, y)dy.
D
a
c
d
A(x) c f (x, y)dy
4
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证明 I( x)
d
f ( x, y)dy,
d
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
如果函数 I( x) 也在[a,b]上可积, 则得积分
b
bd
a I( x)dx a (c f ( x, y)dy)dx .
此积分称为累次积分.
记为
b
d
dx f ( x, y)dy.
a
c
2
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类似理解 :
d
b
对 y [c,d], 积分 cb f ( x, y)dx 都存在. a
8
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例1 设 f ( x, y) 1 x y
计算 f ( x, y)d , 其中 D [0,1][0,1].
D
y
解 因为f (x, y)满足推论2.1 1
的条件, 所以
x y 1
f ( x, y)d
x [a,b].
c
对[a,b],[c,d ]的分割
x : a x0 x1 xn b,
y : c y0 y1 ym d ,
令 Ii [ xi1, xi ], i 1,,n, J j [ y j1, y j ], j 1,, m.
因此子矩形Ii J j形成了D的分割 x y
D {( x, y) | y1( x) y y2( x),a x b}
特点：穿过区域且平行于 y
y轴的直线与区域
y y2(x)
边界相交不多于两 个交点.
y y1( x)
a
bx
10
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Y型区域
D {( x, y) | x1( y) x x2( y),c y d }
令A fd 由定义， 0, 0,
D
当分割满足 时，有
nm
A
f (i , j )xiy j A . (1)
i1 j1
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5
现取 x , y
n
,则
2
n
在（1）中取
inf f (i , J j )y j
sup f (i , J j )y j
j1
j 1
D
[a,b][c,d ]
a
c
b
dx
y2( x) F ( x, y)dy
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy.
a
y1 ( x )
a
y1 ( x )
14
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第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、矩形区域上的二重积分的计算
设 D [a,b][c,d ], f : D R, 如对 x [a,b],
函数 f ( x, ) 在[c,d ]上可积, 则可得如下函数：
矩形区域[a,b][c,d ] D, 作定义在[a,b][c,d ]
上的辅助函数
F
(
x,
y)
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
x, y), 0,
(x, y) D, (x, y) D.
可以验证F ( x, y)在[a,b][c,d ]上可积, 而且
f (x, y)d
F ( x, y)d
b
d
dx F ( x, y)dy
D
6
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定理2.2
设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上可积,
且对 y [c,d ], 积分 b f ( x, y)dx 都存在, 则累次 a
积分
d
dy
b
f ( x, y)dx 也存在,
且
c
a
f ( x, y)d
d
b
dy f ( x, y)dx.
1
dx
1
f ( x, y)dy
0
0
0
x 1x
D
1
1
而 0 f ( x, y)dy 0 (1 x y)dy
1
1
0 (1 x)dy 0 ydy
(1 x) 1 1 x
所以
f
( x,
y)d
2 1
(
12
x)dx
0.
D
02
9
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二、一般区域上的二重积分的计算
X 型区域
y
特点：穿过区域且平行于 d
x 轴的直线与区域
边界相交不多于两 c
x
个交点.
11
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一般区域
分解成有限个无公共
内点的X型区域 或
Y型区域.
D3 D1
D2
因此 一般区域上的二重积分计算问题归结到
X型区域 或 Y型区域上的二重积分计算问题.
12
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定理2.3 设f (x, y)在X型区域 D上连续, 其中 y1( x)
db
c dya f ( x, y)dx c (a f ( x, y)dx)dy .
问题 :
? f (x, y)d
D
b
d
a dxc f ( x, y)dy,
d
b
c dya f ( x, y)dx.
3
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定理2.1 设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上可积,
分别是f (i ,)在[c,d]上的上和与下和
n
inf f (i , J j )y j
j1
d c
f (i , y)dy
n
sup
j1
f (i , J j )y j
n
A I(i )xi A
i 1 n
lim
x 0
j1
I (i )xi
A
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy.
D
c
a
证明 类似于定理1.
7
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推论2.1设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上连续,
则有
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx.
累次积分交换顺序的充分条件 :
f ( x, y)在 D上可积, 对 x [a,b], 积分 d f ( x, y)dy 都存在,
y2( x)在[a,b]上连续, 则
f ( x, y)d
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
y
分析 :
d y y2(x)
y y1( x)
c
a
F
(
x,
y)
f
(
x, y), 0,
(x, y) D, (x, y) D.
bx
13
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证 由于 y1( x), y2( x)在[a,b]上连续, 故总存在
第二节二重积分的计算(3)
其中a, b为常数,
y 后区域D表示方式不变,则
从而
机动
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内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x) a bx
直角坐标系情形 : • 若积分区域为
则
D f ( x, y) d a d x y ( x)
1
b
y2 ( x )
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos J ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
u 1 dudv ev 2 D
ee
1
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例9. 计算由
y2 x2 x2 by 2 ,v ,则 解: 令 u y qx y x y D y 2 px puq D : D 2 x ay a v b x 1 ( x, y ) 1 o J v (u , v) (u , v) 3 b D ( x, y ) a S d x d y u
V 2 c
D
1 r a b r d r d
2
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
2
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例11. 试计算
解: x
其中
三二重积分换元法
利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上,
①
故①式成立 .
又
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设
由对称性可知
*三、二重积分换元法
定积分换元法
满足
一阶导数连续;
雅可比行列式
(3) 变换
则
定理:
变换:
是一一对应的 ,
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
作业
P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2)
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
例9. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
解: 令
则
例10. 试计算椭球体
解:
由对称性
令
则D 的原象为
的体积V.
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
直角坐标系情形 :
若积分区域为
则
若积分区域为
则
则
(2) 一般换元公式
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
重积分的换元法
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
二、三重积分的换元法
定理 设 f (x, y, z) 在 空间区域 上 连续，变换 T : x x(u, v, w), y y(u, v, w) z z(u, v, w)将 ouvw空间的闭区域 变为Oxyz 空间的闭区域，且满足
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
21 1 v
3
y x
例2 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D,即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D u v
x y 2 v 2.
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
说明: 通过换元可将较复杂的被积函数形式化简
例3
计算
D
1
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分的换元法
Dxy {( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 1}.
于是所求立体体积为
V
Dxy
2 2 2 2 [ 2 x x 2 y y x y 1 ( x y )]d 0 0 0 0
[1 ( x x0 ) D
( x, y) 1 1 J 1, ( u, v ) 0 1
D : x y 1 u 1, x 0 u v 0, y 0 v 0.
O
x uv D
v
O
u
原式 f ( u, v ) | J | dudv
D
du
0
1
即 z 2 x0 x 2 y0 y x y 1,
2 0 2 0
该切平面与曲面 z x 2 y 2交线为
2 2 z 2 x0 x 2 y0 y x0 y0 1 2 2 z x y
消去z得 : ( x x0 )2 ( y y0 )2 1,
y x y x
vu vu x ,y . 2 2
1 1 1 ( x, y) 2 2 , J 1 1 2 ( u, v ) 2 2
v v2 D u v u v
2
O
2 u
故
e D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
b
O
x a cos , y b sin ,
a
x
D D {( , ) 0 1 , 0 2π},
( x , y ) a cos J ( , ) b sin
a sin b cos
第三讲 二重积分的换元法
第三讲 二重积分的换元法回顾上节内容直角坐标系下二重积分的计算本节教学内容1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
【教学目的与要求】1.掌握二重积分的换元积分公式；2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
【教学重点与难点】换元公式和极坐标系下二重积分的计算§7.3 二重积分的换元法一、二重积分的换元公式在某些情况下，利用直角坐标计算二重积分很不方便，而利用其它坐标如极坐标等可能会很容易求得结果，这就需要对直角坐标系下的二重积分进行变量代换．关于二重积分的变量代换，有如下定理．定理 设),(y x f 在D 上连续，),(),,(v u y y v u x x ==在平面uOv 上的某区域*D 上具有连续的一阶偏导数且雅可比.)Jacobi,( C.G.J 行列式0≠''''=vu vu y y x x J ， *D 对应于xOy 平面上的区域D ，则⎰⎰Df dudv J v u y v u x f dxdy y x D )],(),,([),(*⎰⎰=． （１）公式（１）称为二重积分的换元公式．二、极坐标系下二重积分的计算极坐标与直角坐标的关系为θθsin cos r y r x ==⎪⎩⎪⎨⎧ ． （２）其中，r 是极径，θ是极角．由极坐标的特殊性，以坐标原点O 向外发散的区域D ，如圆、圆环、扇形等，用极坐标表示是比较方便的，而且如果二重积分的被积函数也能够用极坐标简单表示（比如被积函数为)(22y x f +等），则利用极坐标，计算更方便．利用公式（１）可给出极坐标下二重积分的计算公式．由式（２）θθy y x x J rr''''=r r r r =+=-=)s i n (c o s c o ss i n s i n c o s 22θθθθθθ． 即r r J ==，从而极坐标系下二重积分的计算公式为⎰⎰⎰⎰=*)sin ,cos (),(D Drdrd r r f dxdy y x f θθθ． （３）例１ 计算积分dxdy e Dy x⎰⎰--22，D 是圆心在原点，半径为R 的闭圆．解 这里D ={}222),(R y x y x ≤+，在极坐标系下}20,0),{(*πθθ≤≤≤≤=R r r D ，且222r y x =+，于是dxdy e Dy x⎰⎰--22为)1(212222*220R Rr r R D r e e dr red rdrd e-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰⎰ππθθπ．例２ 计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，D 是由圆122=+y x 及422=+y x 所围成的环形区域.解 环区域D 在极坐标系中可表示为}20,21),{(*πθθ≤≤≤≤=r r D ，所以⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r dxdy x θθ222cos =⎰⎰πθθ203212cos dr r d π415=. 例3 计算⎰⎰--Ddxdy y x a 2224，D 是半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图7-9）．解 在极坐标系中，域D 可表示为}20,cos 20),{(*πθθθ≤≤≤≤=a r r D ，于是⎰⎰--Ddxdy y x a 2224⎰⎰-=*224D rdrd r a θ图7－10图7－9⎰⎰-=20cos 20224πθθa rdr r a d=⎰-=-20333)322(38)sin 1(38ππθθa d a ．例4 计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D {}x y x y y x 21,0),(22≤+≤>=．解 区域D 见图7－10（阴影部分），在极坐标下*D {}0,cos 21),(πθθθ≤≤≤≤=r r ,于是⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰⋅⋅=*sin cos D rdrd r r θθθ⎰⎰=3cos 213sin cos πθθθθdr r dθθθθπd r cos 214041sin cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰θθθθπd )41cos 4(sin cos 04⎰-=图7—11 θθθπcos )cos 41cos 4(305d --=⎰169cos 64cos 81062=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ． 例5 计算⎰⎰Ddxdy ，其中D 为椭圆12222=+by a x 所围成的闭区域．解 作广义极坐标变换⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x 其中πθ20,0,0,0≤≤≥>>r b a ，在此代换下，与D 相应的区域{}πθθ20,10),(*≤≤≤≤=r r D雅可比行列式 θθy y x x J rr ''''=abr br b ar a =-=θθθθcos sin sin cos ，从而⎰⎰Ddxdy ab abrdr d drd J D πθθπ===⎰⎰⎰⎰120*．由二重积分的几何意义，ab π即为椭圆12222=+by a x 所围成的面积．例6 计算⎰⎰Ddxdy y x 22，其中D 是由曲线2,1==xy xy 和直线xy x y 4,==所围成的第一象限的区域（图7－11）．解 该积分利用直角坐标或极坐标比较麻烦，根据积分区域，作变换.,v x y u xy ==⎩⎨⎧ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==.,v u x uv y 可得v J 21=． 于是⎰⎰D dxdy y x 22dv v du u dudv v u D ⎰⎰⎰⎰==41212212121*[]2ln 37ln 312141213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u ．三、广义二重积分前面我们讨论的都是有界区域D 上有界函数的二重积分．若将积分区域推广到无界区域，或者被积函数有无穷型间断点，则有广义二重积分．其定义与计算与一元函数的广义积分类似． 定义 设函数),(y x f z =在xOy 平面上的无界区域D 上连续．在D 上任取一有界区域1D ，则),(y x f z =在1D 上的二重积分存在，若此积分当D D →1时的极限存在，则称该极限为无界区域D 上的广义二重积分，即⎰⎰⎰⎰→=11),(lim ),(D DD Dd y x f d y x f σσ．可以证明，若),(y x f z =在D 上不变号，则广义二重积分的值与D D →1的方式无关．例7 证明概率积分π=⎰∞+∞--dx e x 2．证明 考虑广义二重积分σd e Dy x⎰⎰--22，其中D 是xOy 平面．取1D 为圆心在原点，半径为R 的圆，当D D →1时，+∞→R ．根据例1求得的结果，σd e Dy x ⎰⎰--22=DD →1limππ=-=-+∞→--⎰⎰)1(lim 2122R R D y x e dxdy e ．另一方面，令{}R y R x y x D ≤≤=,),(2（图7－12）， 则当D D →2时，+∞→R ．dxdy e dxdy e D y x DD Dy x⎰⎰⎰⎰--→--==222222limπ图7－12⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰----+∞→R R R R y x R dy e dx e 22lim2222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞+∞----+∞→dx e dx e x R R x R ，于是 π=⎰∞+∞--dx e x 2．若函数),(y x f z =在xOy 平面上的有界区域D 上有无穷间断点，或在D 内的某一条曲线上有无穷间断点，此时，可取D D ⊂1，而),(y x f 在1D 上连续，定义广义二重积分⎰⎰⎰⎰→=11),(lim),(D DD Dd y x f d y x f σσ．例8 计算广义积分,22⎰⎰+Dyx d σ其中，{}222),(R y x y x D ≤+=．解 对于被积函数来说，点)0,0(为其无穷间断点．设R a <<0，则在环型区域1D {}2222),(R y x a y x ≤+≤=上，被积函数连续，且当D D →1时，0→a ，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→=+=+R aa D DD Drdr rd yx d yx d 22022221lim lim11πθσσR a R a ππ2)(2lim 0=-=→．小结1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
二重积分的所有变换
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 三
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结束
一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分定义为积分和式的极限． 二重积分定义为积分和式的极限 ． 如果直接用 二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的， 二重积分的定义去计算它的值 ， 是相当困难的 ， 甚 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义— 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义 几何意义 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方 法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积 即二次积分. 分，即二次积分.
o
a
x
b
x
其中 A( x ) 是垂直于 x 轴的平面与曲顶柱体相交部分 的面积. 是一个曲边梯形的面积. 曲边梯形的面积 的面积.即 A( x )是一个曲边梯形的面积.
对固定的 x ,此曲边梯形 曲边是由方程 的曲边是由方程 z = f ( x, y ) 确定的关于 y 的一元函数 的曲线, 的曲线,而底边沿着 y 方 向从 ϕ1 ( x) 变到 ϕ2 ( x) .故 其面 A( x ) 积为
A( x ) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
z
A( x)
y
y = ϕ2 ( x)
o
a
x
b
y = ϕ1 ( x)
x
f ( x, y )dy
从而
ϕ2 ( x) f (x, y)dy dx (1) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫a ∫ϕ1(x) D D