离散化方法
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理连续传递函数离散化是将连续时间域中的传递函数转换为离散时间域中的传递函数的过程。
在控制系统设计中，离散化是非常重要的一步，因为大多数数字控制器本质上只能处理离散的输入和输出信号。
离散化方法的选择对系统的稳定性、性能和可实现性都有很大的影响。
离散化方法分为两大类：时域方法和频域方法。
时域方法根据传递函数的时间响应，或者根据传递函数的微分方程进行转换。
频域方法通过拉普拉斯变换和z变换之间的等价关系进行转换。
时域离散化方法：1. 脉冲响应不变法（Impulse Invariance Method）：这是最常用的离散化方法之一、它通过将连续时间系统的脉冲响应对应到离散时间系统的单位冲激响应上来实现离散化。
该方法的原理是保持连续系统和离散系统的单位冲激响应相同，从而尽可能保持系统的动态特性。
2. 零阶保持法（Zero Order Hold Method）：这个方法假设连续时间系统在每个采样周期内是恒定的，即将采样周期内的连续时间系统输出等效为一个恒定值。
这个方法的原理是根据离散系统的输出间隔和连续时间系统的采样间隔，使用插值方法得到离散系统的输出值。
3. 一阶保持法（First Order Hold Method）：这个方法在零阶保持法的基础上改进，考虑了连续时间系统在每个采样周期内的变化趋势。
它假设连续时间系统在每个采样周期内是线性变化的。
通过插值方法得到离散系统的输出值。
4. 向后微分法（Backward Difference Method）：这个方法根据连续时间系统微分方程中的向后差分近似来实现离散化。
它假设离散时间系统输出的变化率等于连续时间系统输出的变化率。
频域离散化方法：1. 频率响应匹配法（Frequency Response Matching Method）：这个方法将连续时间系统和离散时间系统的频率响应函数进行匹配，使它们在一定频率范围内的增益和相位相近。
通过频率响应函数的等价性，可以使用拉普拉斯变换和z变换之间的关系得到离散时间系统的传递函数。
五、离散化处理
五、离散化处理1、离散化⽅法——等宽法将数据的值域分成具有相同宽度的区间，区间的个数由数据本⾝的特点决定或者⽤户指定，与制作频率分布表类似。
pandas 提供了 cut 函数，可以进⾏连续型数据的等宽离散化，其基础语法格式如下。
pandas.cut(x,bins,right=True,labels=None,retbins=False,precision=3,include_lowest=False)使⽤等宽法离散化的缺陷为：等宽法离散化对数据分布具有较⾼要求，若数据分布不均匀，那么各个类的数⽬也会变得⾮常不均匀，有些区间包含许多数据，⽽另外⼀些区间的数据极少，这会严重损坏所建⽴的模型。
离散化代码实现：1# 2、将连续的⼩数数据---->区间数据（类别数据、离散数据） ---（离散化）2# 将连续的⼩数数据---拆分成不同的区间3# cut --拆分4# detail ---amounts单价数据 ---可以理解为连续的⼩数数据5# 将amounts进⾏拆分---离散化6# 加载detail数据7 detail = pd.read_excel('./meal_order_detail.xlsx')8print('detail:\n', detail)9print('detail的列索引：\n', detail.columns)1011# x ：需要离散化的数据12# bins : 分组的组数，分组节点13# include_lowest :默认为False ,如果让系统默认拆分，包含最⼩值14# 如果⾃定义划分分组节点---不包含最⼩值，需要将include_lowest =True15# res = pd.cut(x=detail.loc[:, 'amounts'],16# bins=5,17# include_lowest=True)18# # 原来具体的数值---->各个区间来代替原来的具体的值19# print('res:\n', res)20# print('*' * 100)21#22# # 可以同values_counts来查看分组之后，各个区间内的数量23# print(pd.value_counts(res))242526# ⾃定义分组27# (1) ⾃⼰直接指定分组节点28# bins = [1, 40, 80, 120, 160, 180]29# res = pd.cut(x=detail.loc[:, 'amounts'],30# bins=bins,31# include_lowest=True)32# print('res:\n',res)33# print('*' * 100)34# # 可以同values_counts来查看分组之后，各个区间内的数量35# print(pd.value_counts(res))36# # (2) 等宽分组37# # a、确定分组组数38# group_num = 539# # b、确定间距40# # 确定最⼤值41# max_amounts = detail.loc[:, 'amounts'].max()42# # 确定最⼩值43# min_amounts = detail.loc[:, 'amounts'].min()44# # 确定间距45# width = int(np.ceil((max_amounts - min_amounts) / group_num))46# # c、确定分组节点47# bins = np.arange(min_amounts, max_amounts + width, width)48#49# res = pd.cut(x=detail.loc[:, 'amounts'],50# bins=bins,51# include_lowest=True)52# print('res:\n', res)53# print('*' * 100)54# # 可以同values_counts来查看分组之后，各个区间内的数量55# print(pd.value_counts(res))2、离散化⽅法——等频法cut 函数虽然不能够直接实现等频离散化，但是可以通过定义将相同数量的记录放进每个区间。
离散化方法
离散化方法离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以将连续的数据转化为离散的数据，从而使得数据更加易于处理和分析。
在实际应用中，离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域。
离散化方法的基本思想是将连续的数据按照一定的规则进行分组，将每个分组看作一个离散的数据点。
这样，原本连续的数据就被转化为了离散的数据。
离散化方法的具体实现方式有很多种，常见的方法包括等宽离散化、等频离散化、聚类离散化等。
等宽离散化是将数据按照一定的宽度进行分组，每个分组的宽度相等。
例如，将一组数据按照区间宽度为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组的区间为0-10、10-20、20-30……90-100。
等宽离散化的优点是简单易懂，缺点是可能会导致某些分组中数据过于集中，而其他分组中数据过于分散。
等频离散化是将数据按照一定的频率进行分组，每个分组中包含相同数量的数据。
例如，将一组数据按照频率为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组中包含10个数据。
等频离散化的优点是可以避免某些分组中数据过于集中的问题，缺点是可能会导致某些分组中数据过于分散，而其他分组中数据过于集中。
聚类离散化是将数据按照一定的聚类算法进行分组，每个分组中包含相似的数据。
例如，可以使用K-means算法将一组数据分为若干个簇，每个簇中包含相似的数据。
聚类离散化的优点是可以更加准确地将数据分组，缺点是算法复杂度较高，需要进行参数调整。
离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
离散化的方法
离散化的方法
离散化是一种将连续数据转换为离散数据的方法。
在计算机科学领域，离散化常被用于处理大量数据或在计算机上进行数据分析。
离散化的方法有很多种，包括等宽离散化、等频离散化、k-means聚类离散化、自适应离散化等。
等宽离散化方法是将数据按照固定的宽度分成若干个区间，每个区间的宽度相同。
例如，将年龄数据按照每10岁分为一组。
等频离
散化方法是将数据分成若干个区间，每个区间内包含相同数量的数据。
例如，将一组学生成绩按照平均分数分成若干组。
k-means聚类离散化方法是将数据聚类成若干个簇，每个簇内的数据相似度高于不同簇内的数据。
例如，将一组商品销售数据聚成若干个簇，每个簇内的商品销售情况相似。
自适应离散化方法是根据数据分布特征，自动选取合适的离散化方法进行处理。
例如，将一组人口分布数据根据不同地区的人口密度特征，采用不同的离散化方法进行处理。
离散化的方法根据不同的应用场景和数据特征，选择合适的方法可以提高数据处理和分析的效率和准确性。
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三类时滞微积分方程的数值解法
三类时滞微积分方程的数值解法
时滞微积分方程是一种重要的微积分方程类型，它包含了未来时间点的状态对过去时间点的依赖关系。
根据时滞微积分方程的形式，可以将其分为三类：常微分方程时滞、偏微分方程时滞以及延迟微分方程时滞。
对于这三类时滞微积分方程，常用的数值解法有以下几种：
1. 离散化方法：将时滞微积分方程转化为一系列的离散方程组进行求解。
常见的离散化方法有Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法等。
2. 插值方法：通过插值近似来解决时滞的问题，常用的插值方法有拉格朗日插值和样条插值。
3. 迭代方法：通过迭代逼近求解，常用的迭代方法有Picard
迭代法和Newton迭代法。
此外，还可以利用数值差分方法、辛方法和有限元方法等进行数值求解。
具体选择哪种方法，需要根据具体的时滞微积分方程形式、问题类型以及求解精度要求进行综合考虑。
偏微分方程的离散化方法
偏微分方程的离散化方法偏微分方程是数学中一个重要的研究方向，它描述了在空间中各点的物理量随时间和空间变化的关系。
在实际问题中，我们常常需要求解偏微分方程的数值解。
然而，偏微分方程的解析解往往很难获得，因此我们需要对偏微分方程进行离散化处理，通过数值方法求解。
离散化方法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组的过程。
离散化的基本思想是将自变量和依变量都用有限个点表示，并采用差分近似方式将微分算子离散化。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分方法（Finite Difference Method）有限差分方法是最常用的离散化方法之一、它基于泰勒展开将偏微分方程中的导数项用差分表示，然后在离散点上构建差分方程，最后求解得到数值解。
有限差分方法在空间和时间上都进行离散化，通常采用中心差分或者向前、向后差分的方式来逼近导数项。
2. 有限元方法（Finite Element Method）有限元方法是另一种常用的离散化方法，它将求解区域划分为有限个离散的子区域，称为单元，然后在单元上构建适当的插值函数，将偏微分方程转化为一个代数方程组。
有限元方法在时间上进行离散化，通常采用线性或非线性插值函数来逼近解。
3. 边界元方法（Boundary Element Method）边界元方法是一种特殊的有限元方法，它将偏微分方程转化为边界上的积分方程，从而将偏微分方程转化为一个边界上的代数方程组。
边界元方法只在边界上进行离散化，对内部区域不需要离散化，因此可以减少计算量。
4. 谱方法（Spectral Method）谱方法基于函数在一定函数空间的展开表示，将偏微分方程转化为一个无限维度的代数方程组。
谱方法通过选择合适的基函数，可以获得非常高的数值精度。
常见的基函数包括傅里叶基函数和勒让德基函数等。
除了以上介绍的几种常见离散化方法，还有其他一些方法，如有限体积法、有限差分积分法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程。
离散化方法
1.离散化方法(1). 集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。
▪ 适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。
▪ 例如：房屋结构一般简化为层间剪切模型。
(2). 广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：▪ 适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线性组合来表示。
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y (x ,t )，可用一系列位移函数 的线性组合来表示：则组合系数A k (t )称为体系的广义坐标。
▪ 广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。
▪ 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。
▪ 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
▪所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。
(3). 有限单元法—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标； ▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。
▪ 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。
▪ 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。
▪ 已有不少专用的或通用的程序（如SAP ，ANSYS 等）供结构分析之用。
包括静力、动力 和稳定分析。
)(x k φ∑=φ=n k k k x t A t x y 1)()(),(l x n b x n n πsin )(∑∞==1ν2.运动方程的建立定义:在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
连续系统离散化方法
连续系统离散化方法连续系统离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。
本文将从离散化方法的定义、应用、实现以及优缺点等方面进行介绍。
一、离散化方法的定义离散化方法是指将连续系统转化为离散系统的过程。
在计算机中，所有的数值都是离散的，而实际上很多系统是连续的，比如电路、机械系统、化学反应等等。
离散化方法就是将这些连续系统转化为可以在计算机中处理的离散系统。
离散化方法可以通过采样和量化来实现。
二、离散化方法的应用离散化方法在很多领域都有应用，比如电路设计、控制系统设计、信号处理等等。
在电路设计中，离散化方法可以将连续电路转化为数字电路，从而实现数字信号的处理。
在控制系统设计中，离散化方法可以将连续控制器转化为数字控制器，从而实现数字化自动控制。
在信号处理中，离散化方法可以将连续信号转化为数字信号，从而实现对信号的数字处理。
三、离散化方法的实现离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。
采样是指对连续信号进行离散化，将其转化为一系列的采样值。
量化是指对采样值进行离散化，将其转化为一系列的离散数值。
采样和量化的具体实现方式包括正弦采样、脉冲采样、最大值采样、平均值采样等等。
量化的具体实现方式包括线性量化、对数量化、非线性量化等等。
四、离散化方法的优缺点离散化方法的优点是可以将连续系统转化为离散系统，从而可以在计算机中进行处理。
离散系统具有稳定性、可控性、可观性等优点。
离散化方法的缺点是会引入误差，因为离散化过程中会丢失一些信息。
此外，离散化方法需要选取适当的采样周期和量化精度，否则会影响系统的性能。
离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。
离散化方法的应用广泛，包括电路设计、控制系统设计、信号处理等等。
离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。
离散化方法既有优点，又有缺点，需要在具体应用中对其进行合理的选择和设计。
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对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与外界联系和相互作用的规律
往往影响数值计算的成败
边界条件
边界条件分类:
第一类边界条件
具有相对性
边界上给定待求变量的函数关系
第二类边界条件 边界上给定待求变量梯度的函数关系
第三类边界条件 边界上给定待求变量与其梯度之间的函数关系
常用边界条件举例
恒壁温边界条件 恒热流边界条件 绝热边界条件 入口出口边界条件 对称边界条件 周期性边界条件
2u = 1 p = C
y2 x
两次不定积分
u y
=
C
y
c1
u= C
y2 2
c1 y c2
平板边界条件 y 0,u 0; y h,u 0
解析解
u= C y2 h
2
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
(cpT
t
)
=
x
T x
y
T y
ST
沿x方向一维无源稳态导热
T y
ST
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u
t
u
x
v
y
x
x2
y2
v t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
沿x方向压力梯度为定值的平板定常层流
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
常用边界条件举例
对称 ①
Tair ⑤
T、 oil
p
②
绝热
④
①
y
③
恒温层
x
①
T 0 x
(第二类边界条件)
②
T r
|rR p
Toil
Tw
（第三类边界条件）
③ T=C
(第一类边界条件)
④
T 0 x
（第二类边界条件）
⑤
f
(T
Tair
)
T y
（第三类边界条件）
常用边界条件举例
流动传热控制方程
有一定的灵活性 与所采用的物理模型或数值方法有关
计算区域离散化
计算区域的离散化: 对空间上连续的计算区域进行剖分，划
分成许多子区域。实质上就是用一组有限 个离散的点来代替原来的连续空间。
线区域的离散
面区域的离散
体区域的离散
计算区域离散化
计算区域离散化的基本步骤:
将计算区域边界线用若干个点划分为若干段 按照计算区域的形状连接这些点将计算区域划
x 2 2
o(xn )
截断误差及其阶数
控制方程的离散化
有限容积法： 将控制方程在离散的计算区域中的每个具
有有限容积的网格单元内进行积分，得到 每个有限容积内的变量平均值表达式。
f x2 f (x)dx x1
有限差分法 有限容积法
控制方程的离散化
有限差分法：
利用泰勒展开将控制方程中的所有导数项 表示成有限个节点值的代数组合，从而将 微分方程表示成差分方程。
f
(x)
f
(x0 )
f x
x x0
2 f 2x
x x0 2
2
o( x
x0 n )
f ( x x)
f (x)
f x x
2 f 2x
x
T x
0
两次不定积分 恒温边界条件
解析解
T x
c1
T
c1
x
c2
x 0,T T1; x l,T T2
T
T2
T1 l
x
T1
控制方程的离散化
一般情况下无法作上述化简
解决途径：离散化后再求解
控制方程离散化： 用离散的计算区域中的节点上的变量及其
导数值来代替控制方程中的连续函数。 方程离散化的两类基本方法：
分为互不重叠的若干个子区域(网格) 确定物理量代表点(节点)在子区域中的位置
是否唯一的离散方式？
计算区域离散化
网格：
均分网格 非均分网格 网格的命名和步长
节点:
内部节点 边界节点 节点的编号和间距
边界条件
边界条件: 物理模型在边界上遵循的规律或具有的
特点，方程组的解在边界上应满足的条件。
(cpT
t
)
div(
c
p
ur UT
)=div(
gradT
)
ST
流动传热控制方程
不可压缩流体流动方程组:
u v 0 x y
u t
u
u x
v
u y
1
p x
2u x2
2u y2
v t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
导热方程:
(cpT )
t
=
x
T x
y
计算区域和边界
突扩后台阶流动计算区域和边界：
计算区域和边界
埋地热油管道土壤传热计算区域和边界：
y
地表
o
大气
x
H0管道埋深
y
管道和防腐层等
向
热
力
影
土壤
响
区
H
x向热力 影响区2L
计算区域和边界
确定计算区域和边界的原则:
包含所研究问题的全部特征或近似全部的 特征。
取决于物理问题本身，不能随意取
控制方程: 物理模型所用的数学表达式，控制物理量 的变化规律。
质量守恒方程:
r
(U
)
0
t
流动传热控制方程
动量守恒方程:
(u)
t
r
div(uU
)
div(gradu)
Su
p x
( )
t
r
div(U
)
div( grad )
Sv
p y
( w)
t
div(
r wU
)
div(gradw)
Sw
p z
能量守恒方程:
二、离散化方法
离散化方法
1 计算区域及其离散化 2 流动传热控制方程及其离散化
计算区域和边界
计算区域: 从实际问题抽象出来的物理数学模型中
所规定的物理量发生变化的主要区域。 线：直线 面：矩形、圆形、环形、扇形、环扇形 体：立方体、球体、圆柱体 边界：
物理量发生变化的最大界限，或者所研 究对象与外界的分界线。