第一章 引言

工程优化方法硕士研究生学位课程

课程作用与任务

最优化是一个重要的数学分支，同时又是一门应用广泛、实用性很强的学科。最优化是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标的学科，是随着计算机的普遍应用而发展起来的，已广泛应用于各个领域。本课程旨在讲授最优化的基本理论和方法，要求通过本课程的学习，具有应用最优化方法解决一些实际问题的初步技能，并为以后的学习和工作做必要的准备。

基本要求

1．理解并掌握最优化的基本概念、无约束优化的基本理论、约束最优化的基本理论与线性规划的基本理论；

2．熟悉并掌握一维搜索方法、最速下降法、牛顿方法、共轭梯度法、变尺度法的思想、原理及计算等；

3.实践技能：在理解最优化的基本原理、具体算法的基础上，自己编制解决实际问题的优化程序及实现课内部分算法。

内容及安排

第一章绪论

第二章基础知识

第三章一维搜索方法第四章无约束优化方法第五章线性规划

第六章约束优化方法

参考书目:

《最优化计算方法》，陈开周，西电出版社

《最优化理论与算法》陈宝林，清华大学出版社

《实用最优化方法》唐焕文秦学志，大连理工出版社

作业：按章交作业——每章结束后的下一次课交作业.

注：1)以活页纸方式提交，写清楚姓名、学号、院系专业。

2) 合适时间课堂讲解部分作业 (建议大家课间及课前

答疑).

第一章绪论

▪引言

▪最优化问题举例

▪最优化问题的数学模型与分类▪最优化的基本概念

第一章绪论

§1 引言

最优化就是从所有可能方案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。达到最优目标的方案称为最优方案。搜索最优方案的方法称为最优化方法。关于最优化方法的数学理论称为最优化理论。

最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关称为静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。

本课程主要讨论静态优化问题

历史与现状

▪公元前500年，古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。

▪在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。

历史与现状

▪17 世纪，Newton & Leibniz 提出了函数的极值问题；后来出现了Lagrange乘数法；

▪1847年，Cauchy研究了函数值沿什么方向下降最快的问题，提出了最速下降法；

▪1939年，苏联数学家提出解决下料问题和运输问题这两种线性规划问题的求解方法；

▪1947年，Dantzig 提出解线性规划问题的单纯形法，被称为“20世纪最伟大的创作之一”；

历史与现状

▪1948年，Fritz John 提出最优性条件；

▪1951年，Kuhn和Tucher 提出最优性条件，完成了非线性规划的基础工作；

▪近几十年来，最优化理论和算法发展十分迅速，应用也越来越广泛，已成为一个相当庞大的研究领域；

▪狭义上主要指非线性规划问题的相关内容；

▪广义上则涵盖：线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等等。

建立最优化数学模型时的一些说明：

数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。

建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算。

一般的模型简化工作包括以下几类：

（1）将离散变量转化为连续变量。

（2）将非线性函数线性化。

（3）删除一些非主要约束条件。

建立最优化问题数学模型的三要素：

（1）决策变量和参数。

决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。（2）约束或限制条件。

由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。

（3）目标函数。

这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。

§2 最优化问题举例

●经典极值问题的一个实例

例 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？

解：设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题可表示为

2

2

min 224

.. 3

rh r

s t r h ππππ+=

其中“..s t ”为“subject to ”字头，意为“受约束于”。

也可化为无约束的函数极值问题：2

8min 23r r π

π+

此例实际上代表了经典优化中的两种类型的问题及其解法。

第一， 无约束极值问题：

12min (,,

,)n f x x x （或12max (,,

,)n f x x x ）

其中12(,,

,)n f x x x 为n R 上的可微函数，求可能的极值点的方

法是：先求出如下n 元方程组

121212

12(,,,)0

(,,,)0

(,,,)0 n x n

x n

x n f x x x f x x x f x x x '⎧=⎪

'⎪=⎪⎪⎨

⎪⎪'=⎪⎪

⎩

的解，然后判定或验证这些解是否为极值点。