2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图

所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为

（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211

23

()x x y e x e =

+-（A ）321,,a b c =-==-（B ）a =（C ）321,,a b c =-==（D ）3a =【

21=即得

a x xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） 3

=依次为级数1

1()n n n na x ∞

=-∑的

（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点

(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数

1

n

n a

∞

=∑条件收敛等价于幂级数

1

n n

n a

x ∞

=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，

即11lim

n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞

=-∑的收敛半径1

11lim ()n

n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）

４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上

连续，则

(,)D

f x y dxdy =⎰⎰（）

（Ａ）

1

32

1

422

sin

sin

(cos,sin)

d f r r rdr

π

θ

π

θ

θθθ

⎰⎰

（Ｂ）3

4

(cos,sin)

d f r r rdr

π

π

θθθ

⎰

（Ｃ）

1

32

1

422

sin

sin

(cos,sin)

d f r r dr

π

θ

π

θ

θθθ

⎰⎰

（Ｄ）3

4

(cos,sin)

d f r r dr

π

π

θθθ

⎰

【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：

也就是D

：

43

r

ππ

θ

⎧

<<

⎪⎪

⎨

<<

所以(,)

D

f x y dxdy=

⎰⎰3

4

(cos,sin)

d f r r rdr

π

π

θθθ

⎰，所以应该选（B）．

5．设矩阵

22

1111

12

14

,

A a b d

a d

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

==

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

是

（A）,

a d

∉Ω∉Ω（B）,

a d

∉Ω

【

6x Py

=下的标准形为222

123

2y y y

+-，其中()

123

,,

P e e e

=，若Q Qy下的标准形为

（A）222

123

2y y y

-+（B）222

123

2y y y

+-

（C）222

123

2y y y

--（D）222

123

2y y y

++

【详解】()()

132123

100100

001001

010010

,,,,

Q e e e e e e P

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=-==

⎪ ⎪

⎪ ⎪

--

⎝⎭⎝⎭

，

100

001

010

T T

Q P

⎛⎫

⎪

=-

⎪

⎪

⎝⎭

所以

10010010021002

00100100110011

01001001010101 T T

Q AQ P AP

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪

=-=-=-

⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪

---

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

故选择（A）．

7．若,A B为任意两个随机事件，则（）