八年级下册 二次根式压轴题解析

二次根式压轴题（八下学完才能用）

一．选择题（共1小题）

1．（2003?杭州）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）

A．只有①错误，其他正确B．①②错误，③④正确

C．①④错误，②③正确D．只有④错误，其他正确

二．填空题（共11小题）

2．（2012?山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值

是．

3．（2010?鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，

∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=．

4．（2010?拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：

（1）写出一对符合条件的数对是；

（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有对．

5．（2010?澄海区校级模拟）化简=．6．（2009?兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=．7．（2009?琼海模拟）化简二次根式的正确结果是．8．（2008?贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：

=．9．（2004?宁波）已知：a＜0，化简=．10．（1998?杭州）已知，则=．11．（1998?内江）已知ab=2，则的值是．

12．（1997?内江）已知1＜x＜2，，则的值是．三．解答题（共4小题）

13．（2012?巴中）先化简，再求值：（﹣）?，其中x=．14．（2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

==；（一）

=（二）

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=（四）

（1）请用不同的方法化简．

①参照（三）式得=（）；

②参照（四）式得=（）

（2）化简：．

15．（2008?凉山州）阅读材料，解答下列问题．

例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；

当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；

当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．

∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，

这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．

问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；

（2）猜想与|a|的大小关系．

16．（2005?台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：

…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=…②（其中p=．）

（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

二次根式压轴题（八下学完才能用）

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2003?杭州）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；

④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）

A．只有①错误，其他正确B．①②错误，③④正确

C．①④错误，②③正确D．只有④错误，其他正确

考

点：

二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；勾股定理．

专

题：

压轴题．

分析：①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；

②隐含条件a≥0，根据二次根式的定义解答；

③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出﹣a、﹣b的符号即可；

④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等．

解答：解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；

②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；

③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则﹣a＞0，﹣b＞0，点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；

④正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等．

故选：A．

点评：本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法．

二．填空题（共11小题）

2．（2012?山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是4﹣5．

考

点：

二次根式的混合运算．

专

题：

压轴题；新定义．

分

析：

先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可．

解

答：

解：由题意得：2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．

故答案为：4﹣5．

点

评：

本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义．

3．（2010?鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=12．

考

点：

二次根式的应用；等腰三角形的性质；垂径定理；解直角三角形．

专

题：

压轴题．

分析：作辅助圆A，由已知证明△ABC为等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，作CF⊥BD，将△BCD分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解．

解答：解：法一：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CF⊥BD，垂足为F，∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上，

∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，

AE=EC=BE，AE⊥BC，

∴∠BAC=90°，

∠BDC=∠BAC=45°，

又∵∠BAC=3∠DBC，

∴∠DBC=30°，

∠CAD=2∠DBC=60°，

△ACD为等边三角形，

设AB=AC=CD=x，

在Rt△ABC中，BC=x，

在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，

同理，DF=x，

由DF+BF=BD，得x+x=6+6

解得x=12，即AB=12．

法二：作CF⊥BD，垂足为F，

∵AB=AC，E是CB的中点，AE=EC

∴AE=BE=EC，AE⊥BC，

∴∠BAE=∠ABE=45°，∠ACE=∠EAC=45°，

∴∠BAC=90°，

又∵∠BAC=3∠DBC，

∴∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB=15°，

∴∠BAD=150°，

∴∠CAD=60°，

△ACD为等边三角形，

设AB=AC=CD=x，

在Rt△ABC中，BC=x，

在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，