定积分应用方法总结(经典题型归纳)
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定积分复习重点
定积分的考查频率不是很高,本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义,使用微积分基本定理计算定积分,使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等. 1.定积分的运算性质
1212(1)()()().
(2)[()()]()().
(3)()()()().
b b
a
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b c b
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kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a 2.微积分基本定理 如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且' ()()F x f x =,那么 ()()() b a f x dx F b F a =-⎰ ,这个结论叫微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼兹公式。 3.求定积分的方法 (1)利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分. 例如: 2 30 (1-2sin )2d π θ θ⎰注:3 2 2 ()3x x '=,(-cos )sin x x '= ②分段函数,分段求定积分,再求和.(被积函数中带有绝对值符号时,计算的 基本思路就是用分段函数表示被积函数,以去掉绝对值符号,然后应用定积分对积分区间的可加性,分段进行计算) 1.计算积分⎰---3 22|32|dx x x 解1. 由于在积分区间]3,2[-上,被积函数可表示为 ⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--. 31,)32(, 12,32|32|2 2 2x x x x x x x x 所以 ⎰ ---3 2 2|32|dx x x 13)32()32(3 1 212 2=-----=⎰⎰---dx x x dx x x . (2)利用定积分的几何意义求定积分 如定积分 1 20 14x dx π -= ⎰ ,其几何意义就是单位圆面积的1 4。 (课本P60 B 组第一题) (3)利用被积函数的奇偶性 a. 若()f x 为奇函数,则()0 a a f x dx -=⎰; b. 若()f x 为偶函数,则0()()a a a f x dx f x dx -=⎰⎰2;其中0a >。 例题:1.2 352 2(+5x )0 x dx -=⎰ (同步训练P 32 第3题) 2. a a a (cos -5sin 2)(cos -5sin )24a a a x x x dx x x x dx dx a ---+=+=⎰ ⎰⎰ 3) (2007枣庄模拟)已知f (x)为偶函数,且6 ()8 f x dx =⎰,则6 6 ()f x dx -⎰等于( B ) A.0 B.4 C.8 D.16 (同步训练P30 第6题) 4.利用定积分求曲边多边形的面积 在直角坐标系中,要结合具体图形来定: 方法总结:求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形,(2)求出交点的横坐标.定出积分的上、下限; (1)(); (2)()(); (3)()()()(); (4)[()()]b a b b a a c b c b a c a c b a S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx == =-=+=-=-⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分的表达式;(5)运用微积分基本定理计算定积分,求面积. 5.定积分在物理中的应用 (1)变速直线运动问题 如果作变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是()()()0v v t v t =>,那么物体从时刻()t a t b a b ==<到所经过的路程为: ()b a s v t dt =⎰ (2)变力做功问题 ()b a W F x dx =⎰ 巩固练习: 1.由直线x y e x y 2,,0===及曲线x y 2 =所围成的封闭的图形的面积为( ) A.2ln 23+ B .3 C .322-e D.e 2.由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2 x x π ==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积 是 . 3.在平面直角坐标系xOy 中,由直线0,1,0x x y ===与曲线x y e =围成的封闭图形的面积 是 . 4.曲线0,,2y y x y x == =-所围成的封闭图形的面积为 . 5.由直线x=- 3π,x =3 π ,y=0与曲线y =cos x所围成的封闭图形的面积为 . 6.曲线1xy =与直线y x =和3y =所围成的平面图形的面积为_________. 7. 2 20 4x dx -=⎰ . 8.曲线2 y =x与y =2x 围成的图形的面积为______________. 巩固练习答案: 1.B 1 21010 1 22|2ln |123e e xdx dx x x x +=+=+=⎰ ⎰ ,故选B . 2.222- 故4400 222 (cos sin )2(sin cos )|2( 1)22222S x x dx x x π π =-=⋅+=⋅+-=-⎰ 3.1e - 4. 10 3 4 4 33244 2 20 220 2 210(2)(2)423 233x S xdx x dx x x =--=--=⨯-=⎰ ⎰. 5.3 6.4ln3- 则所求区域面积为()131131334ln 3S dx x dx x ⎛⎫ =-+-=- ⎪⎝ ⎭⎰⎰ 3,3() 13,3() 1,1() O y x y=3 y= 1x y=x