定积分的应用练习题,DOC
定积分的应用题
六、定积分应用题
23x x 7x 1、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.（要求作图）（6分）
24y =−2y x =+2、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
24y =−2y x =−+3、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
24y x =+2y x =−+4、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
24y x =+27y x =+5、求抛物线22y =与直线4y x =−+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
6、求抛物线与直线22y =x 4y x =−所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
7、求抛物线212y x =
与直线4y x =+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分） 8、求抛物线212
y x =
与直线4y x =−+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
9、求抛物线24y x =与直线3y x =−+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
10、求抛物线24y x =与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
3y x =−。
定积分的应用61792
第六章 定积分的应用练习题1． 选择题（1）由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 23 （2）由曲线22,2x y x y ==与直线1=y 所围成图形的面积为（ ）A ．322- B ． 3224- C ． 32 D ． 31（3）心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ．223a π B ． 243a π C ． 283a π D ． 23a π （4）由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）A ． π16B ． π32C ． π8D ． π4（5）曲线22,2x y x y ==与直线1=y 所围成的图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）A ． πB ．π43 C ． π41D ． π21 （6）曲线2xx e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）A ． 2a a e e -+B ． 2aa e e -- C ．12++-a a e e D ．12-+-a a e e （7）一汽船按2t x =做直线航行，水的阻力与速度平方成正比（比例系数为k ），汽船从静止开始向前航行2米，发动机克服阻力所做的功为（ ） A ． k B ． 2k C ． 4k D ．8k（8）水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）A ． 245kNB ． 245NC ． 205．8ND ． 205．8kN （9）一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，平面与地面的交角为α，则平面截该圆柱体所得立体的体积为（ ）A ．αtan 323R B ． αtan 313R C ． αtan 343R D ． απtan 33R （10）一圆柱形水池，深为h ，半径为a ，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ ）A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 41 2．填空题（1）曲线0,,0,sin ====y x x x y π围成的平面图形的面积为 ．（2）由抛物线22x y =与直线x y 24-=所围成图形的面积为 ．（3）椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为 ．（4 ）双纽线θ2sin 32=r 相应于22πθπ≤≤-上的一段弧所围成的图形面积为 ．（5）由曲线x y x y ==,2所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．（6）由双曲线xy 1=和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．（7）曲线331x x y -=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． （8）一底为8cm ，高为6cm 的等腰三角形片，铅直地浸没在水中，顶在上、底在下．则该三角形片的侧面所受到的水的压力为 ．3．下列各图中画斜线部分的面积：4．求由下列各组曲线所围平面图形的面积：（1）2,,===-x e y e y x x （2）0,2,1,3====x y y x y （3）2,2=+=y x x y （4）0,)2(,23=-==x x y x y（5）0,ln ,1,0====x x y y y （6） 0,22=+-=y x x x y（7）8,2222=+=y x x y (较小的一块) （8）0,,1,1=-=-==y e x x xy 5．求由曲线x y sin =与x y 2sin =π≤≤x o 所围成的平面图形的面积．6．求抛物线x y 42=及其在点（1，2）处的法线所围成的图形的面积． 7．已知曲线)0(2>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为489，试求k 的值． 8．求a 的值，使曲线)1(2x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．9．在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积10．求 椭圆1322=+y x 与1322=+y x 所围公共图形的面积 11．求笛卡尔叶形线0333=-+axy y x 所围成的平面图形的面积为．12．求星形线 ⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 与坐标轴在第一象限所围成图形的面积．13．求由下列各平面图形的面积：（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分14．求对数螺线θae r =及射线πθπθ=-=,所围图形的面积．15．求曲线xe y -=与x 轴之间位于第一象限的平面图形的面积．16．证明：从抛物线12-=x y 上的一点P 引抛物线2x y =的切线，该切线与2x y =所围成的面积与P 点的位置无关．17．一物体，其底面是半径为R 的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积．18．求抛物线2x y =与直线x y 2=所围图形分别绕x 轴和y 轴旋转所形成立体的体积． 19．曲线4)5(22=-+y x 围成的平面图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积．20．求由双曲线12222=-by a x 与直线b y ±=所围成平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积．21．曲线222x y -=和21x y -=围成一平面图形．求（1） 该平面图形的面积．（2） 将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积． 22．利用定积分证明，下底半径为R ，高为h 的正圆锥的体积为h R 231π23．求以圆222a y x =+为边界线的平面图形绕直线b x =旋转所形成立体的体积（0>>a b ）．24．求曲线)20()cos (sin )sin (cos π≤≤⎩⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长25．求曲线y y x ln 21412-=相应于e y ≤≤1上的一段弧长． 26．求曲线)1ln(2-=x y 相应于区间[2，3]得一段弧长．27．求曲线dt t y x⎰--=323的全长28．求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长29．利用定积分证明，半径为R 的圆周的周长为2πR ．30．证明曲线x y sin =一个周期的弧长等于椭圆2222=+y x 的周长31．由虎克定律可知，弹簧的伸长与拉力成正比．已知弹簧伸长1cm 时拉力为1N ，求把弹簧拉长10cm ，拉力所做的功．32．一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？33．设有一质量为M ，长为L 的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距细棒近端为a 的指点，质点的质量为m ．求细棒对该质点的引力．（根据万有引力定律）34．某下水道的横截面时直径为3m 的圆，水平铺设，下水道内水深1．5m ，求与下水道垂直的闸门所受的压力．35．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅值地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，顶离水面3厘米，试求它侧面所受的压力．36．设有一半径为R ，圆心角为α的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ．在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力．37．若电量Q 均匀地分布在长为L 的细棒上，求棒的中垂线上离棒中心为a 处的电荷q所受的电场力．38．一物体以速度t t v 232+=（米/秒）作直线运动，计算它在前3秒内的平均速度． 39．计算正弦交流电t A i ωsin =一个周期T （ωπ2=T ）内，电流的平均值和有效值（即电流的均方根⎰=T dt t i T I 02)(1） 40．求下列函数在],[a a -上的平均值 （1）22)(x a x f -=（2）3)(x x f =41．血液在动脉里流动时，距离动脉中心线r 处的血液流动速度为)()(22r R k r v -=，其中R 是动脉的半径，k 是常数，求血液流动的平均速度．42．一密度均匀的薄片，其边界由抛物线ax y =2与直线)0(>=a a x 围成，求此薄片的重心坐标．43．某厂每批生产某产品Q 单位时，收益函数为Q Q R 02.010)(-=（单位：元/单位），当生产10单位时总成本为60元．问此时生产利润是多大？自测题（A ）（一）选择题1．曲线2y x =与直线x y =所围成的平面图形的面积为（ ）A ．21 B ． 31 C ． 61 D ． 32 2．椭圆 ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos )232(ππ≤≤t 与y 轴所围成图形的面积为( )A ．ab 4πB ．ab 2πC ．ab 43πD ．ab π3．曲线)22(cos ππ≤≤-=x x y 与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积为（ ）A ．2πB ．πC ．22πD ．2π4．曲线2,12=+=x y x 所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）A ．π1564 B ． π1532 C ． π152 D ． π1565．一物体沿x=3t 2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k ），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为A ． 4kB ．2kC ．6kD ．8k6．曲线)(x f y =具有一阶连续导数，则曲线上相应于],[b a x ∈的一段弧长为（ ） A ． ⎰+badx x f )(12B ． ⎰-badx x f 1)(2 C ．⎰+badx x f |)('|1 D ．⎰+badx x f 2)]('[1（二）填空题1．由曲线y=cosx 和直线 x y -=π2 所围图形的面积为 ．2．对数螺线θe r 2=自0=θ到πθ2=的一段弧所围平面图形的面积为 ． 3．由曲线4,3=+=y x xy 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．4．曲线)1ln(2x y -=相应于区间[0，21]上的一段弧的长度为 ． 5．曲线0,2,3===y x x y 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．6．函数12+=x y 在区间[-2，4]上的平均值为 ．（三）解答题1． 求由曲线x y x y ==,3所围图形的面积．2．求c 的值（c>0），使两曲线2x y =与3cx y =所围图形的面积为323．如图6—27，设函数20,sin π≤≤=x x y ．求：（1）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最大？ （2）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小？4．设平面图形式由x y x y ==,2及x y 2=所围成，求：（1） 此平面图形的面积．（2） 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．5．设有一直径为8m 的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？ 6．利用定积分证明，半径为r 的球体的体积为343V r π=自测题（B ）（一）选择题1． 曲线2x y =与32x y =所围成的图形的面积为（ ）A ．53 B ． 52 C ． 153 D ． 151 2．曲线xe y =及该曲线的过原点的切线和x 轴的负半轴所围成的平面图形的面积为（ ）A ． eB ． 2e C ． e 21 D ． 221e 3．曲线)2)(1(--=x x x y 与x 轴所为图形的面积可表示为（ ） A ．⎰--20)2)(1(dx x x x B ．⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x xC ． ⎰---2)2)(1(dx x x x D ．⎰⎰--+---211)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x4．由)0(sin π≤≤=x x y 和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积为（ ）A ． 2πB ． 24πC ．231π D ． 22π 5．摆线)20()sin 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 的一拱与x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转所得旋转体的体积为（ ）A ． 34a πB ． 325a π C ． 324a π D ． 35a π6．一个半圆形的水池半径为R ，池内盛满了水，则把池内的水抽出2R所做的功与把水全部抽出所做的功之比为（ ）A ．21 B ． 167 C ． 32 D ．41 （二）填空题1．由曲线2,2,1==+=y x xx y 围成的平面图形的面积为 ． 2．由0,2,3===y x x y 所围成的图形，绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ．3．抛物线342-+-=x x y 与直线62,34+-=-=x y x y 围成的平面图形的面积为 ．4． 曲线16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ．5．曲线⎰-=xdt t y 2cos π的全长为 ．6．由直线21=x 与抛物线x y 22=包围的图形绕直线1=y 旋转所得旋转体的体积为 ．（三）解答题1．求由曲线x y x y sin ,cos ==和直线π2,0==x x 所围图形的面积．2．过抛物线2x y =上一点),(2a a P 做切线，问a 为何值时所做的切线与抛物线142-+-=x x y 所围成的图形面积最小？计算该最小值．3．试求抛物线2x y =在点（1，1）处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积4．求曲线1,sin 1=+=r r θ所围成的图形公共部分的面积．5．在椭圆1422=+y x 绕长轴旋转生成的椭球中，沿长轴方向打一圆孔，如果剩余部分的体积是椭球体积的一半，则孔的直径是多少？6．边长为b a ,的矩形薄片，与液面成30角沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设b a ，液体的比重为γ，试求薄片每面所受的压力．7．如图6-2-5所示，在曲线)0(2>=c cx y 上对应1=x 的点A(1，c)处作其法线，今将由该法线及曲线2cx y =与y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周．证明41=c 时旋转体体积最小．参考答案练习题1．（1）A （2）B （3）B （4）C （5）C （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D2． （1） 2； （2）335； （3） πab ； （4）23； （5）π103；（6）)1(2-e π； （7）3432-； （8）940．8kN ． 3． （1）61； （2） 1； （3） 332； （4） 332． 4． （1） 222-+-e e ； （2） )12(4334-； （3） 214； （4） 1225；（5）1-e ； （6）214； （7）π234+； （8）1 ． 5．2． 6．364． 7．322． 8．23． 9．)32,33(． 10．a 332． 11．a 23． 12．2323a π．13．（1）2a π； （2）2332-π； （3）π227； （4）2316-+π． 14．)(4222ππe e a -． 15．1． 16．略． 17．3316R ． 18．π1564． 19．240π． 20．382b a π． 21．（1） 238π-； （2） 3,1544ππ==y xV V ． 22．略． 23．b a 222π． 24．a 22π． 25．)1(412+e ． 26．3ln 2ln 1+-． 27．π343+． 28．a 8． 29．略． 30．提示 ：将椭圆方程化为参数方程，分别导出两条曲线的长度，即可证明． 31． 0．5J ． 32．16411．73kJ ． 33．)(a l a GMm+． 34．20．05kN ．35．1646．4kN ． 36．2sin 2,0αρR km F F x y ==． 37．提示：建立以中垂线为y 轴，细杆为x 轴的平面直角坐标系，将电荷受到的力分解为x 轴和y 轴方向的分力．由对称性，x 轴方向的分力，合力为零，只需计算y 轴方向上的分力． 2242La a kQq F y +=38．12m/s ． 39．A 22． 40．（1）4πa ； （2）0． 41．232kR ． 42．0,53==y a x ． 43．39元． 自测题（A ）一．1．C 2．B 3． C 4． A 5． C 6．D二．1．316271π+； 2．14-πe ； ．π38；4．213ln -； 5．π564； 6． 5． 三．1．125． 2．21． 3．（1）0=t ，（2）4π=t ．4．（1）67；（2）ππ615,1562==y x V V ． 5．1964．4 kJ ． 6．略． 自测题（B ）一．1．D 2． 3．B 4．D 5．B 6．D 二．1．212ln -； 2．π564； 3．49；4．2160π； 5． 4；， 6．34π． 三．1．123+， 2．min 41,3a A ==3． 30π 4．245-π 5．约为1．22 6．)4(41b h ab +γ 7．略。
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
高考数学定积分应用选择题
高考数学定积分应用选择题1. 定积分在几何应用中，计算一个矩形的面积，面积为10平方单位，则该矩形的长和宽分别为（）A. 2, 5B. 10, 2C. 5, 2D. 2, 22. 定积分在物理应用中，一个物体从静止开始沿直线加速运动，已知初速度为2m/s，加速度为5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程3. 定积分在物理应用中，已知物体沿直线运动的位移s与时间t 的关系为s=3t^2-2t+1，求物体在t=1秒时的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程4. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线加速运动，已知初速度为5m/s，加速度为2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程5. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线加速运动，已知初速度为3m/s，加速度为4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程6. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为5m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程7. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为3m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程8. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为2m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程9. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为1m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程10. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为2m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程11. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为3m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分D. 积分方程12. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为4m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程13. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为5m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程14. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为6m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程15. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为7m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程16. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为8m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程17. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为9m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程18. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为10m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程19. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为11m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程20. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为12m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程21. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为13m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程22. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为14m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程23. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为15m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程24. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为16m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程25. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为17m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程26. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为18m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程27. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为19m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程28. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为20m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程29. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为21m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程30. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为22m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程31. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为23m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程32. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为24m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程33. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为25m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程34. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为26m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程35. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为27m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程36. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为28m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程37. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为29m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程38. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为30m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程39. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为31m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程40. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为32m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程41. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为33m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程42. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为34m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程43. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为35m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程44. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为36m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程45. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为37m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程46. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为38m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程47. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为39m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程48. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为40m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程49. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为41m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程50. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为42m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
定积分应用练习题
定积分的应用练习题1. 抛物线22y x = 把圆228x y +=分为两部分，分别求出这两部分的面积。
2. 直线将椭圆2236x y y +=分成两部分，分别求出这两部分的面积。
3. 在抛物线21y x =-上找一点00(,)P x y ，其中00x ≠，过00(,)P x y 作抛物线的切线，使该切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形的面积最小。
4. 从抛物线21y x =-上的点00(,)P x y 引另一条抛物线2y x =的切线，求该切线与2y x=所围成的图形的面积。
5. 求有抛物线24(0)y ax a =>与过焦点的弦所围成图形面积的最小值。
6. 求星形线33cos (02)sin x a t t y a tπ⎧=≤≤⎨=⎩所围成的图形的面积A ，全长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。
7. 求伯努利双纽线22cos 2a ρθ=的面积A ，及绕Ox 轴旋转的旋转体的体积和侧表面积。
8. 求圆域222()()x y b ab a +-≤>绕Ox 轴旋转而成的圆环体的体积。
9. （1）求曲线32y x x =-与2y x =所围成的图形的面积；（2）若该图形绕Oy 绕一周，求所得旋转体的体积。
10. 求螺线(0)m ae θρθπ=≤≤与Ox 轴所围成的面积A ，弧长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。
11. 在曲线2(04)3y x =≤≤上人一点的密度等于该点至原点一段曲线的弧线长度，求其质量。
12. 半径为R ，长为l 的圆柱体平放在深度为2R 的水池中（柱体的侧面与水面相切），设柱体的密度为(1)ρρ>，问将柱体移出水中需要做多少功？13. 设半径为R ，高为h 的圆柱体水池盛满了水，若将水池中的水吸干，要做多少功？14. 将半径为的半圆形板竖直放入水中，是其直径与水面相齐。
（1）求该板一侧所受的压力；（2）欲使压力增加一倍，该板应下移多少米？15. 一根半径为R 的圆环金属丝，其线密度为ρ，以等角速度ω绕其某一条直径旋转，求金属丝的动能。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
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欢迎阅读
题型
1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积
2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积
内容
一．微元法及其应用
二．平面图形的面积
1.直角坐标系下图形的面积
2.边界曲线为参数方程的图形面积
3. 极坐标系下平面图形的面积
三．立体的体积
1.已知平行截面的立体体积
2.旋转体的体积
四．平面曲线的弦长
五．旋转体的侧面积
六．定积分的应用
1.定积分在经济上的应用
2.定积分在物理上的应用
题型
题型I微元法的应用
题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积
题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用
自测题六
解答题
4月25日定积分的应用练习题
一．填空题
1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________
2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________
3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为
4.曲线3
3
1x x y -
=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2
2
π
θπ
≤
≤-
上的一段弧所围成的图形面积为 ．
6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为
二．选择题
1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
31 B ． 32 C ． 21 D ． 2
3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
223a π B ． 243a π C ． 2
8
3a π D ． 23a π 3. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
A.dy y ⎰2
1ln B.dy e e x
⎰2
0 C.dy y ⎰2ln 1ln D.()d x e x ⎰-2
1
2
三．解答题
1. 求曲线2
2,2,4
x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
2. 求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2 3. 已知曲线)0(2>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为
48
9
，试求k 的值． 4. 求a 的值，使曲线)1(2x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．
5.在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积
6. 求椭圆1322
=+y x 与13
22
=+y x 所围公共图形的面积 7.求由下列各平面图形的面积：
（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分 8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)
①内摆线
(sin ,cos 33>
==a t a y t a x ; ②
4
31,t y t t x -=-=;
③⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈==2,0,sin ,cos 44πt t y t x ; ④3222,2t t y t t x -=-=.
4月26日定积分的应用练习题
基础题：
1. 由曲线x y sin =和它在2
π
=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积是__________,以及
它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为__________
2. 星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长为________
图7.1-4
1
图7.1-4②
图7.1-4③
0 1
1
图7.1-4④
3. 由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为__________
4. 半立方抛物线()32132
-=
x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度为__________ 5. 轴与求抛物线x x x y 22-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为___________ 6.
由
3,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为______________
7.由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）
A ． π16
B ． π32
C ． π8
D ． π4
8. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 9． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）
A ． 245kN
B ． 245N
C ． 205．8N
D ． 205．8kN 10．.（1）由曲线x y x y =
=,2所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（2）由双曲线x
y 1
=和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（3）曲线3
3
1x x y -
=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． (4) 曲线16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ． 11. 如右图，阴影部分面积为（ ）
A ．[()()]b
a f x g x -⎰d x
B ．[()()][()()]c
b
a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x
C ．[()()][()()]b
b
a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d x
D ．[()()]b a g x f x +⎰d x
12.如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移
动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标
为________．
13. 求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小
14. 曲线222x y -=和21x y -=围成一平面图形．求 (1)该平面图形的面积．
(2)将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．
15. 求曲线)20()cos (sin )
sin (cos π≤≤⎩
⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长
16. 一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？
17. 有一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。
18．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线0y ,a x ==所围成的平面区域，2D 是由抛物线2
2x y =和直线
2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：
（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.
19．设平面图形由曲线2x y =，2
2x y =与直线1=x 所围成.
（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.
20．设由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。