定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用

题一 题面：

求由曲线2

(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323

．

变式训练一

题面：

函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2－2≤x <0，

2cos x ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积

为( )

B ．2 |

C ．3

D ．4

答案：D.

详解：

画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π

202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4.

变式训练二 题面：

由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( )

￥

A ．2 3

B ．9－23

答案： 详解：

注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的

面积为⎠⎛－3

1(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪

1

－3＝3×1－13×13－12－

⎣

⎢⎡

3×－3－1

3×－3

3

]－

－3

2

＝32

3，选D.

题二 ^

题面：

如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )．

A ．1

B ．1

C ．1

D ．17

变式训练一

题面：

函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．

：

答案：π4

. 详解：

设A (x 0,0)，则ωx 0＋φ＝π2，∴x 0＝π2ω－φ

ω. 又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2π

ω， ∴|AC |＝πω，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2ω－φω＋πω，0.

依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S ＝－∫π2ω－φω＋πωπ2ω－φ

ωωcos(ωx ＋φ)d x ＝2. ∵|AC |＝πω，|y B |＝ω，∴S △ABC ＝π

2. ∴满足条件的概率为π

4.

。

变式训练二 题面：

（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A ．

B ．

·

C ．

D ．

答案：C. 详解：

根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1， 而阴影部分由函数y=x 与y=

围成，其面积为∫01（

﹣x ）dx=（

﹣

）|01=，

则正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为=； 故选C ．

【

金题精讲 题一 题面：

（识图求积分，二星）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．

A ．2π5

B ．43

C ．32

D ．π2

答案：

变式训练一

…

题面：

如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－

14x 2

及直线y ＝－1所围成的图形的面

积．

答案：43

. 详解：

由⎩

⎨⎧

y ＝－x 2，y ＝－1，得交点 A (－1，－1)，B (1，－1)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－14x 2，

y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)． ∴所求面积

S ＝2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43. 》

变式训练二 题面：

例1求在[0,2]π上，由x 轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 答案：4. 详解：

作出sin y x =在[0,2]π上的图象如右 sin y x =与x 轴交于0、π、2π，所 求积220

0sin |sin |(cos )|(cos )|4s xdx xdx x x π

πππ

ππ=+=---=⎰

⎰

题二 题面：

（作图求积分，四星）求曲线36y x x =-与曲线2

y x =所围成的图形的面积．

#

x y

-

Л

2Л

交点的横坐标分别为2,0,3-，12112

S =．

变式训练一

题面：

求曲线2

y x =，y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 答案：

76

. 详解：

作出2

y x =，y x =及2y x =的图如右

解方程组2

2y x y x =⎧⎨=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩ 0

0x y =⎧⎨=⎩ 解方程组2

y x y x =⎧⎨=⎩

得1

1x y =⎧⎨=⎩ 0

0x y =⎧⎨=⎩

∴所求面积122

01(2)(2)s x x dx x x dx =-+-⎰⎰

1

2

20

1(2)xdx x x dx =+-⎰

⎰

21232

01

11|()|23x x x =

+- 7

6

=

答：此平面图形的面积为7

6

变式训练二 题面：

%

求由抛物线2

8(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积.

答案：403

. 详解：

作出2

8(0)y x y =>及6x y +=的图形如右：

y