2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第6章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含解析
人教A版高中数学 高三一轮第六章 不等式 6-2 一元二次
高三 一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法（检测教师版）时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a <0或a >4 B ．0<a <2 C ．0<a <4D ．0<a <8【答案】B【解析】 因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充要条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2，故选B.2．设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫2，52 C ．(1，3)D ．(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞【答案】B【解析】令f (x )＝x 2－kx ＋1，因为方程x 2－kx ＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0即k ∈⎝⎛⎭⎫2，52. 3．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[0，2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )<0的解集为( ) A ．(－3，－1)∪(1，3)B ．(－∞，－3)∪(－1，1)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－1，0)∪(1，3)D ．(－3，－1)∪(0，1)∪(3，＋∞) 【答案】D【解析】由题意可画y ＝f (x )的草图如图．(1)x >0，f (x )<0，这时，x ∈(0，1)∪(3，＋∞)；(2)x <0，f (x )>0，这时，x ∈(－3，－1)．故原不等式x 3f (x )<0的解集为(－3，－1)∪(0，1)∪(3，＋∞)．4．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【答案】B【解析】由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，94，故选B.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12【答案】C【解析】 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C.6．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0<x <4}【答案】C【解析】由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________． 【答案】 －52【解析】 因为不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，所以a －3＋5＝0，得a ＝－2，由－2x 2－3x ＋5＝0解得x ＝1或x ＝－52，所以m ＝－52.8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 【答案】 20【解析】七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2.所以一至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，∴x min ＝20.9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (－2，2]【解析】原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ②当m ＝2时，上式为－4<0，对任意的x ，不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2，2]． 10．若实数x ，y ，m 满足|x －m |>|y －m |，则称x 比y 远离m .若x 2－1比1远离0，则x 的取值范围是________．【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由定义可知|x 2－1－0|>|1－0|，解得x <－2或x > 2. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)对于任意的x 1，x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0. 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0. 由f (x )＝ax 2＋x ＝ax (x ＋1a )<0，解得A ＝(－1a，0)．(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a .化简得a 2＋4a －1≤0，解得0<a ≤－2＋ 5.12．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为 3 000 a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 【答案】见解析【解析】 (1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50.又x >0，故x 的取值范围是(0，50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝（100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax 100＝－60x 2＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1，则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值； ②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．。
(全国通用)高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规
第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.] 4．(2016·某某调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：31222202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)， 由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)， 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.]二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)(2016·某某高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5(2)(2016·某某中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是( )【导学号：31222203】A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)． 因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.]简单的线性规划问题☞角度1 求线性目标函数的最值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为________．(2)(2017·某某质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________．(1)－5 (2)3 [(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·某某高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·某某七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值X 围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·某某某某质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：31222204】A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.线性规划的实际应用(2016·某某高考)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)12 8C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数求最值． [易错与防X]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－ab x ＋z b的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值．当b <0时，结论与b >0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值X 围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·某某综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·某某适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2 C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4[根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·某某高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·某某第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x－b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值X 围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值X 围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值X 围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2， 过C (1,0)取最大值1， 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值X 围为(－4,2).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·某某高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。
【金版教程】2014届高考数学总复习 第6章 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件 理 新人教A版
(2)2 －2 提示：不等式组表示的可行域如图所示，
设 z＝x＋2y， 则 y＝－12x＋2z， 当直线 y＝－12x＋2z分别过 C(0,1)及 A(0，－1)时得 zmax ＝2，zmin＝－2.
核心要点研究
例 1 [2012·福建卷]若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约
束条件xx－＋2y－y－33≤≤00，， 则实数 m 的最大值为(
函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最
值，并回到原问题中作答．
[解析] 设种植黄瓜 x 亩，种植韭菜 y 亩，因此，原问
x＋y≤50， 题转化为在条件1x≥.2x0＋，0.9y≤54，
y≥0
下，求 z＝0.55×4x＋
0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利 用
第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决.
1种必会方法 确定不等式表示的区域时，可采用代入特殊点的方法来判 断，一般情况下，若直线不过原点时，则代入原点坐标判断．
课前自主导学
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三 个部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足________； ②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋ c>0； ③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by ＋c<0.
是( )
A．(0,0)
B．(－1,1)
高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
2014届高三数学一轮复习精讲精练：6.2一元二次不等式-教学文档
第2课 一元二次不等式【考点导读】1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。
2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式：（1）23440x x -++> （2）213022x x ++> （3）()()21322x x x x +->-- （4）2232142-<---<-x x解：（1）原不等式化为23440x x --<，解集为223x -<<（2）原不等式化为2230x x ++>，解集为R （3）原不等式化为210x x ++<，解集为∅（4）由22222134210132224,,1322250222x x x x x x x x x x ⎧++<⎪⎧+->⎪⎪<++<⎨⎨+-<⎪⎩⎪++>⎪⎩得得 得2121,6161x x x ⎧>-<--⎪⎨--<<-⎪⎩或点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程∆的判断、以及对应方程两根大小的比较. 2. 函数)1(log 221-=x y 的定义域为 )(2,11,2⎡⎤--⎣⎦3..二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表： 则不等式ax 2+bx+c>0的解集是),3()2,(+∞--∞4.若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b =__-2____ c =__-3____.【范例导析】 例.解关于ｘ的不等式)1(12)1(≠>--a x x a分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论. 解:原不等式等价于02)2()1(>----x a x a ∵1≠a ∴等价于：x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46a>１时，（*）式等价于212----x a a x >0∵11112--=--a a a <１∴x <12--a a 或x >２ a<１时，（*）式等价于212----x a a x <0由２－12--a a ＝1-a a 知： 当0<a<１时，12--a a >２，∴２<x <12--a a ；当a<0时，12--a a <２，∴12--a a <x <２；当a ＝0时，当12--a a ＝２，∴x ∈φ综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（12--a a ，2）；当a ＝0时，原不等式的解集为φ；当0<a<１时，原不等式的解集为（2，12--a a ）；当a>１时，原不等式的解集为（－∞，12--a a ）∪（2，＋∞）。
高考数学一轮复习课件：二元一次不等式(组)
由x2＋ x＋2yy－ －24＝ ＝00， ， 得A(2，0)． 由42xx－ ＋yy＋ －14＝ ＝00，. 得点B(12，3)， ∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×12－3＝－32. 故z的取值范围是[－32，6]．
【答案】 [－32，6]
x≥0， 若不等式组 x＋3y≥4， 所表示的平面区域被直线y 3x＋y≤4
(1)求z＝x－y的最小值和最大值；
(2)若z＝ x2＋y2，求z的取值范围．
•【审题视点】 明确目标函数z的几何意义， 数形结合找最优解，代入求值．
x≥0， 【尝试解答】 作约束条件 x＋2y≥3，
2x＋y≤3. 域，如图所示为△ABC及其内部．
联立x2＋x＋2yy＝＝33，. 得A(1，1)．
当直线l：y＝－m1 x＋mz 在y轴 上的截距最大时，目标函数取最大值． 平移直线l，当l过点B时，z有最大值．
因此z＝x＋my的最大值zmax＝12＋m2 . 依题意，12＋m2 ＜2(m＞1)，得1＜m＜3. 故实数m的取值范围是(1，3)．
•【答案】 C
•错因分析：(1)忽视条件m＞1，没能准确判 定直线l的斜率范围，导致错求最优解，从而 错得实数m的取值范围．
•【解析】 可行域如图 中阴影部分所示．先画出 直线l0：y＝－3x，平移 直线l0，当直线过A点时z ＝3x＋y的值最大，
由xy＝－2y－，1＝0，得xy＝＝23.， ∴A点坐标为(3，2)．∴z最大＝3×3＋2＝11.
•【答案】 B
x≥1， 3．在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y≤0， 表示
•2．解线性规划应用问题的一般步骤是：(1) 分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条 件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结 合求解；(4)作答．
人教A版高中数学 高三一轮第六章 不等式 6-2 一元二次
6.2 一元二次不等式及其解法 考向归纳考向1一元二次不等式的解法1．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 【解析】 由－x 2－3x ＋4>0，得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 【答案】 (－4,1)2．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．【解析】 由题意知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2和－12，且a <0，所以－b a ＝－52，c a ＝1.不等式ax 2－bx ＋c >0可转化为x 2－b a x ＋c a <0，即x 2－52x ＋1<0，即2x 2－5x ＋2<0.解得12<x <2，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2 3．解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解】 当a ＝0时，原不等式可化为－x ＋1<0，即x >1.当a <0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0. ∵1a <1，∴x >1或x <1a. 当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， ①若0<a <1，则1a >1，∴1<x <1a .②若a ＝1，则1a ＝1，∴不等式无解．③若a >1，则1a <1，∴1a<x <1.综上知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1.解含参数的一元二次不等式的步骤1．二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．2．判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．3．确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．考向2一元二次不等式恒成立问题(1)如果不等式(m ＋1)x 2＋2mx ＋m ＋1>0对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >－1B ．－1<m <－12C ．m >－12D ．m <－1或m >－12(2)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，求a 的最小值． 【解析】 (1)当m ＋1＝0时，不等式可化为－2x >0，不满足题意．当m ＋1≠0时，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，Δ＝4m 2－4 m ＋1 2<0. 解得m >－12.【答案】 C(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2，若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数． 应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1， 若－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 若0≤－a 2≤12，即－1≤a ≤0.则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a24≥0恒成立． 故－1≤a ≤0.综上a ≥－52，即a 的最小值为－52.解不等式恒成立问题的技巧1．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． [变式训练]1.设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立． 则mx 2－mx ＋m －6<0， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0 在x ∈[1,3]上恒成立，令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0， 所以m <6，则m <0.综上所述m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0<m <67或m <0. 考向3不等式的实际应用1.甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【解】 (1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0.即5x 2－14x －3≥0.又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．不等式实际应用的解题思路不等式的实际应用，常以函数模型为载体，解题时要理解题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最后用不等式的解集回答实际问题．[变式训练]1.某小商品2015年的价格为8元/件，年销售量是a 件．现经销商计划在2016年将商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长20%?【解】 (1)设该商品价格下降后为x 元/件， 则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭⎫kx －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎫kx －4＋a (x －3)(5.5≤x ≤7.5)．(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2ax －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，即x 2－11x ＋30≥0.解得x ≥6或4≤x ≤5. 又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长20%.易错辨析忽视二次项的符号而致误1.已知不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为________________．[错误解法] 由题意知－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，因此由根与系数的关系得－13＋2＝－b a ，⎝⎛⎭⎫－13×2＝c a ，所以b ＝－53a ，c ＝－23a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0可化为－23ax 2－53ax ＋a <0，即23x 2＋53x －1>0， 解得x <－3或x >12.[错解分析] 指出上述解法的错误并指出错误原因．提示：忽视二次项系数的符号．原因是对一元二次不等式的解法掌握不牢固． [自我纠正] 由题意知，－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－b a ＝－13＋2，c a ＝⎝⎛⎭⎫－13×2，所以b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2＋bx ＋a <0可化为 －23ax 2－53ax ＋a <0. 由题意知a <0，∴原不等式等价于23x 2＋53x －1<0，解得－3<x <12.∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <12. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <12。
安徽省高考数学一轮复习 6.3 二元一次不等式(组)与简
6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课后自测 理(见学生用书第301页)A 组 基础训练 一、选择题1．(2014·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a<24. 【答案】 B2．设A ＝{(x ，y)|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()【解析】 由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>1－x －y ，x ＋1－x －y >y ，y ＋1－x －y >x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>12，y<12，x<12.故选A.【答案】 A 3．(2013·陕西高考改编)若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．4B ．0C ．2D ．－4【解析】 如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x －y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|x<1，得A(－1,2)，∴(2x －y)min ＝2×(－1)－2＝－4. 【答案】 D4．(2013·皖南八校高三第三次联考)已知变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y≤2，x ＋y≥1，x －y≤1，则目标函数z＝3x ＋y 的最大值是( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，易得目标函数z ＝3x ＋y 在点P(3,2)取得最大值，即zmax ＝3×3＋2＝11. 【答案】 B5． (2014·杭州模拟)设二元一次不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( ) A ．[1,3] B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]【解析】 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)． 当y ＝ax 过A(1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝ax 过C(3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a≤9. 【答案】 C 二、填空题6．已知实数x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则a ＝________.【解析】 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 【答案】 17．已知点P(x ，y)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y≤25，x －1≥0，定点为A(2,0)，则|OP →|sin ∠AOP(O 为坐标原点)的最大值为________．【解析】 可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在x 正半轴上，所以|OP →|·sin ∠AOP 即为P 点纵坐标．当P 位于点B 时，其纵坐标取得最大值225.【答案】 2258．(2013·江苏高考)抛物线y ＝x2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 由于y′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点 A ⎝⎛⎭⎫12，0，B(0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax ＝12，最小值zmin ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12.【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12三、解答题9．画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？【解】 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x ＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x ＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． 10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x ＋8y≥64，6x ＋6y≥42，6x ＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x ＋2y≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y≥27.画出可行域如图所示．让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， z ＝2.5x ＋4y 在(4,3)处取得最小值，由此可知z ＝22.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． B 组 能力提升1．已知变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－1,2) D.⎝⎛⎭⎫13，1 【解析】 如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，相应直线在y 轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a>12.【答案】 B2．(2013·北京高考)设D 为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的区域D 如图阴影部分所示．由图知点P(1,0)与平面区域D 上的点的最短距离为点P(1,0)到直线y ＝2x 的距离d ＝|2×1－0×1|12＋22＝255.【答案】2553．变量x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，x≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x2＋y2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x2＋y2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．【解】 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，x≥1作出(x ，y)的可行域如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知zmin ＝kOB ＝25.(2)z ＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin ＝|OC|＝2，dmax ＝|OB|＝29. 所以2≤z≤29.(3)z ＝x2＋y2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， dmin ＝1－(－3)＝4，dmax ＝－3－52＋2－22＝8. 所以16≤z≤64.。
人教A版高中数学 高三一轮第六章 不等式 6-3 二元一次
6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性 考向归纳 考向1二元一次不等式(组)表示的平面区域1．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13D ．－12【解析】 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)． 当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13，故选C.【答案】 C 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34【解析】 由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及内部．y ＝kx ＋43恰过A ⎝⎛⎭⎫0，43，y ＝kx ＋43将区域平均分成面积相等的两部分，∴直线y ＝kx ＋43一定过线段BC 的中点D ，易求C (0,4)，B (1,1)，∴线段BC 的中点D的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52.因此52＝k ×12＋43，k ＝73.【答案】 A3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】D二元一次不等式(组)表示平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的点，实数Ax ＋By ＋C 的值的符号都相同，故为确定Ax ＋By ＋C 的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0,1)、(1,0)等点．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．考向2简单的线性规划问题●命题角度1 求目标函数的最值1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2【解析】 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0 得点A ⎝⎛⎭⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 A图6-3-22．(2015·北京高考)如图6-3-2，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．【解析】 把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，通过平移直线y ＝－23x 知，当过点A (2,1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值为z max ＝2×2＋3×1＝7. 【答案】 7●命题角度2 求线性规划中的参数3．(2015·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B. 【答案】 B4．(2015·福建高考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】 对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图(1)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图(2)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时可行域如图(3)，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图(4)，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．故选C.【答案】 C●命题角度3 求非线性目标函数的最值5．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 【解析】画出可行域如图阴影所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx 的最大值为3.【答案】 36．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值为________．【解析】 已知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，在同一直角坐标系中，作直线x －2y ＋7＝0,4x －3y －12＝0和x ＋2y －3＝0，再根据不等式组确定可行域△ABC (如图)．∵原点O 到直线BC 的距离为|0＋0－3|5＝35，∴(x 2＋y 2)min ＝95.【答案】 951．利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可．2．利用可行域及最优解求参数及其范围的方法利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可解参数的值或范围．3．利用可行域求非线性目标函数最值的方法画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值．考向3线性规划的实际应用(1)(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元(2)某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【解析】 (1)设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】D(2)设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．解线性规划应用问题的一般步骤1．分析题意，设出未知量． 2．列出线性约束条件和目标函数． 3．作出可行域并利用数形结合求解． 4．作答．[变式训练]1.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元【解析】 设派用甲型卡车x 轴，乙型卡车y 轴，获得的利润为z 元，z ＝450x ＋350y ，由题意，x ，y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，作出相应的平面区域，z ＝450x ＋350y ＝50(9x＋7y )，在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元．【答案】 C。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：7.2 一元二次不等式及其解法
第2讲一元二次不等式及其解法【2014年高考会这样考】1．考查简单不等式的解法，特别是一元二次不等式和一元一次不等式的解法，主要是函数的定义域与值域、简单的复合函数相结合的题目．2．考查简单的指数、对数不等式的求解，可以利用单调性转化成简单的不等式求解．对应学生96考点梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象续表一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一个技巧 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两点提醒(1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏；(2)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．考点自测1．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D2．(2012·重庆)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )． A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析 由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A. 答案 A3．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28. 答案 C4．(2011·山东)不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( )．A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析 将x ＝6代入可知适合，排除C ，将x ＝0代入可知不适合，排除A 、答案 D5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1.答案 [0,1]对应学生97 考向一 一元二次不等式的解法【例1】►解下列关于x 的不等式：(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－(3＋a )x ＋3a >0.[审题视点] 利用求一元二次不等式的解法求解，注意对参数的讨论． 解 (1)原不等式化为x 2－8x ＋3<0，∵方程x 2－8x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝x 2－8x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(2)∵x 2－(3＋a )x ＋3a >0，∴(x －3)(x －a )>0.①当a <3时，x <a 或x >3，不等式解集为{x |x <a 或x >3}；②当a ＝3时，不等式为(x －3)2>0，不等式解集为{x |x ∈R 且x ≠3}； ③当a >3时，x <3或x >a ，不等式解集为{x |x <3或x >a }．(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．【训练1】 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.考向二 一元二次不等式恒成立问题【例2】►已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．[审题视点] (1)分m ＝0与m ≠0，再结合判别式可求解；(2)将其转化m <g (x )，x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 只需求m <6x 2－x ＋1的最小值， 记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数． 则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. 对于含参不等式的恒成立问题，我们不是直接去解它，而是通过变量分离，将其转化为最值问题后，得到所求变量的不等式(组)，再解得范围，或者转化为函数问题，用函数知识得到所求变量的不等式(组)，求出范围．【训练2】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧ Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．考向三 三个“二次”关系的应用【例3】►已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，且满足a 2＋(y 1＋y 2)a ＋y 1y 2＝0.(1)证明：y 1＝－a 或y 2＝－a ；(2)证明：函数f (x )的图象必与x 轴有两个交点；(3)若关于x 的不等式f (x )>0的解集为{x |x >m 或x <n ，n <m <0}，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0.[审题视点] (1)因式分解可证；(2)分a >0与a <0讨论；(3)先判别a ，再用根与系数的关系求解．(1)证明 ∵a 2＋(y 1＋y 2)a ＋y 1y 2＝0，∴(a ＋y 1)(a ＋y 2)＝0，得y 1＝－a 或y 2＝－a .(2)证明 当a >0时，二次函数f (x )的图象开口向上，图象上的点A 、B 的纵坐标至少有一个为－a 且小于零，∴图象与x 轴有两个交点．当a <0时，二次函数f (x )的图象开口向下，图象上的点A 、B 的纵坐标至少有一个为－a 且大于零，∴图象与x 轴有两个交点．故二次函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点．(3)解 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x >m 或x <n ，n <m <0}，根据一元二次不等式的解集大于0取根两边，从而可判定a >0，并且可得ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为m ，n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝－b a ，m ·n ＝c a >0，∵a >0，∴c >0，∴m ＋n m ·n ＝－b a c a＝－b c .而cx 2－bx ＋a >0⇔x 2－b c x ＋a c >0⇔x 2＋m ＋n mn ·x ＋1mn >0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n >0， 又∵n <m <0，∴－1n <－1m ，∴x >－1m 或x <－1n .故不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－1m 或x <－1n . 一元二次不等式解集的两个端点值(不是±∞)是对应一元二次方程的两个根，故当已知一元二次不等式的解集确定不等式中参数值时可借助根与系数的关系给出含参数的方程组的解．【训练3】 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．对应学生98热点突破14——不等式恒成立问题的化解【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数交织在一起，题型多以解答题出现，难度较大．【真题探究】► (2012·湖南节选)已知函数f (x )＝e ax －x ，其中a ≠0.若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合．[教你审题] 第1步 由指数函数性质推断a >0；第2步 f (x )≥1恒成立⇔f (x )min ≥1；第3步 求导数得f (x )的单调区间，从而求f (x )min ；第4步 解不等式；第5步 构造函数利用导数求最大值为1.[解法] 若a <0，则对一切x >0，f (x )＝e ax －x <1，这与题设矛盾．又a ≠0，故a >0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0得x ＝1a ln 1a .当x <1a ln 1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1a ln 1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝1a ln 1a 时，f (x )取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a .于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a ≥1，①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0<t <1时，g ′(t )>0，g (t )单调递增；当t >1时，g ′(t )<0，g (t )单调递减，故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当1a ＝1，即a ＝1时，①式成立．综上所述，a 的取值集合为{1}．[反思] 在解决不等式的恒成立问题时，易出现的问题主要有两个方面：一是不等式的变形不是同解变形，尤其是利用分离参数法求解参数的取值范围时，不等式两边同除以某个代数式时忽视其符号的讨论；二是构造与不等式相对应的含参函数时，忽视函数图象的特征．【试一试】 已知函数f (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a (a >0)，若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．解 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x 2， ①当1－a a >1时，0<a <12，则1<x <1－a a ，故g ′(x )<0，g (x )是减函数，所以g (x )<g (1)＝0，即f (x )<ln x ，故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．②当1－a a ≤1时，a ≥12，则x >1，故g ′(x )>0，g (x )是增函数，g (x )>g (1)＝0，即f (x )>ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x 恒成立．综上所述，所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.对应学生285A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧ －b ＋ca ＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是 ( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)．答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.[来源: ]①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立， 则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<1a，∴x－m<0,1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
活页作业 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋4，则不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (x )－f (y )≥0，1≤x ≤4
对应的平面区域为( )
解析：不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )－f (y )≥0，
1≤x ≤4，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y －5≥01≤x ≤4，或⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y －5≤0，1≤x ≤4.
其对应的平面区域应为图C 的阴影部分． 答案：C
2．(2012·辽宁高考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )
A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
解析：根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值． 不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时2x ＋3y
的值最大，此时2x ＋3y ＝55.
答案：D
3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，y ≤2，
x －y ≤0，
则(x －1)2＋y 2的最大
值
为( )
A.5 B ．2 C ．4
D ．5
解析：由线性约束条件画出可行域如图(阴影部分)．而 (x －1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )与D (1,0)距离的平方．由图知|BD |2＝(2－1)2＋22＝5即为所求．
答案：D
4．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x －2y ＋3≥0，
y ≥x
所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于
直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )
4．(文)已知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，
x ≤2.
O 为坐标原点，则|PO |的最小值为( )
A.
2
2
B.322 C ．5
D.13
解析：由于|OP |表示区域内的点到原点O 的距离，结合图形可以看出，原点到直线x ＋y －3＝0的距离即为|OP |的最小值，于是|OP |min ＝
|0＋0－3|12＋12
＝32
2.
答案：B
5．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为(
)
A.1
4 B.3
5 C ．4
D. 53
解析：由题意分析知，目标函数z ＝ax ＋y (a >0)所在直线与直线AC 重合时，满足题意，则由－a ＝k AC ＝225－21－5
，得a ＝3
5.故选B.
答案： B
6．(金榜预测)如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，
x ≥1目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为
12，最小值为3，那么实数k 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
5
D ．不存在
解析：如图为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0
x ≥1
所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得点
A ⎝
⎛⎭⎫1，22
5，B (1,1)，C (5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k <－35，即k >35
.
将k ＝2代入，过点B 的截距z ＝2×1＋1＝3.
过点C 的截距z ＝2×5＋2＝12.符合题意．故k ＝2.故应选A.
答案：A 二、填空题
7．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，
则x －y 的取值范围是________．
8．某实验室需购化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费__________元．
解析：设需要35千克的x 袋，24千克的y 袋， 则总的花费为z 元，则⎩⎪⎨⎪
⎧
35x ＋24y ≥106，x ＞0时，且x ∈Z ，
y ＞0时，且y ∈Z .
且z ＝140x ＋120y .
由图解法求出z min ＝500，此时x ＝1，y ＝3. 答案：500
9．(2013·西安模拟)当对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象至少经过区域M ＝{(x ，
y )|⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －8≤0，y －3≥0
(x ，y ∈R )}内的一个点时，实数a 的取值范围是________．
解析：作出区域M 的图象，联系对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(5,3)时，a 可以取到最大值3
5，当图象经过区域的边界点(4,4)时，a 可以取到最小值2，故a 的取值范围是[2，3
5]
答案：[2，3
5] 三、解答题
时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角，k DB ＝1
3，k CD ＝9，
所以y ＋7x ＋4
的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，9. (2)由于OM →·OP →
＝(2, 1)·(x ，y )＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为z max ＝2×4＋1＝9.
(3)(理)|OP →
|cos ∠MOP ＝|OM →||OP →
|cos ∠MOP |OM →|
＝OM →·OP →5＝2x ＋y 5
，
令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由(3)可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过B 点时，z 取到最小值，这时z 的最小值为z max ＝2×(－1)－6＝－8，
所以|OP →
|cos ∠MOP 的最小值等于－85
＝－855.。