2013届人教A版文科数学课时试题及解析(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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《同角三角函数的基本关系》示范课教学设计【高中数学人教】

环节三同角三角函数的基本关系【新知探究】1．发现规律问题 1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？答案：如图1，设P （x ，y ）是角α的终边与单位圆的交点．过P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，则△OMP 是直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理OM ²＋MP ²＝1．因此x ²＋y ²＝1。

即同一个角的三个三角函数之间的关系：sin 2α+cos 2α=1 ．并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立．根据三角函数的定义，有：sin tan cos ααα=，2ππ+≠k α，k ∈Z ．即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．追问从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？答案：因为有两个方程，三个未知数sin α，cos α，tan α，所以已知其中一个可以求出另外两个，简称“知一求二”．2．应用规律例1已知sin α=－53，求cos α，tan α的值．答案：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1－sin 2α=1－2316()525-=；如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α=164255-=-，从而sin 353tan ()()cos 544ααα==-⨯-=；如果α是第四象限角，那么cos α>0．于是cos α=164255=，从而sin 353tan ()cos 544ααα==-⨯=-．图1追问你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值．例2求证：xx x x cos sin 1sin 1cos +=-．答案：证法一：由cos x ≠0，知sin x ≠－1，所以1+sin x ≠0，于是左边=22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )1sin (1sin )(1sin )1sin cos cos x x x x x x x x x x x x++++===-+-=右边．所以，原式成立．证法二：因为(1－sin x )(1+sin x )=1－sin 2x =cos 2x =cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 3．探究延伸问题 2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系的规律．【归纳小结】问题3回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？（2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？答案：（1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个概念，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．。

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商数关系（3）倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值（2）已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值（3）若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。

高考数学(人教a版,理科)题库：同角三角函数的基本关系与诱导公式(含答案)

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )．A．1＋ 5 B．1－ 5C．1± 5 D．－1－ 5解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－ 5.答案 B6．若S n＝sin π7＋sin2π7＋…＋sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．16 B．72 C．86 D．100解析由sin π7＝－sin8π7，sin2π7＝－sin9π7，…，sin6π7＝－sin13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12 58．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案－14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题 11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解法一由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2.(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.法二由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。

1.3 三角函数的诱导公式课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四

2k (k Z)、、的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
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利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的用公式一任意正角的三角函数或公式三三角函数
用公式一
锐角的三角用公式二 0～2π的角
函数
或公式四的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
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作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角仅是锐角吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1：（1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？（2）终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作

课时作业19同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．tan(－1 410°)的值为( )A.33B．－33C. 3 D．－ 3解析：tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan30°＝33.答案：A2．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A＝( )A.1213B.513C．－513D．－1213解析：在△ABC中，由tan A＝－512<0知，A为钝角，所以cos A<0.又1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cos A＝－1213.答案：D3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)的值为( )A．－45B.45C.35D．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，所以cos(－α)＝45. 答案：B4．已知f(α)＝π－απ－αcos－π－απ－α，则f⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12B.13C.32D.22解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α－tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 答案：A5．(2017·福建模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝m (|m |<1)，π2<α<π，那么tan(π＋α)＝( )A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．±1－m2m解析：由题意，知sin α＝m >0，且cos α<0，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－m 2，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－m1－m2，故选B. 答案：B6．(2017·广东惠州一调)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，两边平方可得1＋2sin θ·cos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B. 答案：B 二、填空题7．已知sin(3π＋θ)＝14，则π＋θcos θπ＋θ－1]＋θ－2πθ＋2ππ＋θ＋－θ＝________.解析：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ， ∴sin θ＝－14，则原式＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝32. 答案：328．已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－349．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.解析：因为sin15°＝cos75°，所以f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32. 答案：－3210．已知cos(75°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝________.解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，又cos(75°＋α)>0可知75°＋α是第四象限角，所以cos(15°－α)＝sin(75°＋α) ＝－1－cos2＋α＝－223.答案：－223三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α·1＋cos α21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法1：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425.∴sin α·cos α＝－1225，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.方法2：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α·cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.1．(2017·福建龙岩质检)若sin2θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2sin2θ＝3.故选D.答案：D2．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D3．(2017·福建漳州一模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于________．解析：由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得sin θ＝±22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ＝22，则cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π44．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝________. 解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ′(x )＝2f (x )，所以cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，所以tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 答案：－195。

诱导公式基础练习题(含详细答案)

数学诱导公式作业1．3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 10α=-，tan α=______. 2．已知点()1,2P -为角θ终边上一点，则2sin cos sin cos θθθθ-=+______. 3．已知1sin cos 3αα+=，则sin cos αα的值为________． 4．若3sin cos 0αα+=,则21cos sin 2αα+的值为_ 5．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____. 6．已知1tan()2πα-=-，则cos()+22cos sin cos παααα+-的值是______. 7．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos()πα+的值为________． 8．sin 315=________.9．计算：1125sin tan 33ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________ 10．sin 30︒=__________，11cos4π=_________．11．已知角α终边上有一点()1,P y，且sin α=（1）求tan α的值；（2）求()()sin sin 2sin cos 2ππαααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值.12．已知()()()π3π=cos cos 2πsin 223πsin πsin 2f a ααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f a ；（2）若α 是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f a 的值．13．已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值；()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．14．化简或求值: (1)sin()cos()sin()cos()222cos()sin()πππααπααπαπα+--++++； (2)6sin(90)3sin08sin 27012cos180-+-+.15．已知角α的终边与单位圆交于点P(45,35)．（1）写出sin αααtan ,cos ,值；（2）求)cos(2)2sin(2)sin(απαπαπ--++的值．16．已知角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-，（1）求m 的值；（2）求()()()2sin sin cos sin παπααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值． 17．已知sin α=α是第一象限角. （1）求cos α的值. （2）求()()3sin 2tan cos πααππα⎛⎫- ⎪⎝⎭++-的值. 18．已知sin 1sin cos ααα=-- （1）求tan α的值，（2）求222sin 2sin cos 3sin cos ααααα++的值.参考答案1．13【解析】【分析】先计算cos α=，再根据sin tan cos ααα=计算得到答案. 【详解】3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 1sin cos tan cos 3ααααα==== 故答案为：13【点睛】本题考查了同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.2．5【解析】【分析】首先求tan θ，再化简2sin cos 2tan 1sin cos tan 1θθθθθθ--=++，求值. 【详解】由题意可知2tan 21θ==-- 2sin cos 2tan 15sin cos tan 1θθθθθθ--==++ . 故答案为：5【点睛】本题考查三角函数的定义和关于sin ,cos θθ的齐次分式求值，意在考查基本化简和计算. 3．49- 【解析】 ∵1sin cos 3αα+=， ∴2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=，解得4sin cos 9αα=-。

高三数学一轮(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式课件新人教A版

[例 3]
在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)，
3cos A＝－ 2cos (π－B)，求△ABC 的三个内角．
[自主解答] 由已知得 sin A＝ 2sin B， 3cos A
＝ 2cos B 两式平方相加得 2cos2A＝1， 2 2 即 cos A＝或 cos A＝－ . 2 2
＝________.
sinkπ＋α coskπ＋α (2)已知 A＝＋ (k∈Z)，则 A sin α cos α 的值构成的集合是 ( )
A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2}
B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2}
[自主解答] tan αcos ＝
(1)原式
π αsin－2π＋α＋2
)
A．2 C．0
B．－2 2 D. 3
cos θ＋cos θ 2 2 解析：原式＝＝＝＝－2. cos θ－sin θ 1－tan θ 1－2
答案： B
4．记 cos(－80° )＝k，那么 tan 100° ＝
1－k2 A. k 1－k2 B．－ k
(
)
k k C. D．－ 2 1－k 1－k2 解析：∵cos (－80° )＝cos 80° ＝k，
(
2 B. 5 1 D．－ 5
)
解析：(1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α<0，cos α<0， cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. |cos α| |sin α| －cos α －sin α
π (2)∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin2＋α，∴sin

高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)

三角函数公式1．同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4．二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12．化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14．求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α；〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α．〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11．求以下三角函数值：〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12．求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5；〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。

【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件理新人教B版

【规范解答】(1)∵sin(α+ )= 5 , „„„„„„2分
1.同角三角函数基本关系式
sin cos 1 (1)平方关系:_________________.
2 2
sin cos (2)商数关系:_________________. tan
【即时应用】
(1)已知α 是第三象限角,且sinα = 3 , 则cosα =______.
1 5 平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 1 ， 25 即2sinxcosx= 24 ， 25 ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 49 . 25 又∵ ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，故 2 7 sinx-cosx= . 5
sin =2,得sinα =2cosα 代入sin2α +cos2α =1,解得 cos sinα = 2 5 . 5 答案： 2 5 5
由tanα =
3 sin( )cos( )tan( ) 2 2 (2)①f(α)= tan( ) ) sin( = (cos)sin(tan) ( tan) sin
利用诱导公式化简证明【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化
成单角三角函数；③整理得最简形式.
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能
少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.

人教a版高考数学(理)一轮课件：4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

【解】(1)原式=
2tan��-3 4tan��-9
=
2×2-3 =-1. 4×2-9
(2)∵ sin2α+cos2α=1, ∴ 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α
4sin2 α-3sin��cos��-5cos2 α = sin2 α+cos2 α 4tan2 α-3tan��-5 = tan2 α+1
sinα 把正切化成正弦、余弦. cos��
(2)和积转换法:利用(sinθ± cosθ)2=1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =….
4
2.下面各角的终边与角 α 的终边的关系
角 2kπ+α(k∈Z) π+ α -α
12 5
.
【解析】∵ sinα,cosα 是方程 5x2-7x+m=0 的两根, ∴ sinα+cosα= ,sinα·cosα= ,把等式 sinα+cosα= 两边平方,得 1+2sinαcosα= ,即 1+ m= ,∴ m= .
49 25 2 5 49 25 12 5 7 5 �� 5 7 5
=
4×4-3×2-5 =1. 4+1
这是一组在已知 tanα=m 的条件下,求关于 sinα,cosα 的齐次式之值的问题,解这类问题需注意: (1)齐次指的是关于 sinα,cosα 的齐次式或能化为齐次式的三角函数式; (2)由 cosα≠0,可用 cosα 除,这样可以将被求式化为关于 tanα 的表达式, 代入 tanα=m 即可.

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1
课时作业(十八) [第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式]
[时间：35分钟分值：80分]
基础热身
1．cos(－2040°)＝( )

A.12 B．－12 C.32 D．－32
2．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( )
A．－1213 B.1213 C．±1213 D.512
3.1－2sinπ＋2cosπ＋2等于( )
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2
C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2

4．已知tanα＝2，则2sin2α＋1sin2α＝( )

A.53 B．－134 C.135 D.134
能力提升
5．已知sinθ－cosθ＝13，则sin2θ的值为( )

A．－23 B.23 C．－89 D.89
6.tanx＋1tanxcos2x＝( )
A．tanx B．sinx
C．cosx D.1tanx

7．若tanx＝sinx＋π2，则sinx＝( )
A.－1±52 B.3＋12
C.5－12 D.3－12
8．已知－π2<θ<π2，且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，在以下四个
答案中，可能正确的是( )
A．－3 B．3或13

C．－13 D．－3或－13
9．已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.
10．已知1＋sinxcosx＝－12，那么cosxsinx－1的值是________．
11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限的角，则sin



α－32π
cos(π－

α)tan(π＋α)＝________.

12．(13分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－α＋32πcosπ2－αsin－π－α.
(1)化简f(α)；
2

(2)若α为第三象限角，且cosα－32π＝15，求f(α)的值；
(3)若α＝－
31
3
π，求f(α)的值．

难点突破
13．(6分)(1)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则
1＋sin2x
cos2x－sin2x
＝( )

A.195 B．－195 C.113 D．－113
(6分)(2)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
3

课时作业(十八)
【基础热身】
1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)

＝－cos60°＝－12.

2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cosα＝513，而α为第四象限角，
∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.
3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin22＋cos22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2
－cos2>0，故选A.

4．D [解析] ∵tanα＝2，∴2sin2α＋1sin2α＝3sin2α＋cos2α2sinαcosα＝32tanα＋12tanα＝3＋14＝134，选择
D.
【能力提升】

5．D [解析] 将sinθ－cosθ＝13两边平方得：1－2sinθcosθ＝19，sin2θ＝2sinθcosθ＝89.

6．D [解析] tanx＋1tanxcos2x＝sinxcosx＋cosxsinxcos2x
＝sin2x＋cos2xsinxcosx·cos2x＝cosxsinx＝1tanx.
7．C [解析] ∵tanx＝sinx＋π2，∴tanx＝cosx，
∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝－1±52.∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝5－12.
故选 C.
8．C [解析] 因为sinθ＋cosθ＝a，a∈(0,1)，平方可得sinθcosθ＝a2－12<0，因为－π2<θ<π2，

故－π2<θ<0，且cosθ>－sinθ，
∴|cosθ|>|sinθ|，∴|tanθ|<1，
－1

9．－55 [解析] ∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝15.又α∈


π，

3π

2
，∴cosα＝－55.

10.12 [解析] 1＋sinxcosx·sinx－1cosx＝sin2x－1cos2x＝－1，
∴cosxsinx－1＝12.
11．－1225 [解析] 因为sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，所以sinα＝－35.
因为α是第三象限角，所以cosα＝－45，tanα＝34.
所以sin



α－32π
cos(π－α)tan(π＋α)，

＝cosα·(－cosα)·tanα＝－cosα·sinα＝－1225.
12．[解答] (1)f(α)＝sinαcosα－sinαsinα·sinα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝－sinα＝15，∴sinα＝－15.
4

又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，
∴f(α)＝265.
(3)∵－
313π＝－6×2π＋5
3
π，

∴f
－313π＝－cos－313π＝－cos


－6×2π＋

3
π

＝－cos53π＝－cosπ3＝－12.
【难点突破】
13．(1)B (2)A [解析] (1)f′(x)＝cosx＋sinx，∵f′(x)＝2f(x)，
∴cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，∴tanx＝3，

∴1＋sin2xcos2x－sin2x＝1＋sin2xcos2x－2sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－2sinxcosx＝2tan2x＋11－2tanx＝－195.故选B.

(2)两式平方再相加得sin(A＋B)＝12，∴A＋B＝30°或150°，
又∵3sinA＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，
∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°，故选A.