【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)(含答案解析)
北师大版数学高一-(北师大)必修4试题 1.8.1函数y=Asin(ωxφ)的图像
1．要得到y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3B ．向右平移π3C ．向左平移23πD ．向右平移23π解析：由12(x －23π＋φ)＝12x ，∴φ＝2π3.故向左平移2π3.答案：C2．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像经过点 (0,1)，则f (x )的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：T ＝2ππ3＝6，将点(0,1)代入得sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.答案：A3．把函数y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin(2x －π3)，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 解析：将y ＝sin x 的图像上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像．再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 答案：C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则f (π6)＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：由2πω＝π，得ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋π3)．∴f (π6)＝sin(π3＋π3)＝sin 2π3＝32. 答案：A5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.解析：由图像可得函数f (x )的最小正周期为4π3，∴T ＝2πω＝4π3⇒ω＝32.答案：326．已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的一段图像如图所示，则函数解析式为________． 解析：图中给出了第三、第五个关键点，于是得⎩⎨⎧ω·2π9＋φ＝π，ω·5π9＋φ＝2π，解得ω＝3，φ＝π3.又∵A ＝2，∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3 7．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝12f (2x )·cos x ，求g (54π)的值．解：(1)由图可知A ＝2，ω＝2π4π＝12， ∴解析式为y ＝2sin(12x ＋φ)，且由f (x )的图像过点(π2，2)，得2sin(12×π2＋φ)＝2，又－π2<φ<π2，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin(12x ＋π4)．(2)∵g (x )＝12f (2x )cos x＝12×2sin(x ＋π4)cos x ＝sin(x ＋π4)cos x ，∴g (5π4)＝sin(5π4＋π4)cos 5π4＝sin 3π2cos(π＋π4)＝(－1)×(－22)＝22. 8．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像． 解：(1)由题意知A ＝2，T ＝4×(38π－π8)＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)． 又∵sin(π8×2＋φ)＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π4.∴y ＝2sin(2x ＋π4)．(2)列出x ，y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点，连线，如图所示：。
高中数学北师大版必修4同步精练1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
．下列函数中，周期为π，且在上是减少的是( )．＝．＝．＝．＝．如图是函数(ωφ)(ω＞，∈)在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将(∈)的图像上所有的点( )．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变．把函数＝(∈)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )．＝，∈．＝，∈．＝，∈．＝，∈．已知函数()＝(ω＞)的最小正周期为π，则＝( )．－．．．－．已知()＝的图像经过点()，则()的最小正周期和初相φ分别为( )．＝π，φ＝．＝，φ＝．＝π，φ＝．＝，φ＝．已知函数(ωφ)(＞)的一段图像如图所示，则此函数解析式为.．函数＝，∈的值域是．．设函数＝的图像关于点()成中心对称，若∈，则＝.．已知函数＝.()求此函数的周期、振幅、初相；()作函数在[π]上的图像；()说出此函数图像是由＝的图像经过怎样的变化得到的．．已知函数()＝(ω＋φ)的图像的一部分如图所示，求函数()的解析式．参考答案．解析：＝＝的周期为π，且在上是减少的．答案：．解析：观察图像可知，在函数＝(ω＋φ)中，＝，＝π，故ω＝.令ω×＋φ＝，得φ＝，所以函数＝.故只要把＝的图像向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变即可．答案：．解析：将＝的图像上的所有的点向左平移个单位长度得到＝的图像，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得＝的图像．答案：．解析：由＝π，得ω＝，此时()＝.∴＝＝.答案：．解析：＝＝.将点()代入得φ＝，即φ＝.又∵φ＜，∴φ＝.答案：．解析：图中给出了第三个、第五个关键点，于是得解得又∵，∴所求函数的解析式为.答案：．解析：∵＜≤，∴＜＋≤π，。
数学北师大版必修4自主训练：1.8函数y=Asin：ωxφ的图像 含解析 精品
自主广场我夯基 我达标1.浙江高考卷，文1)函数y ＝sin(2x+6π)的最小正周期是（ ） A. 2π B.π C.2π D.4π 思路解析：T=ωπ2=22π=π. 答案：B2.若函数y=f （x ）的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=21sinx 的图像相同，则y=f （x ）是（ ） A.y=21sin （2x+2π）+1 B.y=21sin （2x-2π）+1 C.y=21sin （2x-4π）+1 D.y=21sin （2x+4π）+1 思路解析：逆向法解决，将y=21sinx 的图像沿y 轴向上平移1个单位得到函数y=21sinx+1的图像；再将函数y=21sinx+1的图像向右平移2π个单位得到函数y=21sin （x-2π）+1的图像；再将函数y=21sin （x-2π）+1的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21得到函数y=21sin （2x-2π）+1.这就是函数y=f （x ）的解析式. 答案：B3.(2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图像的一部分如图1-7-5所示的是（ ）图1-7-5 A.y=sin(x+6π） B.y=sin(2x-6π） C.y=cos(4x-3π） D.y=cos(2x-6π） 思路解析：从图像看出，T 41=12π+6π=4π，∴函数的最小正周期为π.∴ω=Tπ2=2.∴排除A 、C.∵图像过点(-6π,0)，代入选项B ，∴f(-6π)=sin(-3π-6π)=-1≠0.∴排除B. 答案：D4.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图像向右平移8π个单位，或向左平移83π个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（ ） A.x=2π B.x=4π C.x=-8π D.x=85π思路解析：将函数y=sin(ωx+φ)的图像向右平移8π个单位后，得函数y=sin ［ω(x -8π）+φ］为奇函数，根据奇函数的性质，由函数的定义域为R ，知sin ［ω(0-8π)+φ］=0（即f(0)=0）.∴ω(-8π)+φ=0,φ=8ωπ. 将函数y=sin(ωx+φ)向左平移83π个单位后，得函数y=sin ［ω(x+83π）+φ］也是奇函数，∴sin ［ω(0+83π)+φ］=0.将φ=8ωπ代入，得sin(83ωπ+8ωπ)=0. ∴2ωπ=kπ,ω=2k(k ∈Z ).∵φ∈(0, 2π)，∴ω=2，且φ=4π.又正弦函数图像的对称轴过取得最值的点，设2x+4π=kπ+2π，则x=2πk +8π.当k=1时，x=85π，即x=85π是函数y=sin(2x+4π)的一条对称轴方程.答案：D5.求函数y=2sin （3x-4π）的对称中心. 思路分析：利用整体策略求出对称中心坐标. 解：由y=sinx 的对称中心是（kπ，0），令3x-4π=kπ，x=3πk +12π（k ∈Z ）, 即对称中心是（3πk +12π，0）（k ∈Z ）. 6.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0),φ取何值时，f(x)为奇函数？思路分析：结合正弦函数的图像和性质来讨论.解：（1）∵x ∈R ，f(x)是奇函数，∴f(x)+f(-x)=0.则有f(0)=0，∴sinφ=0.∴φ=kπ,k ∈Z .当φ=kπ,k ∈Z 时，f(x)=Asin(ωx+kπ)，当k 为偶数时，f(x)=Asin(ωx)是奇函数；当k 为奇数时，f(x)=-Asin(ωx)是奇函数.综上可得,当φ=kπ,k ∈Z 时，f(x)为奇函数.我综合 我发展7.函数y=5sin(4π-2x)的单调递增区间是_________. 思路解析：函数y=-5sin(2x-4π)=5sin(2x+43π)，令2kπ-2π≤2x+43π≤2kπ+2π (k ∈Z )，解得kπ-45π≤x≤kπ-4π. 答案：［kπ-45π45π,kπ-4π］(k ∈Z ) 8.已知sin （2x+3π）=-21，x ∈［0，2π］，求角x 的集合. 思路分析：先由x 的范围确定2x+3π的范围，然后判断角的个数求出角.解：∵0≤x≤2π，∴3π≤2x+3π≤313π. ∵sin （2x+3π）=-21， ∴2x+3π=67π或2x+3π=611π或2x+3π=613π或2x+3π=617π. ∴x ＝125π，43π，1211π，45π. ∴x 的集合为{125π，43π，1211π，45π}. 9.函数f(x)=2sin(5k x+3π)（k≠0）. （1）求f(x)的最大值M 、最小值N 和最小正周期T.（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M,一个值是N.（3）当k=10时，由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到y=f(x)的图像?思路分析：由于k 影响函数的周期，所以求最小的正整数k 就要讨论函数周期的限制. 解：（1）∵f(x)=2sin(5k x+3π)，k≠0，且x ∈R ， ∴M=2，N=-2，T=||10k π. （2）由题意，得当自变量x 在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的周期应不大于区间长度的最小值1，即||10k π≤1，解得|k|≥10π，所以最小的正整数k=32.（3）当k=10时，有f(x)=2sin(2x+3π). 变换步骤是： ①把y=sinx 的图像上所有的点向左平行移动3π个单位，得函数y=sin(x+3π)的图像； ②把函数y=sin(x+3π)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得函数y=sin(2x+3π)的图像； ③把函数y=sin(2x+3π)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数f(x)=2sin(2x+3π)的图像. 10.如图1-7-6所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π).图1-7-6（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.思路分析：图像最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方的点的纵坐标是温度的最小值. 解：（1）由图知这段时间的最大温差是30-10=20（℃）.（2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像，即ωπ2=2(14-6)， ∴ω=8π,A=21(30-10）=10，b=21(30+10)=20. 这时y=10sin(8πx+φ)+20.将x=6,y=10代入上式，可取φ=43π. 综上，所求的解析式为y=10sin(8πx+43π)+20，x ∈［0,14］.。
北师大版数学高一-1.8函数y=Asin(ωxφ)的图象同步练习(北师大版必修四)
函数()ϕω+=x A y sin 的图像 同步练习一、选择题1、下列命题正确的是（ ）A 、要得到x y sin 3=的图像，只需将函数x y sin =的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍B 、要得到x y sin 3=的图像，只需将函数x y sin =的图像向上平移3个单位C 、要得到x y sin 3=图像，只需将函数x y sin =的图像上每一点横左边不变，纵坐标变为原来的3倍D 、要得到x y sin 3=的图像，只需将x y sin =图像上每一点横坐标不变，总坐标变为原来的31 2、要得到x y 21sin =的图像（ ） A 、只需将函数x y sin =的图像向右平移21个单位 B 、只需将函数x y sin =的图像上每一点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21倍 C 、只需将函数x y sin =的图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 D 、只需将函数x y sin 2=的图像上每一点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标也伸长到原来的2倍3、将函数x y sin =的图像向坐平移4π个单位，得到的图像的函数解析式是（ ） A 、24sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y B 、24sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y C 、24sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y D 、24sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y 4、下列命题中正确的是（ ）A 、将x y cos =的图像向右平移2π个单位，得到x y sin =的图像 B 、将x y sin =的图像向右平移2个单位，得到)2sin(+=x y 的图像C 、将)sin(x y -=的图像向左平移2个单位，得到)2sin(+-=x y 的图像D 、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像是由x y 2sin =的图像向左平移3π个单位而得到的5、要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=42sin πx y 的图像，只需将)2sin(x y -=的图像（ ） A 、向左平移4π个单位 B 、向右平移4π个单位 C 、向左平移8π个单位 D 、向右平移8π个单位 6、要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 21sin 的图像，只需将⎪⎭⎫ ⎝⎛--=621sin πx y 的图像（ ） A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移6π个单位 7、函数2sin 2)(π-=x x f 的部分图像是（ ）8、三角函数式：①⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin 3πx y ；②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=672sin 3πx y ； ③⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1252sin 3πx y ；④⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322cos 3πx y 。
高中数学 1.8.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课时训练 北师大版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.8.2 函数y＝Asin （ωx ＋φ）的图像课时训练 北师大版必修4一、选择题1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初期φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3【解析】 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.【答案】 A2．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos[2(x ＋12)]，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位即可，故选C.【答案】 C3．(2013·绍兴高一检测)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图1－8－4所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )图1－8－4A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4【解析】 由题图可知A ＝42＝2，B ＝2，T ＝4(512π－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，代入点(π6，4)得φ＝π6.【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(x 2＋3π2)(x ∈[0,2π])的图像和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 根据诱导公式，y ＝sin x 2， 作出y ＝sin x 2，x ∈[0,2π]的图像及y ＝12的图像可得解．故选C.【答案】 C5．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )【解析】 y ＝cos 2x ＋1―――――――――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1―――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1―――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)． 结合选项可知应选A. 【答案】 A 二、填空题6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω等于________．图1－8－5【解析】 从题图中可以看出：周期T ＝－π3－(－π)＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.【答案】 37．把函数y ＝2sin(x ＋2π3)的图像向左平移m 个单位，所得图像关于y 轴对称，则m的最小正值是________．【解析】 把y ＝2sin(x ＋2π3)的图像向左平移m 个单位，则y ＝2sin(x ＋m ＋2π3)，其图像关于y 轴对称，∴m ＋2π3＝k π＋π2，即m ＝k π－π6，k ∈Z .∴取k ＝1，m 的最小正值为5π6. 【答案】 56π8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．【解析】 由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)． 由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.【答案】 [－32，3]三、解答题9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)在其一个周期内的图像上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求该函数的解析式．【解】 由题意知：b ＝－5＋32＝－1，T ＝π，A ＝4，∴ω＝2πT ＝2.所以所求函数为y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∵(π12，3)为该函数图像上的点， ∴当x ＝π12时，y ＝3.即4sin(π6＋φ)－1＝3，∴sin(π6＋φ)＝1，∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝π3＋2k π.∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴该函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1.10．已知函数y ＝3sin(12x －π4)，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；(3)说明y ＝3sin(12x －π4)的图像可由y ＝sin x 的图像经怎样的变换而得到．【解】 (1)y ＝3sin(12x －π4)的振幅A ＝3，周期T ＝2π12＝4π，初相φ＝－π4.(2)列出下表，并描点画出图像如图.12x －π40 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3(3)①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin(x －π4)的图像；②把y ＝sin(x －π4)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(12x －π4)的图像；③将y ＝sin(12x －π4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin(12x －π4)的图像．11．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1－2≤x <02sin ωx ＋φ0≤x ≤8π3的图像如图1－8－6所示，试求k ，ω，φ的值．图1－8－6【解】 由于[－2,0)上图像是一线段，由(0,1)和(－2,0)知k ＝12.当0≤x ≤8π3时，T ＝4(8π3－5π3)＝4π， 故ω＝12.将点(5π3，0)代入y ＝2sin(12x ＋φ)得12×5π3＋φ＝n π，n ∈Z . ∴φ＝n π－5π6，n ∈Z .。
高中数学1.8.2函数y=Asinωx+φ的性质课时分层作业含解析北师大版必修4.doc
课时分层作业(十一) 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像是( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称A [由于T ＝2πω＝π，得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0， ∴该函数的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故选A.]2．函数y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π3取最大值时，自变量x 的取值集合是( ) A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π6＋k π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π36＋k π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π9＋k π3，k ∈Z B [∵y 的最大值为8，此时sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π3＝1， 即6x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋π36(k ∈Z )，故选B.]3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.3 B ．2 C ．32 D ．23C [由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sinπω3，即ω＝32，故选C.] 4．函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间可以是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤π2，3π4D ．[]0，πA [由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ，故当k ＝0时的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4，π4.] 5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位，所得图像所对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B ．既奇又偶函数 C.奇函数D ．偶函数 C [将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位后，得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π4＝sin 2x ，为奇函数，故选C.]二、填空题6．设函数y ＝1－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫其中－π2≤x ≤0，当x ＝________时，函数的最大值为4. －5π12 [由－π2≤x ≤0知－2π3≤2x ＋π3≤π3， 当2x ＋π3＝－π2，即x ＝－5π12时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3取最小值－1， 故y ＝1－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3取最大值4.] 7．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________，最小值是________． 2 －22 [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤56π. ∵当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )min ＝－22，当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝ 2.]8．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________．(填序号) ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π6对称．①③ [因为4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝ 4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以①正确，易得②不正确，而 f ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，故⎝⎛⎭⎫－π6，0是对称中心，③正确，④不正确．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2一个周期的图像如图所示，(1)求函数f (x )的最小正周期T 及最大值、最小值； (2)求函数f (x )的表达式、单调递增区间．[解] (1)由题图知，函数f (x )的最小正周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.(2)T ＝2πω，则ω＝2，又x ＝－π6时，y ＝0，所以sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， 而－π2<φ<π2，则φ＝π3，所以函数f (x )的表达式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间．[解] 因为f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，故sin (π＋φ)>sin φ，得sin φ<0，又f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立， 故f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， φ＝π6＋k π，k ∈Z .又sin φ<0，取φ＝－5π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )D [当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，且最小值为负数，B 符合，排除A 、B 、C. D 项中，由振幅得a >1，∴T <2π，而由图像知T >2π矛盾，故选D.]2．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 B [由题可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，故该函数在⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件，故选B.] 3．ω为正实数，函数f (x )＝2sin ωπx 的周期不超过1，则ω的最小值是________． 2 [由2πωπ≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.]4．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．2 [若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则f (x 1)≤f (x )min 且f (x 2)≥f (x )max ，当且仅当f (x 1)＝f (x )min ，f (x 2)＝f (x )max 时，|x 1－x 2|的最小值为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5的半个周期，即|x 1－x 2|min＝12×2ππ2＝2.] 5．已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在x ∈[0，π]上有两个解，求实数k 的取值范围． [解] 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x ≤π)，由图像可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在0≤x ≤π上有两个公共点，即当1≤k <2时，原方程有两个解．。
北师大必修4练习：1.8 y= Asin(ωx+φ)的图像和性质 第1课时 Word含解析
[A 基础达标]1.为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度解析：选A.只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y ＝sin(x ＋1)的图像，故选A.2.为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 解析：选B.由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6 知向右平移π4个单位长度． 3.将函数y ＝sin x 的图像向右平移π10个单位长度后再把图像各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ． y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C.y ＝sin x ――→向右平移π10个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.4．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度，则由函数y ＝sin x 的图像得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，可以实施的方案是( )A ．①→③B ．②→③C ．②→④D ．②→⑤解析：选D.由y ＝sin x 的图像到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像可以先平移变换再周期变换，即③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤.5．将函数f(x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13B ．1 C.53 D ．2解析：选D.函数f(x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度得到函数f(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω>0)，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，故得ω的最小值是2.6.把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短为原来的13，得到 的图像．解析：将y ＝sin x 的图像横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像，纵坐标再缩短为原来的13得到y ＝13sin 3x 的图像． ★答案★：y ＝13sin 3x 7.将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0<φ<π)的图像，则φ的值为 ．解析：将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3.★答案★：π38.某同学给出了以下论断：①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像；②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像；③将y ＝sin (－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像．其中正确的结论是 (将所有正确结论的序号都填上)．解析：将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin[－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．★答案★：①③9.函数f(x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π个单位长度所得的曲线是y ＝12sin x 的图像，试求y ＝f(x )的解析式．解：将y ＝12sin x 的图像向右平移π个单位长度得： y ＝12sin ()x －π，化简得y ＝－12sin x . 再将y ＝－12sin x 的图像上的横坐标压缩为原来的12(纵坐标不变)得：y ＝－12sin 2x ， 所以f(x )＝－12sin 2x . 10.使函数y ＝f(x )图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的12，然后再将其图像沿x 轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图像相同，求f(x )的表达式． 解：法一：正向变换y ＝f(x )――→横坐标缩小为原来的12y ＝f(2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，所以f(t)＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 法二：逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 即f(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. [B 能力提升]1.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图像向右平行移动π8个单位长度，得到的函数图像的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，0 B.⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫π9，0 D.⎝⎛⎭⎫π16，0 解析：选A.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，便得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 再向右平移π8个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝sin 2x .经检验⎝⎛⎭⎫π2，0是该函数图像的一个对称中心．2．已知函数f(x )的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图像沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图像与y ＝12sin x 的图像相同，则f(x )的解析式为 ．解析：逆向思维，y ＝12sin x ――――――――→向右平移π2个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2――――――――→横坐标变为原来的12倍y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2， 即f(x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. ★答案★：f(x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 3．已知函数f(x )＝3sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，其图像向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．(1)求函数f(x )的解析式；(2)说明其图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到的．解：(1)将函数f(x )＝3sin(2x ＋φ)图像上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ. 因为图像平移后关于y 轴对称，所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)， 因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6. 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)将函数y ＝sin x 的图像上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图像的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像，再把图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像． 4．(选做题)设ω>0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图像与原图像重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z)，即ω＝3k 2， 又因为ω>0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32. 故ω的最小值为32.。
北师大版数学高一-(北师大)必修4试题 1.8函数y=Asin(ωxφ)的图像
课后训练1．函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像( )． A ．关于直线6x π=对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称2．函数sin 26y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间是( )． A ．2,263k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．5,66k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 3．将函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是( )． A ．1sin 2y x = B ．1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 4．已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )．A ．()2cos 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5．设函数()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．f (x )在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C ．f (x )在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ． f (x )在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 6．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的值为( )．A ．23B ．32C ．2D ．3 7．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图像如图所示，则20113f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是__________．8．函数()3sin +13f x kx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(k ＞0)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)．(1)求实数k 的范围；(2)若k ∈N ＋，当k 取最小值时，①求函数f (x )的最大值及相应x 的取值集合；②求函数f (x )的对称中心．9．函数()sin +16f x A x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则=22f α⎛⎫ ⎪⎝⎭，求α的值． 10．已知a ＞0，函数()2sin 2+2+6f x a x a b π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－5≤f (x )≤1． (1)求常数a ，b 的值；(2)设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．参考答案1答案：B2答案：C3答案：C4答案：A5答案：A6答案：B7答案：－28答案：(1)23π＜k ＜2π (2)① 2,318n x x n ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时， f (x )max ＝4； ②,139n ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (n ∈Z ) 9答案：(1) ()2sin 2+16f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ (2) 3π 10答案：(1)a ＝2，b ＝－5 (2)单调增区间为,6k k πππ⎛⎤+⎥⎝⎦，k ∈Z 单调减区间为,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z。
北师大版数学高一(北师大)必修4素材 1.8怎样求y_Asin(ωxφ)的解析式
怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题。
这里振幅A 常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2πω来求得，问题的关键是求初相ϕ。
本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法。
一、待定系数法分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A 、ω、ϕ的三个方程，从而解出A 、ω、ϕ，这就是待定系数法。
例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为23π，且它的图象经过点(0,)，求此函数的解析式。
解析： ∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2。
∵函数的周期是23π，∴23π=2πω，解得ω=3。
∵函数的图象经过点(0,),∴将x=0，y=及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)得=2sin ϕ，sin ϕ=－2.∵0<ϕ<2π，∴y=54π或74π。
故所求函数的解析式是： y=2sin(3x+54π)或y=2sin(3x+74π) 例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式。
分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的12。
∴2T =56π－6π=23π，即T=43π，∴ω=2T π=32又显然有A=2，下面只须求初相ϕ。
设曲线与x 轴交C ，易知，C(2π,0)将A=2，ω=32，x=2π，y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(34π+ϕ)。
∴ϕ=kπ－34π，(k ∈Z)。
注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx 的图象，经过振幅、周期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间上有解。
∴ϕ=－34π，故函数的解析式是y=2sin(32x －34π)。
二、平移变换图1图2 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin 的图象，可以看成是由函数y=sinx 的图象经过下面变换而得到： y=sinx 的图象 →y=Asinx 的图象（振幅变换）→y=Asinωx 的图象（周期变换）→y=Asin 的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ。
2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：第1章 第8节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
§8 函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.函数y=2sin+1的最大值是( )(2x +π6)A .1B .2C .3D .4y=2sin+1的最大值为2+1=3.(2x +π6)2.已知函数f (x )=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f =( )(ωx +π3)(π6)A .-B .C .D .-331212由=π,得ω=2,此时f (x )=sin.2πω(2x +π3)∴f =sin .(π6)(π3+π3)=323.函数y=3sin的一个单调递减区间为( )(π4-x )A. B.[-π2,π2][-π4,3π4]C. D.[3π4,7π4][-3π4,π4]3sin =-3sin ,当x ∈时,x-,此时y=sin 在区间上(π4-x )(x -π4)[-π4,3π4]π4∈[-π2,π2](x -π4)[-π4,3π4]是增加的,从而y=-3sin在区间上是减少的,即单调递减区间是.(x -π4)[-π4,3π4][-π4,3π4]4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos (x ∈[0,2π])的图像和直线y=的交点个数是( )x 2+3π212A.0 B.1 C.2 D.4y=cosπ,x ∈[0,2π]的图像及y=的图像可得,应选C .x 2+32125.已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则( )(ω>0,|φ|<π2)A.ω=1,φ=π6B.ω=1,φ=-π6C.ω=2,φ=π6D.ω=2,φ=-π6T=4×=π,(7π12-π3)∴ω==2,由五点作图法知2×+φ=,φ=-.2πT π3π2π66.如图是函数y=A sin(ωx+φ)(x ∈R )在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将[-π6,5π6]y=sin x (x ∈R )的图像上所有点( )A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变π312B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变π3C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变π612D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变π6π,振幅为1,所以函数的解析式可设为y=sin(2x+φ).代入可得φ的一个值为,故图像中函数的一个解析式是y=sin,所以只需将y=sin (-π6,0)π3(2x +π3)x (x ∈R )的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵π312坐标不变.7.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m 的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图像的一π2π3条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )A.y=4sin 4x+B.y=2sin 2x++2π6π3C.y=2sin4x++2D.y=2sin4x++2π3π6,A==2,m==2,ω==4,∴φ=kπ+,∴当k=1时,4-024+022πT=2ππ2π2‒4π3φ=,∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.3π2‒4π3=π6π68.将函数y=sin的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)12(2x+π6)12的图像,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为 和 .[0,π4]g(x)=sin.12(4x+π6)∵x∈,∴4x+,[0,π4]π6∈[π6,7π6]∴当4x+时,g(x)取最大值;当4x+时,g(x)取最小值-.π6=π212π6=7π614-149.设函数f(x)=4sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是 .(πx2+π5),f(x1),f(x2)分别是函数f(x)=4sin的最小值、最大值,|x1-x2|的(πx2+π5)最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的个周期,故|x1-x2|的最小值12=T==2.1212·2ππ210.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R)的图像的一部分如图所示,求函数f(x)的解析式.,A=2,T=8.∵T=8,∴ω=.2πT=2π8=π4∴f(x)=2sin.(π4x+φ)方法一:由图像过点(1,2)得,2sin=2,(π4×1+φ)∴sin =1.∴+φ=2k π+(k ∈Z ),(π4+φ)π4π2即φ=2k π+(k ∈Z ).π4∵|φ|<,∴φ=,∴f (x )=2sin .π2π4(π4x +π4)方法二:∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点,∴×1+φ=,∴φ=,π4π2π4∴f (x )=2sin.(π4x +π4)11.已知函数f (x )=sin .12(2x +π6)+54(1)求f (x )的最大值、最小值,及相应x 的值;(2)求f (x )的最小正周期、对称轴和对称中心;(3)函数f (x )的图像至少向左平移多少个单位长度才为偶函数?当2x++2k π(k ∈Z )时,f (x )有最大值,即当x=+k π(k ∈Z )时,f (x )max =.π6=π274π674当2x+=-+2k π(k ∈Z )时,f (x )有最小值,即当x=k π-(k ∈Z )时,f (x )min =.π6π234π334(2)由T=知函数f (x )的最小正周期为T=π.2π|ω|令2x+=k π+(k ∈Z ),则x=(k ∈Z ),π6π2kπ2+π6∴对称轴为直线x=(k ∈Z ).kπ2+π6令2x+=k π(k ∈Z ),则x=(k ∈Z ),π6kπ2‒π12∴对称中心为(k ∈Z ).(kπ2-π12,54)(3)由函数性质知若函数y=A sin(ωx+φ)+b 为偶函数,φ>0,则φ至少为,即y=sincos 2x+为偶函数.π212(2x +π2)+54=1254∴应将函数y=sin 的图像平移至函数y=sin 的图像处.12(2x +π6)+5412(2x +π2)+54由函数图像平移方法知:y=sin 的图像y=sin 的图像,12(2x +π6)+5412(2x +π2)+54∴函数f (x )的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数.π6B 组 能力提升1.将函数f (x )=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,(4x +π6)π6得到函数y=g (x )的图像,则y=g (x )图像的一条对称轴是( )A .x=B .x=π12π6C .x=D .x=π32π3f (x )=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得函数y=3sin (4x +π6)的图像,再向右平移个单位长度,可得y=3sin =3sin 的图像,故g (x )(2x +π6)π6[2(x -π6)+π6](2x -π6)=3sin.(2x -π6)令2x-=k π+,k ∈Z ,得到x=·π+,k ∈Z .则得y=g (x )图像的一条对称轴是x=.故选C .π6π2k 2π3π32.导学号93774030设ω>0,函数y=sin +2的图像向右平移个单位长度(ωx +π3)4π3后与原图像重合,则ω的最小值是( )A .B .C .D .3234332sin +2向右平移个单位长度,(ωx +π3)4π3得y 1=sin+2,[ω(x -4π3)+π3]即y 1=sin +2,(ωx +π3-4π3ω)又函数y 与y 1的图像重合,则-ω=2k π(k ∈Z ),4π3∴ω=-k (k ∈Z ).32又ω>0,k ∈Z ,∴当k=-1时,ω取得最小值.故选C .323.将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最π4(3π4,0)小值是( )A. B.1 C. D.21353f (x )=sin ωx 的图像向右平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为f (x )=sin π4ω=sin .因为函数的图像经过点,所以sin =sin =0,所以(x -π4)(ωx -ωπ4)(3π4,0)(3ωπ4-ωπ4)ωπ2=k π(k ∈Z ),即ω=2k (k ∈Z ),因为ω>0,所以ω的最小值为2.ωπ24.函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间上单调递增,且在这个区间上的最大值是,则ω可以为( )[0,π4]3A .B .C .2D .42343f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间上单调递增,所以周期T ≥π,所以0<ω≤2.由题意[0,π4]知2sin ⇒sin .当ω=时,f =1,不合题意;当ω=时,f ,符合题意;当ω=2时,ωπ4=3ωπ4=3223(π4)43(π4)=3f =2,不合题意.故选B .(π4)5.导学号93774031点P 是函数f (x )=sin(ωx+φ)+m的图像的(-π6,2)(ω>0,|φ|<π2)一个对称中心,且点P 到该图像对称轴的距离的最小值为,则( )π2A .f (x )的最小正周期是πB .m 的值为1C .f (x )的初相φ为π3D .f (x )在上是增加的[4π3,2π]点P 是函数f (x )的图像的一个对称中心,∴m=2,-ω+φ=k π(k ∈Z ),π6又由题意知T=4×=2π,则ω=1,π2∴-+φ=k π(k ∈Z ).π6由|φ|<,得φ=,利用排除法知D 正确.π2π66.f (x )=3sin的图像C 具有:(2x -π3)①图像C 关于直线x=对称;②函数f (x )在区间内是增加的;③由y=3sin 2x 的图像向11π12(-π12,5π12)右平移个单位长度可以得到图像C.π3以上三个论断中,正确的论断是 .(填序号)中,x=时,2x-,正确;②中,由x ∈得2x-,正确;③中,函数y=3sin 11π12π3=3π2(-π12,5π12)π3∈(-π2,π2)2x 的图像向右平移个单位得到y=3sin 2=3sin 的图像,结论错误,故选①②.π3(x -π3)(2x -2π3)7.函数f (x )=A sin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(ωx -π6)π2(1)求函数f (x )的解析式;(2)设α∈(0,2π),f =2,求α的值.(α2)∵函数f (x )的最大值为3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为,π2∴最小正周期T=π,∴ω=2.∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin+1.(2x -π6)(2)f =2sin+1=2,(α2)(α-π6)即sin .(α-π6)=12∵0<α<2π,∴-<α-,π6π6<11π6∴α-或α-,故α=或α=π.π6=π6π6=5π6π38.导学号93774032已知函数y=3sin .(12x -π4)(1)求此函数的周期、振幅、初相;(2)作函数在[0,4π]上的图像;(3)说出此函数图像是由y=sin x 的图像经过怎样的变化得到的.y=3sin 的周期T=4π,振幅为3,初相为-.(12x -π4)π4(2)在x ∈[0,4π]上确定关键点,列表如下.x0π23π25π27π24πx-12π4-π40π2π3π27π4y=3sin (12x -π4)-322030-3-322描点,作出以上各点,用平滑曲线顺次连接各点,得y=3sin 在[0,4π]上的草图如图所示.(12x -π4)(3)①把函数y=sin x 的图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图像;π4(x -π4)②把得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图像;(12x -π4)③把得到的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得到函数y=3sin 的图(12x -π4)像.。
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课时提升作业(十一)函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·淮北高一检测)函数y=3sin的相位和初相分别为()A.-x+,B.x+,C.x-,-D.x+,【解析】选A.函数y=3sin的相位为-x+,初相为.2.(2015·九江高一检测)由y=f(x)的图像向左平移个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图像,则f(x)为() A.2sin B.2sinC.2sinD.2sin【解析】选 B.将y=2sin图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=2sin,再将图像向右平移个单位,得到y=2sin.【误区警示】本题容易出现将平移方向、倍数弄反的错误,应将图像逆向变换得到平移前的图像.【补偿训练】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,平移后的图像如图所示,则y=sinωx(ω>0)的解析式是________.【解析】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,得到y=sin,即y=sin,由图可知,函数y=sin(ωx+ω)在x=时取得最大值,所以ω×+ω=2kπ+.即ω=8k+2(k∈Z),所以k=0时,ω=2,所以y=sinωx(ω>0)的解析式是y=sin 2x.答案:y=2sin2x3.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=【解析】选C.由题意以及函数的图像,可知T=4×(3-1)=8,因为T=,所以ω=;因为函数的图像经过(3,0),所以0=sin,π+φ=π.且0≤φ<2π,所以φ=.4.(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(k∈Z)B.(k∈z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解题指南】根据图像,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知,解得ω=π,φ=,所以f(x)=cos,令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为(k∈Z).【补偿训练】函数y=sinωx(ω>0)的部分图像如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点.若△ABC是直角三角形,则ω的值为()A. B.C. D.π【解析】选A.函数的最大值为1,又△ABC是等腰直角三角形,故三角形AB边上的高为2,A与B的距离为4,即为最小正周期T,由=4得ω=.5.若曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间上截直线y=2与y=-1所得的弦长相等且不为0,则下列对a和A的描述正确的是()A.a=,A>B.a=1,A>1C.a=,A≤D.a=1,A≤1【解析】选A.由题意曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图像关于直线y=a对称,又截直线y=2及y=-1所得的弦长相等,所以,两条直线y=2及y=-1关于y=a对称,a==,又弦长相等且不为0,故振幅A大于=,A>,故有a=,A>.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将函数f(x)=2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变得到新函数g(x),则g(x)的最小正周期是______.【解析】将函数f(x)=2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半,得到函数g(x)=2sin(2x-),所以g(x)的最小正周期是=π.答案:π7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像如图所示,则f=________.【解析】由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像可得·=-,解得ω=3,故f(x)=2sin(3x+φ). 因为正数图像过点,故3×+φ=kπ,k∈Z,故φ=-+kπ,k∈Z,所以φ=,f(x)=2sin.所以f=2sin=2sin=2sin=.答案:8.在平面直角坐标系xOy中,直线y=1与函数y=3sin x(0≤x≤10)的图像所有交点的横坐标之和为________.【解析】因为y=3sin x的周期T==4,所以当0≤x≤10时,其图像如下:由图知,直线y=1与正弦曲线y=3sin x(0≤x≤10)相交于A,B,C,D,E,F6个点,其横坐标如图所示,则x1+x2=2,x3+x4=10,x5+x6=18,所以所有交点的横坐标之和为2+10+18=30.答案:30三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·汉中高一检测)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的最小正周期为,最小值为-2,图像过,求该函数的解析式.【解析】因为函数的最小正周期为,所以T==,即ω=3.又因为函数的最小值为-2,所以A=2,所以函数解析式可写为y=2sin,又因为函数图像过点,所以有:2sin=0,解得φ=kπ-.因为|φ|<π,所以φ=或-,所以,函数解析式为:y=2sin或y=2sin(3x-).10.(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图像.若y=g(x)图像的一个对称中心为,求θ的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据,得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如表:π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图像关于点成中心对称,令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.【补偿训练】已知函数f(x)=sin(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.(1)求f.(2)在下面给定的平面直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间上的图像,并根据图像写出其在上的单调递减区间.【解析】(1)依题意得=π,解得ω=2,所以f(x)=sin,所以f=sin=sin cos-cos sin=×-×=.(2)因为x∈,所以2x-∈,列表如下:2x-----画出函数y=f(x)在区间上的图像如下:由图像可知函数y=f(x)在上的单调递减区间为,.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·山东高考)要得到函数y=sin的图像,只需将函数y=sin4x的图像()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解题指南】对于y=Asin一类的图像的左右平移问题,一定要将函数变形为y=Asin[ω(x+)]再加以判断,即对x变化了个单位(左加右减).【解析】选B.要得到y=sin=sin[4(x-)]的图像,只需将y=sin4x的图像向右平移个单位.2.(2015·潍坊高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<,x∈R)在一个周期内的图像如图所示,则y=f(x)的图像可由函数y=cosx的图像(纵坐标不变),________得到()A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度【解析】选B.由图可知A=1,T=4×=π,故ω=2,则f=sin,又图像过,故sin=1,故由+φ=,得φ=,故f=sin,又f=sin=cos=cos,故将函数y=cosx的图像先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度得到f(x)=sin的图像.二、填空题(每小题5分,共10分)3.将函数f(x)=2cos的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图像,则g(x)的解析式为______.【解析】将函数f(x)=2cos的图像向左平移个单位,得到y=2cos=2cos,再向下平移1个单位,得到函数g(x)=2cos-1的图像,所以g(x)的解析式为g(x)=2cos-1.答案:g(x)=2cos-14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-<φ<),其部分图像如图所示,将f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为________.【解析】由函数图像可知A=1,=2,所以T=8,所以ω===,当x=1时,f(x)得最大值1,所以1=sin,又因为-<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin,将f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍得y=sin,再向右平移1个单位得到g(x)=sin=sin(x+1)的图像. 答案:g(x)=sin(x+1)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·沈阳高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.(1)求函数f(x)的表达式.(2)若f=,求tanα的值. 【解析】(1)根据题意,得因为函数的最大值为1,最小值为-1,所以A=1,因为函数的最小正周期为T,满足=-=,所以T=π,得=π,解之得ω=2,因为当x=时,函数达到最大值为1,所以f()=sin(+φ)=1,可得+φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以取k=0,得φ=,因此,函数f(x)的表达式为f(x)=sin.(2)因为f(x)=sin,所以f(α+)=sin(2α+)=,可得cos2α=,因为cos2α=cos2α-sin2α=,cos2α+sin2α=1.所以cos2α=,sin2α=,可得tan2α==.因为α∈(0,),所以tanα=(舍负).【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图所示,(1)求f(x)的解析式.(2)求f+f+f+…+f的值.【解题指南】根据图示信息求出解析式,再根据函数在一个周期内的和的情况求和. 【解析】(1)由图像可知A=2,周期T=2=π,所以ω===2,则f(x)=2sin(2x+φ),由图像过点,得2sin=2,即sin=1,取+φ=得φ=,故f(x)=2sin.(2)由(1)可知f(x)的周期为π,因为f+f+f+f=1--1+=0,所以f+f+f+…+f=0×503+f+f+f=f+f+f=1--1=-.6.将函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图像;将函数y=cos的图像向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图像.(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像.(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.【解题指南】解答本题(1)利用平移变换法画出两个函数的图像.(2)根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图像的交点个数,即为方程f(x)=g(x)解的个数.【解析】函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图像,即图像C1;函数y=cos的图像向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos=cos2x的图像,即图像C2.(1)画出图像C1和C2如图.(2)因为f(9)=lg10=1,所以由图像可知:两个图像共有5个交点.即方程f(x)=g(x)解的个数为5.关闭Word文档返回原板块。