【2020年数学高考】2020年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题 C(考试版).doc
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(四)含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x －1>0}，C ＝{x |y ＝x －1，y ∈A }，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{2，3，4} B ．{2，3，4，5，6} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{3，4，5}2．若复数z 满足方程z ＝(z ＋1)i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度5．在△ABC 中，D 是线段BC 上一点(不包括端点)，AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，则( ) A ．λ<－1 B ．－1<λ<0 C ．0<λ<1D ．λ>16.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )A ．24B ．48C ．96D ．1207．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中每个小正方形的边长都为1.三棱锥上的点M 在俯视图上的对应点为A ，点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．9D ．68．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．09．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过等腰梯形ABCD 的上底的两个顶点C 、D ，下底的两个顶点A 、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC 与双曲线的左支交于点E ，且3|AE |＝2|EC |，|AB |＝2|CD |，则该双曲线的离心率是( )A. 2 B ． 3 C. 5D ．710．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知函数F (x )＝min{2x ，x 2}( )A ．若F (a )≤b 2，则a ≤bB ．若F (a )≤2b ，则a ≤bC ．若F (a )≥b 2，则a ≥bD ．若F (a )≥2b ，则a ≥b第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是________，焦点到渐近线的距离是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1－3x ，x >0，则f (f (－1))＝________；若f (2a 2－3)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．13．在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 14．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________，随机变量ξ的均值是________．15．已知x ，y ，z 均为实数，且满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为________． 16．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝|2x －y |的最大值为________．17．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点P 是线段CD 1(不包括点C )上的动点，点Q 是线段CM 上的动点，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝sin(B －C )． (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，当sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值时，求A ，a 的值．19.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1所有的棱长均为1，A 1C 1⊥B 1C .(1)求证：A 1B ⊥AC ；(2)若A 1B ＝1，求直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值．20．(本题满分15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设b n ＝22S n －n ，T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ，证明T n <2 2.21.(本题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的斜率为66，坐标原点O 到直线AB 的距离为427. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上存在点D ，使得圆O 过D 的切线与椭圆C 交于点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，直线PQ 与OM 的夹角为45°？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，说明理由．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ，其中a 为实常数．(1)若x ＝12是f (x )的极大值点，求f (x )的极小值；(2)若不等式a ln x －1x ≤b －x 对任意－52≤a ≤0，12≤x ≤2恒成立，求b 的最小值．高考仿真模拟卷(四)1．解析：选B.由题意知，B ＝{x |x >1}，C ＝{2，3，4，5，6}，所以(A ∩B )∪C ＝{2，3，4，5}∪{2，3，4，5，6}＝{2，3，4，5，6}，故选B.2．解析：选C.由于z ＝(z ＋1)i ，则(1－i)z ＝i ，所以z ＝i 1－i ＝i （1＋i ）2＝－12＋12i ，所以z ＝－12－12i ，对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12在第三象限．故选C. 3．解析：选C.因为函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x ≥0在定义域R 上单调递增，所以当a >b 时，f (a )>f (b )，即a |a |>b |b |，所以充分性成立；当a |a |>b |b |时，a >b ，所以必要性成立．故选C.4．解析：选B.假设将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2ρ＋π3关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称，所以将x ＝－π12代入得到sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2ρ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2ρ＝0， 所以π6＋2ρ＝k π，k ∈Z ，所以ρ＝－π12＋k π2，当k ＝0时，ρ＝－π12.5．解析：选C.根据平面向量加法运算的平行四边形法则，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<λ<10<1－λ<1，所以0<λ<1，故选C.6．解析：选C.依题意，设题目中的4种不同的颜色分别为a ，b ，c ，d ，注意到满足题意的方法中顶点A ，B ，E 的颜色互不相同，下面进行分步计数：第一步，确定涂顶点A ，B ，E 处(不妨设顶点A ，B ，E 处的颜色分别为a ，b ，c )，相应的方法数为A 34＝24；第二步，确定涂顶点C ，D 的颜色的方法种数，相应的方法数为4(分别为(C ，D )＝(a ，b )，(a ，d )，(d ，a )，(d ，b ))．根据分步乘法计数原理知，满足题意的不同的涂色方法种数为24×4＝96，选C.7．解析：选A.根据题意及三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥P CNE .由题意知M 在PC 上，则线段MN 长度的最大值即PN 的长，故线段MN 长度的最大值为3 3.8．解析：选C.a 9＝a 8＋d ＝1＋d ，a 10＝a 8＋2d ＝1＋2d ， 2|a 9|＋|a 10|＝2|1＋d |＋|1＋2d |＝2(|1＋d |＋|12＋d |)，所以当d ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12时，原式取到最小值1.故选C. 9．解析：选D.由题意可知，A (－c ，0)，B (c ，0)，又点C 在双曲线上，ABCD 为等腰梯形，|AB |＝2|CD |，所以点C 的横坐标为c 2，不妨设C ⎝⎛⎭⎫c 2，y 0，由3|AE |＝2|EC |可知AE →＝23EC →，得E ⎝⎛⎭⎫－2c 5，2y 05，从而满足⎩⎨⎧c 24a 2－y 20b2＝1，4c 225a 2－4y 2025b2＝1，消去y 20b 2，得c2a2＝7，所以该双曲线的离心率为7.10．解析：选D.在平面直角坐标系内画出函数y ＝2x 和函数y ＝x 2的图象，易得两函数图象有三个交点，设从左至右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则由图易得F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（－∞，x 1]∪[x 2，x 3]，x 2，x ∈（x 1，x 2）∪（x 3，＋∞），画出函数y ＝2x 和y ＝F (x )的图象，过函数y ＝2x 的图象上任意一点(b ，2b )作x 轴的平行线l ，由图易得在函数y ＝F (x )的图象上，位于直线l 和直线l 上方的点均在x ＝b 的右侧，所以若F (a )≥2b ，则a ≥b ，故选D.11．解析：因为a 2＝4，b 2＝1，所以实轴长2a 等于4，焦点到渐近线的距离为b 等于1. 答案：4 112．解析：f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝1－3×2＝－5.作出函数图象，由图象可知函数f (x )在定义域上单调递减，所以由f (2a 2－3)>f (5a )得，2a 2－3<5a ，即2a 2－5a －3<0，解得－12<a <3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，3. 答案：－5 ⎝⎛⎭⎫－12，3 13．解析：依题意，(2－x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·26－r ·(－x )r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x r ，因此在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36·23·(－1)3＝－160.答案：20 －16014．解析：依题意得，ξ的所有可能取值分别是0，1，2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24·C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14·C 22C 36＝15，因此随机变量ξ的均值是E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.答案：35115．解析：由题意可知，1＝x 2＋2y 2＋z 2＝x 2＋25y 2＋85y 2＋15z 2＋45z 2≥225xy ＋425yz ＋45z 2＝225(5xy ＋2yz ＋2z 2)，即5xy ＋2yz ＋2z 2≤522＝524，故5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为524，当且仅当x ＝126，y ＝5213，z ＝1013时取等号． 答案：52416．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当直线经过平面区域内的点(－2，2)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时2x －y 取得最小值，最小值是－6；当直线经过平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时2x －y 取得最大值，最大值是9，因此2x －y 的取值范围是[－6，9]，z ＝|2x －y |的取值范围是[0，9]，z ＝|2x －y |的最大值是9.答案：917．解析：如图，过P 作PN ⊥CD 于N ，连接QN ，则直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ即∠PQN ，所以tan θ＝PNQN ，结合图形可知，对于线段CD 1上的任意点P ，作PN ⊥CD ，在线段CM 上均存在点Q ，使得QN ⊥CM ，此时tan θ取得最大值．不妨取点P 运动到D 1点，此时N 在D 点，则PN ＝1，又DM ＝12，CD ＝1，所以CM＝52，QN ＝55， 所以(tan θ)max ＝155＝ 5. 答案：518．解：(1)在锐角△ABC 中，cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin(B －C )， 所以sin B cos C －cos B sin C ＋cos B cos C －sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －sin C )＋cos B (cos C －sin C )＝0， 所以(sin B ＋cos B )(cos C －sin C )＝0.因为A ，B ，C 均为锐角，所以sin B ＋cos B >0， cos C －sin C ＝0，tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，A ＋B ＝3π4.由⎩⎨⎧0<A <π20<3π4－A <π2， 得π4<A <π2. sin A ＋cos(7π12－B )＝sin A ＋cos[7π12－(3π4－A )]＝sin A ＋cos(A －π6)＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(sin A ·32＋cos A ·12)＝3sin(A ＋π6)． 由于π4<A <π2，所以5π12<A ＋π6<2π3，故当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值 3.由正弦定理a sin π3＝c sin π4＝222＝2，得a ＝ 3.19．解：(1)取AC 中点O ，连接A 1O ，BO ，所以BO ⊥AC .连接AB 1交A 1B 于点M ，连接OM ，则B 1C ∥OM . 因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊥B 1C ， 所以AC ⊥OM .又因为OM ⊆面A 1BO ，OB ⊆面A 1BO ，所以AC ⊥面A 1BO ，所以A 1B ⊥AC .(2)因为A 1C 1∥AC ，所以直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角等于直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为三棱柱ABC A 1B 1C 1所有的棱长均为1，故A 1B ⊥AB 1， 因为A 1B ⊥AC ，所以A 1B ⊥面AB 1C ， 所以面AB 1C ⊥面ABB 1A 1.因为面AB 1C ∩面ABB 1A 1＝AB 1，所以AC 在平面ABB 1A 1的射影为AB 1， 所以∠B 1AC 为直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为AB 1＝2AM ＝2AB 2－BM 2＝3，由于A 1C 1⊥B 1C ，所以AC ⊥B 1C ，所以在Rt △ACB 1中，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1＝13＝33.所以直线AC 和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33， 即直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33. 20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0.又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，所以a 7＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2.(2)证明：b n ＝22S n －n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2.令P n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则P n ＝1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2，因为n ∈N *，所以P n <32，所以T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ＝2b 1＋b 2＋…＋b n ＝2P n <232，所以T n <2 2.21．解：(1)已知b a ＝66，而直线AB 的方程为－x a ＋yb ＝1，由题意11a 2＋1b 2＝427，从而a ＝427·1＋a 2b2＝427·1＋⎝⎛⎭⎫662＝6，b ＝66a ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 2＝1.(2)设点D (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1.由题意知y 0≠0，从而直线PQ 的斜率k ＝－x 0y 0，故直线PQ 的方程可写为y ＝1y 0(1－x 0x )，代入椭圆C 的方程并整理得1＋5x 206x 2－2x 0x ＋x 20＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝6x 01＋5x 20， 从而y 1＋y 22＝1y 0⎝⎛⎭⎫1－x 0·x 1＋x 22＝y 01＋5x 20， 所以M ⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 20，y 01＋5x 20.若直线PQ 与OM 的夹角为45°，则△ODM 是等腰直角三角形， 从而|OM |＝2，即⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 202＋⎝⎛⎭⎫y 01＋5x 202＝2，化简得50x 40－15x 20＋1＝0，解得x 20＝110或x 20＝15. 经检验符合题意，所以存在满足题设要求的点D ，其横坐标可为±1010，±55. 22．解：(1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x 2， 因为x >0，由f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，得⎝⎛⎭⎫122＋12a ＋1＝0，所以a ＝－52， 此时f(x)＝－52ln x ＋x －1x . 则f′(x)＝x 2－52x ＋1x 2＝（x －2）⎝⎛⎭⎫x －12x2. 所以f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数． 所以x ＝2为极小值点，极小值f(2)＝32－5ln 22.(2)不等式aln x －1x≤b －x ，即f(x)≤b.所以b ≥f max (x)．(ⅰ)若1≤x ≤2，则ln x ≥0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤x －1x ≤2－12＝32.当a ＝0，x ＝2时取等号；(ⅱ)若12≤x<1，则ln x<0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤－52ln x ＋x －1x.由(1)可知g(x)＝－52ln x ＋x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数． 所以当12≤x ≤1时，g(x)≤g ⎝⎛⎭⎫12＝52ln 2－32.因为52ln 2－32<52－32＝1<32，所以f max (x)＝32，于是b min ＝32.。
【精品高考数学】[2020年浙江高考仿真模拟卷-数学]+答案
![【精品高考数学】[2020年浙江高考仿真模拟卷-数学]+答案](https://img.taocdn.com/s3/m/1a5813da680203d8cf2f2417.png)
2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．35函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【解析】选B.2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为．故选：B．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．3 【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选：C．5函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解析】由题知，的定义域为，且，所以是奇函数，排除C和D，将代入得，排除B,故选A.6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P，过P作a垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又α，则a⊥，同理，在γ内过P作b垂直于β，γ的交线，则b⊥，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β＝l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,又， sin=，∴,D正确，故选C.9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【解析】由题得，=，所以当时，的最大值为.故选：C10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．【解析】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.【解析】不等式组表示的可行域如图，三条直线围成的三角形，可得C（1，0），可得B（1，4），解得A（0，1）区域面积为：×4×1＝2．目标函数,根据图像得到过点A时取得最小值1，过点B时取得最大值6.故答案为：(1)2;(2).13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cos B，∴sin B．正弦定理：，可得：AC．故答案为：，．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【解析】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）【解析】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为.故答案为：17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．【解析】连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得.故答案为三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.【解析】解(Ⅰ)====.所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为,所以.于是,当,即时,取得最大值;当,即时,取得最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；如图所示，取BB1中点N，连结AM,AN，为平行四边形，点N,P为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面PQB1，同理可得，平面PQB 1，据此可得平面AMN∥平面PQB1，故平面.(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,则，，，，，，.作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，.设N到平面PQB1的距离为h,则，∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为：.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.【解析】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.时，.∴，显然也满足，∴.（Ⅱ），，，当时，，，当时，，，当时，，∴.综上，当时，；当时.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．【解析】（1）……①（2）设，据题意知直线的斜率存在，设②联立①②得，=.由于T（0，t）为定点，故t为定值，为定值. （3）,,,,由（2）知，，且，又，当时，，，，；当时，，符合上式.，令，则，，当即时，22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．【解析】（l），①若，，在上单调递增；②若,当时，，当时，，所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，令，，①若，则，在上单调递减，所以，不等式恒成立等价于，即；②若，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；③若，当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；综上所述，.。
浙江专用2020年高考数学仿真试卷(含两套,解析版)
浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |log 2x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(－1,1) D ．(－∞，1) 答案 A解析 根据题意集合A ＝{x |－1<x <1}，集合B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝(0,1)．2．在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.y 214－x 27＝1 答案 B解析 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k .又()22，－2在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，∴双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 C解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，2x －3y －9＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 将z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(3，－1)时， 直线在y 轴上的截距最大，即z 最大， z 的最大值为z ＝2×3－1＝5.4．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，其中i 是虚数单位，则|z 1－z 2|的最大值为 A.5－1 B.5－12 C.5＋1 D.5＋12答案 C解析 方法一 由题可得z 1－z 2＝2＋i －cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sin α)i(α∈R )， 则|z 1－z 2|＝(2－cos α)2＋(1－sin α)2 ＝4－4cos α＋cos 2α＋1－2sin α＋sin 2α ＝6－2sin α－4cos α＝6－22＋42sin (α＋φ)＝6－25sin (α＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时， |z 1－z 2|有最大值，此时|z 1－z 2|＝6＋25＝5＋1. 方法二 ∵z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，∴z 2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z 1＝2＋i 对应的点为Z 1(2,1)． 如图：则|z 1－z 2|的最大值为5＋1.5．“α≠β”是“cos α≠cos β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为α＝β⇒cos α＝cos β，所以cos α≠cos β⇒α≠β (逆否命题)必要性成立，α＝－β⇒cos α＝cos β，充分性不成立，故“α≠β”是“cos α≠cos β”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln|x |x的图象大致为( )答案 A解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝ln ||x x ，f ()－x ＝ln ||－x －x ＝－ln ||x x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ；当x >1时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx >0，故可排除C ；当x >0时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，显然当1<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，可排除D ，故选A.7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种 答案 B解析 第一步排语文、英语、化学、生物4科，且化学排在生物前面，有A 442＝12(种)排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A 24＝12(种)排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144(种)． 8．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，则( )A ．b ≤13B ．b ≤23C ．b ≥13D ．b ≥23答案 D解析 由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ， a ＋b ＋c ＝1，所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c ＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c ＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝⎛⎭⎫a －1－b 22＋1－b ，因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b 2时，D (X )取最大值1－b ，又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23.9．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )A.2－12 B.2＋12 C.6－12 D.3－12答案 D解析 因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到球体最低点的距离为1－32，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为12－⎝⎛⎭⎫1－32＝3－12.10．设α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，记a n ＝αn ＋βn (n ∈N *)． 下列两个命题( )①数列{a n }的任意一项都是正整数； ②数列{a n }存在某一项是5的倍数． A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误答案 A解析 因为α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，所以α＋β＝1，αβ＝－1， 因为a n ＝αn ＋βn ，所以a n ＋1＝αn ＋1＋βn ＋1＝(αn ＋βn )α＋(αn ＋βn )β－βn α－αn β＝(αn ＋βn )(α＋β)－αβ(αn －1＋βn －1)＝(αn＋βn )＋(αn －1＋βn －1)＝a n ＋a n －1，即当n ≥3时，数列{a n }中的任一项都等于其前两项之和，又a 1＝α＋β＝1，a 2＝α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝3，所以a 3＝a 2＋a 1＝4，a 4＝a 3＋a 2＝7，a 5＝a 4＋a 3＝11，以此类推，即可知数列{a n }的任意一项都是正整数，故①正确，若数列{a n }存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5.由a 1＝1，a 2＝3，依次计算知，数列{a n }中不存在个位数字为0或5的项，②错误．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x ，y 分别为人数、猪价，则x ＝________，y ＝________. 答案 10 900解析 由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋100＝100x ，y ＝90x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝900.12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案 20＋45 8解析 由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S ＝2×12×4×2＋22＋4×2＋2×25＝20＋45，体积V ＝12×4×2×2＝8.13．已知多项式(x ＋2)m (x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m ＋n x m ＋n满足a 0＝4，a 1＝16，则m ＋n＝________，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝________. 答案 5 72解析 令x ＝0，得a 0＝2m ＝4，又由二项展开式的通项公式得C m －1m ·2m －1·C n n ·1n ＋C m m ·2m ·C n －1n ·1n－1＝16，所以m ＝2，n ＝3，则m ＋n ＝5；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝32×23＝72. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若c ＝2a cos B ，S ＝12a 2－14c 2，则△ABC 的形状为________，C 的大小为________． 答案 等腰三角形 π4解析 在△ABC 中，由c ＝2a cos B 及正弦定理得sin C ＝2sin A cos B ，则sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，化简得sin(A －B )＝0，那么A ＝B ，从而有a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形；由S ＝12a 2－14c 2及余弦定理得12ab sin C ＝12a 2－14(a 2＋b 2－2ab cos C )，化简得a 2sin C ＝a 2cos C ，又a >0，所以sin C ＝cos C ，则tan C ＝1，又C 是△ABC 的内角，故C ＝π4.15．已知x >0，y >－1，且x ＋y ＝1，则x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为________．答案 2＋ 3解析 x 2＋3x ＋y 2y ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x ＋⎝⎛⎭⎫y －1＋1y ＋1， 结合x ＋y ＝1可知原式＝3x ＋1y ＋1，且3x ＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＋1×x ＋()y ＋12 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋3()y ＋1x ＋x y ＋1 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋23()y ＋1x ×x y ＋1＝2＋3， 当且仅当x ＝3－3，y ＝－2＋3时等号成立． 即x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为2＋ 3.16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x2＝m ＋1＋1，12×n ×6＝12×2×y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则|MN →|的最小值为________．答案77解析 连接AM ，AN (图略)，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－12，因为AM 是△AEF 的中线，所以AM →＝12(AE →＋AF →)＝12(λAB →＋μAC →)，同理可得AN →＝12()AB →＋AC →，由此可得MN →＝AN →－AM →＝12(1－λ)AB →＋12()1－μAC →，两边平方并化简得MN →2＝14(1－λ)2－14(1－λ)(1－μ)＋14(1－μ)2，由于λ＋4μ＝1，可得1－λ＝4μ，代入上式并化简得MN →2＝214μ2－32μ＋14＝214⎝⎛⎭⎫μ－172＋17，由于λ，μ∈()0，1，所以当μ＝17时，MN →2取得最小值17，所以|MN →|的最小值为77.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，0<ω<4，|φ|<π2过点⎝⎛⎭⎫0，12，且当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值1.(1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )，求函数g (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，函数h (x )＝f (x )＋g (x )＋2cos 2x －1，求h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． 解 (1)由题意得A ＝1，由函数过⎝⎛⎭⎫0，12得sin φ＝12，∵|φ|<π2， ∴φ＝π6.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，∴π6ω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<4， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， －1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2，所以h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[－1,2]． 19．(15分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是梯形，BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB ＝132，P A ＝PC ＝ 3.(1)证明：AC ⊥BP ；(2)求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值． (1)证明 取AC 的中点F ，连接PF ，BF ， 由P A ＝PC 得PF ⊥AC ，由AB ＝BC ，得BF ⊥AC ， 又PF ∩BF ＝F ，∴AC ⊥平面PBF ， 又BP ⊂平面PBF ，∴AC ⊥BP .(2)解 延长BF 交AD 于点E ，过点P 作PO 垂直于平面ABCD 于点O ，由(1)易知点O 在BE 上，在△PBF 中，PB ＝132，BF ＝12，PF ＝32， 由余弦定理得cos ∠PFB ＝PF 2＋BF 2－PB 22PF ·BF ＝－12，即∠PFB ＝120°，则∠PFO ＝60°， ∴PO ＝PF ·sin 60°＝334， 由V P －ACD ＝V D －APC 得13·PO ·S △ACD ＝13·h ·S △APC ，其中h 为点D 到平面APC 的距离，解得h ＝32，设直线AD 与平面APC 所成角为θ， 则sin θ＝h AD ＝34.20．(15分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.(1)解 由a n ＝S n ＋S n －1，得S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1(n ≥2)， 所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，以1为公差的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，所以a n ＝2n －1. (2)证明 当n ≥2时，1na n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 所以1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n<1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n <32.故当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.21.(15分)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)恰有一个公共点P ，l 与圆x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点．(1)求k 与m 的关系式；(2)点Q 与点P 关于坐标原点O 对称．若当k ＝－12时，△QAB 的面积取到最大值a 2，求椭圆的离心率．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2(m 2－b 2)＝0，则Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(m 2－b 2)＝0， 化简整理，得m 2＝a 2k 2＋b 2.(2)因为点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故△QAB 的面积是△OAB 的面积的两倍． 所以当k ＝－12时，△OAB 的面积取到最大值a 22，此时OA ⊥OB ，从而原点O 到直线l 的距离d ＝a2， 又d ＝|m |k 2＋1，故m 2k 2＋1＝a 22.再由(1)，得a 2k 2＋b 2k 2＋1＝a 22，则k 2＝1－2b 2a 2.又k ＝－12，故k 2＝1－2b 2a 2＝14，即b 2a 2＝38，从而e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝58，即e ＝104.22．(15分)已知f (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2，g (x )＝k (x ＋1)，k ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)当k ＝2时，求证：对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立；(3)若存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，试求k 的取值范围． (1)解 函数f (x )的定义域为(－2，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2(x ＋1)＝－2()x 2＋3x ＋1x ＋2(x >－2)，当f ′(x )>0时，x 2＋3x ＋1<0. 解得－2<x <－3＋52；当f ′(x )<0时，解得x >－3＋52.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3＋52，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋52，＋∞.(2)证明 设h (x )＝f (x )－g (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2－k (x ＋1)(x >－1)， 当k ＝2时，h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－2＝－2(x ＋3)(x ＋1)x ＋2，∴当x >－1时，h ′(x )<0恒成立，h (x )单调递减． 又h (－1)＝0，∴当x ∈(－1，＋∞)时，h (x )<h (－1)＝0恒成立， 即f (x )－g (x )<0.∴对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立．(3)解 因为h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－k＝－2x 2＋(k ＋6)x ＋2k ＋2x ＋2.方法一 由(2)知，当k ＝2时，f (x )<g (x )恒成立， 即对于任意x >－1,2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)， 不存在满足条件的x 0；当k >2时，对于任意x >－1，x ＋1>0， 此时2(x ＋1)<k (x ＋1)．∴2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)<k (x ＋1)， 即f (x )<g (x )恒成立，不存在满足条件的x 0； 当k <2时，令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)， 可知t (x )与h ′(x )符号相同，当x ∈(x 0，＋∞)时，t (x )<0，h ′(x )<0， h (x )单调递减．∴当x ∈(－1，x 0)时，h (x )>h (－1)＝0， 即f (x )－g (x )>0恒成立．综上，k 的取值范围为(－∞，2)．方法二 存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，即h (x )>0恒成立，即h (x )>h (－1)恒成立，即当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )>0恒成立． 令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)． 则t (－1)>0，即可解得k <2，∴k 的取值范围是(－∞，2)．浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |－1<x <3}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,3} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 答案 A解 ∵集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |－1<x <3}， ∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合A ∩B ＝{1,2}．2．已知双曲线x 2m －y 23＝1()m >0的右顶点和抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 双曲线x 2m －y 23＝1(m >0)的右顶点为(m ，0)，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以m ＝4.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，则函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．12 B.325 C ．3 D ．15答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时， 直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最大， 此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)， 代入目标函数z ＝2x ＋y ，得z ＝2×5＋2＝12. 即目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为12.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A ．1 B.22 C.52 D.62答案 C解析 几何体为一个四棱锥P －ABCD ，其中P A ＝3，PB ＝6，PC ＝5，PD ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1， 所以S △P AB ＝S △P AD ＝22，S △PDC ＝12，S △PBC ＝52，因此面积最大的侧面面积为52.5．“x <2”是“2x <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由2x <1得x <0，因为“x <2”是“x <0”的必要不充分条件，所以“x <2”是“2x <1”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＋2sin x 的图象大致为( )答案 C解析 由1－x1＋x >0，得f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＋2sin(－x )＝－ln 1－x1＋x －2sin x ＝－f (x )，∴f (x )为定义在(－1,1)上的奇函数，可排除A 和B ，又f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＋2sin x ，x ∈(－1,1)， 当x →1时，f (x )→－∞，可排除D.7．已知0<a <12，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小 ，D (ξ)减小答案 B解析 由题意得，E (ξ)＝－a ＋12，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－a ＋12＋12×a ＋⎝⎛⎭⎫－a ＋122×⎝⎛⎭⎫12－a ＋⎝⎛⎭⎫－a ＋12－12×12＝－a 2＋2a ＋14，又∵0<a <12， ∴故当a 增大时，E (ξ)减小，D (ξ)增大．8.如图，已知三棱锥D －ABC ，记二面角C －AB －D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，直线DA 与BC 所成的角是θ2，则( )A ．θ≥θ1B ．θ≤θ1C ．θ≥θ2D ．θ≤θ2答案 A解析 若θ>π2，则θ>θ1，θ>θ2；若θ≤π2，如图所示，设D 在平面ABC 的投影为M ，过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，连接DN ，AM ，∴sin θ＝DM DN ，sin θ1＝DMDA ，∵DA ≥DN ，∴sin θ1≤sin θ，∴θ1≤θ，而θ与θ2的大小关系是不确定的，故选A.9．已知|AB →|＝1，|BC →|＋|CA →|＝2，则CA →与CB →夹角的余弦值的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，1 答案 C解析 易知BC →＋CA →＝BA →，所以BC →2＋CA →2＋2BC →·CA →＝1.设向量CA →与CB →的夹角为θ，|BC →|＝x ，则|CA →|＝2－x ，所以cos θ＝－2x 2－4x ＋32x 2－4x ＝－1－32(x －1)2－2，因为|BA →|＝|BC →＋CA →|≥||BC →|－|CA →||，所以|2x －2|≤1，所以12≤x ≤32，所以12≤cos θ≤1.故选C.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ax ，x ≤0，若方程f (－x )＝－f (x )有五个不同的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1e C ．(－∞，0) D ．(0,1)答案 B解析 设g (x )＝－f (－x )，则y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称，方程f (－x )＝－f (x )有五个不同的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有5个交点， 由图象可知(图略)，只需y ＝ax 与曲线y ＝ln x 在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y ＝ln x 切于点P (x 0，y 0)， 由f ′(x )＝1x，则y ＝ln x 的切线为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，又此直线过点(0,0)， 所以ln x 0＝1， 所以x 0＝e ， 即f ′(e)＝1e，即过原点的与y ＝ln x 相切的直线方程为y ＝1e x ，即所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e .二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．复数z 满足z ·(1－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________. 答案522 72＋12i 解析 由z ·(1－i)＝3－4i ，得z ＝3－4i 1－i ＝(3－4i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝72－12i ，故|z |＝494＋14＝522，z ＝72＋12i. 12．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________．动直线l: mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________． 答案 0或2 27解析 由两直线垂直的充要条件得m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝2；圆的半径为3，当圆心(1,0)到直线的距离最长即d ＝(1－0)2＋[0－(－1)]2＝2时弦长最短，此时弦长为232－(2)2＝27.13．(1－2x )5展开式中x 3的系数为________；所有项的系数和为________． 答案 －80 －1解析 因为T k ＋1＝C k 5(－2)k x k ，令k ＝3，T 4＝－80x 3，所以x 3的系数为－80，设(1－2x )5 ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 5x 5， 令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1 ， 所以所有项的系数和为－1.14．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则c ＝________；三角形外接圆的半径为________． 答案 2 2解析 S ＝3＝12×2c sin 120°，解得c ＝2.∴a 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 解得a ＝23， ∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，解得R ＝2.15．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两焦点为F 1，F 2，△ABC 为椭圆的内接三角形，已知A ⎝⎛⎭⎫23，263，且满足F 2A →＋F 2B →＋F 2C →＝0，则直线BC 的方程为_______________． 答案 146x －32y －276＝0解析 由F 2A →＋F 2B →＋F 2C →＝0知点F 2为△ABC 的重心， 设D (x 0，y 0)为BC 的中点， 则AF 2→＝2F 2D →，所以⎩⎨⎧1－23＝2(x 0－1)，0－263＝2y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝76，y 0＝－63，即D ⎝⎛⎭⎫76，－63.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1， ①x 224＋y223＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－34，因为y 1＋y 2＝2y 0＝－263，x 1＋x 2＝2x 0＝73，所以直线BC 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝7616，所以直线BC 的方程为y ＋63＝7616⎝⎛⎭⎫x －76， 即146x －32y －276＝0.16．已知函数f (x )＝x ＋bx ＋c 有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0,2)，则b 2＋2bc ＋4b 的取值范围是__________________． 答案 (0,1)解析 函数f (x )＝x ＋bx ＋c 有两个不同的零点x 1，x 2∈(0,2)，等价于函数g (x )＝x 2＋cx ＋b (x ≠0)有两个不同的零点x 1，x 2∈(0,2)，则g (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，所以x 1x 2＝b ，x 1＋x 2＝－c ，则b 2＋2bc ＋4b ＝b (b ＋2c ＋4)＝x 1x 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝x 1x 2(2－x 1)(2－x 2)＝x 1(2－x 1)·x 2(2－x 2)≤⎝⎛⎭⎫x 1＋2－x 122·⎝⎛⎭⎫x 2＋2－x 222＝1，“＝”成立的条件是x 1＝x 2＝1.因为x 1≠x 2，所以“＝”取不到．又因为x 1，x 2∈(0,2)，所以2－x 1∈(0,2)，2－x 2∈(0,2)，所以x 1x 2(2－x 1)(2－x 2)>0，所以b 2＋2bc ＋4b 的取值范围是(0,1)．17．在平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝CD ＝2，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，点P 为AD 的中点，M ，N 分别在线段BD ，BC 上，则PM ＋22MN 的最小值为________． 答案 1解析 由题意得BD ＝AD 2＋AB 2＝3，cos ∠ADB ＝63. 设DM ＝t (0<t ≤3)，则在△PDM 中，由余弦定理得 PM ＝PD 2＋DM 2－2PD ·DM cos ∠ADB ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16. 当MN ⊥BC 时，MN 取得最小值为BM ·CD BD ＝32－6t3，则PM ＋22MN ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16－33t ＋1， 设y ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16－33t ＋1， 则23t 2－233yt ＋12－(y －1)2＝0， 将其看作是关于t 的一元二次方程，则Δ＝43y 2－83⎣⎡⎦⎤12－(y －1)2≥0， 解得y ≥1或y ≤13.过点P 作PM ′⊥BD ，故易得 PM ≥PM ′＝PD ·AB BD ＝66>13，所以y >13，则y ≤13舍去，即y ≥1，当y ＝1时，t ＝32， 所以PM ＋22MN 的最小值为1. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x ＋2cos 2x －1 . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥m 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＋2cos 2x －1 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4 ，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 ， 2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，34π， 所以当2x ＋π4＝－π4 ，即x ＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 有最小值－22 ，所以f (x )有最小值－1， 因为当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥m 恒成立，所以m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．19.(15分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面ADB 1；(2)若AB ＝AA 1＝2，求直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值． 解 (1)连接A 1B (图略)，记AB 1∩A 1B ＝E ，连接DE ， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知侧面ABB 1A 1为矩形，所以E 是A 1B 的中点，又D 为BC 的中点，所以A 1C ∥DE ， 又A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1， 所以A 1C ∥平面ADB 1.(2)方法一 因为AB ＝AC ＝AA 1＝2，△ABC 为等腰直角三角形， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝2，所BD ＝BC2＝1.在Rt △B 1BD 中，tan ∠BDB 1＝BB 1BD＝2，连接BC 1，在Rt △B 1BC 1中，tan ∠B 1BC 1＝B 1C 1BB 1＝2，所以∠BDB 1＝∠B 1BC 1.又∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，所以∠BB 1D ＋∠B 1BC 1＝π2，所以BC 1⊥B 1D .因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以B 1B ⊥AD . 又B 1B ∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1，又BC 1⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥BC 1. 因为AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面AB 1D .取CC 1的中点F ，连接DF ，A 1F ，则DF ∥BC 1，DF ⊥平面ADB 1，则∠A 1DF 为直线A 1D 与平面ADB 1所成角的余角，设直线A 1D 与平面ADB 1所成的角为θ，则θ＝π2－∠A 1DF .在△A 1DF 中，易知A 1D ＝AA 21＋AD 2＝3，A 1F ＝A 1C 21＋C 1F 2＝102， DF ＝DC 2＋CF 2＝62， 所以cos ∠A 1DF ＝A 1D 2＋DF 2－A 1F 22A 1D ×DF ＝23，故sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠A 1DF ＝cos ∠A 1DF ＝23， 所以直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值为23. 方法二 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，所以可以DA ，DC 所在直线，过点D 且平行于B 1B 的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝AC ＝AA 1＝2，△ABC 为等腰直角三角形，所以A (1,0,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，2)，B 1(0，－1，2)，故A 1D →＝(－1,0，－2)，AD →＝(－1,0,0)，B 1D →＝(0,1，－2)，设平面ADB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·B 1D →＝0，即⎩⎨⎧－x ＝0，y －2z ＝0， 令z ＝1，得y ＝2，则n ＝(0，2，1)为平面ADB 1的一个法向量，设直线A 1D 与平面ADB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·A 1D →|n |·|A 1D →|＝23， 故直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值为23. 20．(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列； (2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .(1)证明 2S n ＝－a n ＋n ，当n ≥2时，2S n －1＝－a n －1＋n －1，两式相减，得2a n ＝－a n ＋a n －1＋1，即a n ＝13a n －1＋13. ∴a n －12＝13⎝⎛⎭⎫a n －1－12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列． (2)解 由2S 1＝－a 1＋1，得a 1＝13.由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以－16为首项，13为公比的等比数列． 所以a n －12＝－16⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n ， ∴a n ＝－12⎝⎛⎭⎫13n ＋12(n ∈N *)， ∴a n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n －12，∴T n ＝－16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－n 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1－n 2(n ∈N *)． 21．(15分)已知抛物线E ：y 2＝8x ，直线l ：y ＝kx －4.(1)若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；(2)设Q (4,0)，直线l 与抛物线E 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若存在点C ，满足AC ⊥QC ，且线段OC 与AB 互相平分(O 为原点)，求x 2的取值范围．解 (1)方法一 当k ＝0时，直线与抛物线不相切，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝8x 得k 2x 2－8(k ＋1)x ＋16＝0， 由k 2≠0及Δ＝64(k ＋1)2－64k 2＝0，得k ＝－12， 所以，所求的直线l 的方程为x ＋2y ＋8＝0.方法二 直线l 恒过点(0，－4)，由y 2＝8x ，得y ＝±8x ，设切点为(x 0，y 0)，由题意得，直线与抛物线在x 轴下方的图象相切，则y ＝－8x ，所以y ′|0x x ＝＝－2x 0 ， 所以切线方程为y ＋8x 0＝－2x 0(x －x 0)， 将坐标(0，－4)代入得x 0＝8，即切点为(8，－8)，再将该点代入y ＝kx －4得，k ＝－12， 所以所求的直线l 的方程为x ＋2y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝8x 得k 2x 2－8(k ＋1)x ＋16＝0，且k ≠0， 因为Δ＝64(k ＋1)2－64k 2>0，且k ≠0， 所以k >－12，且k ≠0， 所以x 1＋x 2＝8(k ＋1)k 2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－8＝8k， 因为线段OC 与AB 互相平分，所以四边形OACB 为平行四边形．所以OC →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2，8k ，即C ⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2，8k .因为AC ⊥QC,方法一 所以k AC ·k QC ＝－1，又k QC ＝8k 8(k ＋1)k 2－4＝2k 2(k ＋1)－k 2， 又k AC ＝k OB ＝y 2x 2＝k －4x 2， 所以2k 2(k ＋1)－k 2·⎝⎛⎭⎫k －4x 2＝－1， 所以8x 2＝k ＋2k＋2， 所以若k >0，则8x 2≥22＋2＝2(2＋1)， 当且仅当k ＝2时取等号，此时0<x 2≤4(2－1)，若－12<k <0，由于k ＝－12时，k ＋2k ＋2＝－52， 所以8x 2<－52，即x 2<－165(舍去)， 综上所述，x 2的取值范围是(0,4(2－1)]．方法二 所以QC →·AC →＝0，又QC →＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2－4，8k ， AC →＝OB →＝(x 2，y 2)＝(x 2，kx 2－4)，所以QC →·AC →＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2－4x 2＋8k (kx 2－4)＝0， 即8x 2＝k ＋2k＋2， 所以若k >0，则8x 2≥22＋2＝2(2＋1)， 当且仅当k ＝2时取等号，此时0<x 2≤4(2－1)，若－12<k <0，由于k ＝－12时，k ＋2k ＋2＝－52， 所以8x 2<－52，即x 2<－165(舍去)． 综上所述，x 2的取值范围是(0,4(2－1)]．22．(15分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14. (1)解 由f (x )＝e x (a e x －a －x )≥0对于x ∈R 恒成立，设函数g (x )＝a e x －a －x ，可得g (x )＝a e x －a －x ≥0对于x ∈R 恒成立，∵g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)，从而x ＝0是g (x )的一个极小值点，∵g ′(x )＝a e x －1，∴g ′(0)＝a －1＝0，即a ＝1.当a ＝1时，g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，∵x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥0，∴a ＝1.(2)证明 当a ＝1时，f (x )＝e 2x －e x －x e x ，f ′(x )＝e x (2e x －x －2)．令h (x )＝2e x －x －2，则h ′(x )＝2e x －1，∴当x ∈(－∞，－ln 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数，且h (0)＝0，∵h (－1)<0，h (－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x ＝x 0满足h (x 0)＝0，∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数，∴当x ∈(－∞，x 0)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数，当x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数，当x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数，当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0，综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0， 且x 0∈(－2，－1)．∵h (x 0)＝0，∴20e x －x 0－2＝0， ∴f (x 0)＝002ee x x －－x 00e x ＝⎝⎛⎭⎫x 0＋222－⎝⎛⎭⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)， ∵当x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14， ∴f (x 0)<14； ∵ln 12e∈(－2，－1)， ∴f (x 0)≥f ⎝⎛⎭⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2；综上知ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.。
2020版浙江省学业水平考试数学仿真模拟试题(四)有答案
仿真模拟(四)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．设集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |－1<x ≤3}，则M ∩N 等于( )A ．(－2,3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C解析 ∵M ＝{x |x >2或x <－2}，∴M ∩N ＝{x |2<x ≤3}．2．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－∞，－3)∪(－3,0]B ．(－∞，－3)∪(－3,1]C ．(－3,0]D ．(－3,1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，即x ∈(－3,0]． 3．在等差数列{a n }中，若S n ＝3n 2＋2n ，则公差d 等于( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 D解析 公差为d 的等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝3n 2＋2n ，所以d ＝6.故选D.4．不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,3]C ．[3，＋∞)D ．[－1,2] 答案 B解析 不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，1－2x ≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≤5， 解得－2≤x <－1或－1≤x ≤2或2<x ≤3，所以不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为[－2,3]，故选B.5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c 等于( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， 因为B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，所以1sin A ＝32sin A cos A. 所以cos A ＝32. 又0<A <π，所以A ＝π6，所以B ＝2A ＝π3. 所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形， 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2.6．已知命题p ：x ＞1，q ：1x＜1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1，即0＜1x ＜1，即1x ＜1，即p 是q 的充分条件；而1x＜1，即x ＞1或x ＜0，即p 不是q 的必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．7．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则S 10等于( ) A ．4 B.92C ．5D ．6 答案 C解析 a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝12，所以这是一个周期为3的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝32，a 10＝12，所以S 10＝3×32＋12＝5. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π B.π2 C.π3 D.π6答案 D解析 由三视图知，该几何体为一圆锥被轴截面所截得的圆锥的一半，底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＝π6. 9．若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝|a －c |＝|b －c |，则|c |的最大值为( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1答案 B解析 作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，设向量a ，b 的夹角为α，由题意可得OA ＝OB ，BA ＝CA ＝CB ，可得△CAO ≌△CBO ，即有OC 垂直平分AB .设AB ＝t ，t ＝2sin α2， 等边△ABC 的高CH ＝32t ＝3sin α2， OH ＝cos α2， 则|c |＝CH ＋OH ＝3sin α2＋cos α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6， 当α2＋π6＝π2， 即当α＝2π3时，|c |取得最大值2. 10.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1的体积为94，底面边长为 3.若点P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1为P A 与平面A 1B 1C 1所成的角，因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1的大小等于P A 与平面ABC 所成的角的大小，所以111A B C S V ＝34×(3)2＝334，所以111ABC A B C V －＝AA 1×111A B C S V ＝334AA 1＝94，解得AA 1＝ 3.又点P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，所以A 1P ＝23A 1D ＝23×3×sin 60°＝1.在Rt △AA 1P 中，tan ∠AP A 1＝AA 1A 1P ＝3，所以∠AP A 1＝π3，故选C.11．若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( )A ．|a ＋b |≥4B ．|a |≥4C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b <－4答案 D解析 由b <－4⇒|b |>4⇒|a |＋|b |>4知，充分性成立．由|a |＋|b |>4D /⇒b <－4知，必要性不成立．12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤7，x －y ≤－2，x －1≥0，则目标函数z ＝y x 的最大值为()A.95 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 不等式组对应的平面区域如图(阴影部分，含边界)所示，z 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，则由图象可知，OA 的斜率最大，OB 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，即A (1,6)， 此时OA 的斜率k ＝6，故选C.13．若4x ＋4y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1] 答案 D解析 由于4x ＋4y ≥24x ×4y ＝2x＋y ＋1， 所以2x ＋y ＋1≤1＝20，得x ＋y ＋1≤0，即x ＋y ≤－1.故选D.14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (－3)>f (2)C ．f (－1)>f (3)D ．f (－2)<f (－3)答案 C解析 因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (6)<f (|－3|)<f (|－2|)<f (|－1|)<f (0)，则f (－1)>f (3)，故选C.15．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案 A解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ， 即2x ±y ＝0.16．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )①AC ∥平面BEF ；②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，在图中记AC 与BD 交点(中点)为O ，取BE 的中点为M ，连接MO ，MF ，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，又∵FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF，故①正确；假设②中B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以②正确；③在梯形ADEF中，易得FD⊥EF，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，即CD⊥EF，又CD⊥AD，AD，EF为平面ADEF内的相交直线，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以③正确；④延长AF至G使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG 于N，又平面BCE∩平面ABF＝BG，FN⊂平面ABF，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误．故选B.17．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0答案A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a， 双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a， 所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32， 所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ， 所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12 x ， 即x ±2y ＝0.故选A.18．已知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0，b ，c ∈R )在(0,2)内有两个实根，若⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C.94 D.1625答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x －p )(x －q )，∵⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，∴f (0)＝c ≥1，f (2.5)≥1， ∴apq ≥1，a (2.5－p )(2.5－q )≥1，∴a 2pq (2.5－p )(2.5－q )≥1，即a 2≥1pq (2.5－p )(2.5－q )， 又p ·(2.5－p )·q ·(2.5－q )≤625256， 当且仅当p ＝q ＝1.25时，等号成立．∴a 2≥256625，即a ≥1625，a 的最小值为1625. 二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是________；最大值是________．答案 π 1解析 f (x )＝－cos 2x ，T ＝π，f (x )max ＝1.20．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________. 答案 1534解析 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×⎝⎛⎭⎫－12， 则AC 2＋5AC －24＝0，解得AC ＝3.故△ABC 的面积S ＝12×5×3×sin 120°＝1534. 21．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则T n ＝________.答案 23(4n －1) 解析 由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n －1， 当n ＝1时，也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 22．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1515，33 解析 因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，则由图易得|AB |＝22－1＝3，|AC |＝42－1＝15，tan ∠BAx ＝13＝33，tan ∠CAx ＝115＝1515， 则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1515，33. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的值域．解 f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32 ＝sin x cos x ＋32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ⎝⎛⎭⎫注：或者写成单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) (3)x ∈R ，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f (x )∈[－1,1]． 24．(10分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433. (1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值．解 (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2， 可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1. 设点M 在第一象限，因为MF 2⊥x 轴，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c ， 由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由Δ>0，可得3k 2－2>0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2， 所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2. 因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2| ＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2， 令3k 2－2＝t ，由3k 2－2>0知t ∈(0，＋∞)，所以S ＝26t t ＋4＝26t t 2＋8t ＋16＝26t ＋16t＋8≤62，当且仅当t ＝16t，即t ＝4时等号成立． 所以当t ＝4时，△ABO 的面积取得最大值62. 25．(11分)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．(1)若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋bx －a 必有局部对称点；(2)若函数f (x )＝2x ＋c 在区间[－1,2]上有局部对称点，求实数c 的取值范围．(1)证明 由f (x )＝ax 2＋bx －a ，得f (－x )＝ax 2－bx －a ，代入f (x )＋f (－x )＝0，得(ax 2＋bx －a )＋(ax 2－bx －a )＝0，得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)，其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，所以Δ＞0恒成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx －a (a ，b ∈R ，a ≠0)必有局部对称点．(2)解 方程2x ＋2－x ＋2c ＝0在区间[－1,2]上有解， 于是－2c ＝2x ＋2－x .设t ＝2x (－1≤x ≤2)，则12≤t ≤4，－2c ＝t ＋1t ，其中2≤t ＋1t ≤174， 所以－178≤c ≤－1.即c ∈⎣⎡⎦⎤－178，－1.。
2020年浙江省高考数学模拟试卷(4月份)
2020 年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（ 4 月份）一．选择题（共10 小题）1．已知 R 为实数集，会合A＝ { x|y＝ 1g（ x+3） } ， B＝ { x|x≥ 2} ，则 ?R（ A∪B）＝（）A ．{ x|x＞﹣ 3}B ．{ x|x＜﹣ 3}C． { x|x≤﹣ 3}D． { x|2≤ x＜ 3} 2．复数 z＝上的虚部为（）A．B．C．D．3．已知实数x， y 知足线性拘束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A ．﹣ 1B．1C．﹣ 5D．54．已知公比为q 的等比数列 { a n} 的首项 a1＞0，则“ q＞ 1”是“ a5＞ a3”的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件5．一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A ．6B．C．7D．6．已知函数f（ x）＝ sinωx﹣，x∈R）的图象与x 轴交点的横坐标组成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x 轴向左平移个单位，横坐标伸长到本来的 2 倍获得函数g（ x）的图象，则以下对于函数g（ x）的命题中正确的选项是（）A ．函数 g（x）是奇函数B ． g（ x）的图象对于直线对称C． g（ x）在上是增函数D ．当时，函数g（ x）的值域是 [0，2]7．如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时考证勾股定理的表示图，此刻供给 5 种颜色给此中 5 个小地区涂色，规定每个地区只涂一种颜色，相邻地区颜色不一样，则A、C 地区涂色不同样的概率为（）A ．B ．C．D．8．以下函数图象中，函数α |x|）f（ x）＝ x e （α∈Z ）的图象不行能的是（A．B．C．D．9．设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1的棱 AD 的中点，点 P 在面 BCC 1B1所在的平面内，若平面 D1PM 分别与平面 ABCD 和平面 BCC1B1所成的锐二面角相等，则点 P 到点 C1的最短距离是（）A ．B ．C． 1 D．10．函数 f（ x）＝ 4lnx ﹣ax+3 在两个不一样的零点x1，x2，函数 g（ x）＝x2﹣ ax+2 存在两个不一样的零点 x3， x4，且知足x3＜x1＜ x2＜ x4，则实数 a 的取值范围是（）A ．（0，3）B．（2 ，3）C．（2 ， 4e ）D．（ 3， 4e ）二．填空题（共7 小题）11．已知直线l 1：ax+2y﹣ 3＝ 0 和直线 l 2：（ 1﹣a）x+y+1 ＝ 0．若 l 1⊥ l2，则实数 a 的值为﹣1 或 2；若l1∥ l2，则实数 a 的值为．12．随机变量X 的取值为 0、 1、 2，P（ X＝0）＝， DX＝，则 P（X＝ 1）＝；2若 Y＝2X，则 DY＝ 1.6 ．13．已知（a≠ 0），若睁开式中各项的系数和为81，则 a＝，展开式中常数项为10．14．已知椭圆M：+＝1（a＞b＞0），双曲线N：﹣＝1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点，则椭圆M 的离心率为；双曲线 N 的离心率为2．15．已知单位向量两两的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠），若空间向量知足，则有序实数组（x，y，z）称为向量在“仿射”坐标系O﹣xyz（ O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作有以下命题：①已知，则?＝0；②已知此中xyz≠ 0，则当且仅当x＝ y 时，向量，的夹角获得最小值；③已知；④已知，则三棱锥O﹣ABC 的表面积S＝，此中真命题有②③（写出全部真命题的序号）16．已知、、是平面内三个单位向量，若，则的最小值是．17．设 a∈R，若不等式恒建立，则实数a的取值范围是[4 ﹣6，4+6]．三．解答题（共 5 小题）18．在△ ABC 中，内角A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知 asinB＝ bsin（ A﹣）．3精选 文档（ 1）求 A ；（ 2）D 是线段 BC 上的点，若 AD ＝BD ＝ 2， CD ＝ 3，求△ ADC 的面积．19．如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝ 4，AD ＝ 2，点 E 是 DC 的中点，将△ ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE ⊥平面 ABCE ，连接 DB 、 DC 、EB ．（ 1）求证：平面 ADE ⊥平面 BDE ；（ 2）求 AD 与平面 BDC 所成角的正弦值．20．已知正项数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a n 2+2a n ＝ 4S n ﹣1（ n ∈N *）．（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）若 b n ＝，数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的取值范围．21.已知直线 x ＝﹣ 2 上有一动点 Q ，过点 Q 作直线 l ，垂直于 y 轴，动点 P 在 l 1 上，且知足（ O 为坐标原点） ，记点 P 的轨迹为 C ．（ 1）求曲线 C 的方程；（ 2）已知定点 M （ ， 0）， N （ ， 0），点 A 为曲线 C上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一点 B ，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D ，求△ MBD 的内切圆半径 r 的取值范围．22．已知函数 f （ x ）＝ xlnx ．（ 1）求 f （ x ）的单一区间与极值；（ 2）若不等式对随意 x ∈[1，3] 恒建立， 求正实数 λ的取值范围．4。
【精品高考数学】2020年4月普通高考数学(浙江卷)全真模拟卷(4)+答案
2020年4月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U R =，集合{}{}|3,|05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B ⋂=（ ） A.{}|03x x ≤≤ B.{}|03x x << C.{}|03x x <≤ D.{}|03x x ≤<2．双曲线x 24−y 2=1的离心率为（ ）A ．√5B ．√3C ．√52D ．√323．以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（ ）A ．{x ≥1x −y ≥0x +2y −6≥0B ．{x ≥1x −y ≥0x +2y −6≤0C ．{x ≥1x −y ≤0x +2y −6≥0D ．{x ≥1x −y ≤0x +2y −6≤04．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．83B ．8C ．203D ．65．已知p ：不等式(ax −1)(x −1)>0的解集为(1a ,1)，q ：a <12，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数2sin 2()12xf x x x=++的部分图象大致可为（ ） A ． B ．C ． D ．7．已知随机变量ξ(i =1,2)的分布列如表所示：若0<p 1<12<p 2<23，则（ ） A ．E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B ．E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C ．E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)D ．E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)8．如图所示，在底面为正三角形的棱台111ABC A B C -中，记锐二面角1A AB C --的大小为α，锐二面角1B BC A --的大小为β，锐二面角1C AC B --的大小为γ，若αβγ>>，则( )A ．111AA BB CC >> B ．111AA CC BB >> C ．111CC BB AA >>D ．111CC AA BB >>9．已知三个二次函数为()()(1)(2)11,2,3,0i i i f x a x x i a =+--=≠，若它们对应的零点记作(1,2,3)i x i =，则当1230a a a >>>且0(1,2,3)i x i >=时，必有（ ） A ．123x x x << B ．123x x x >> C ．123x x x ==D ．123,,x x x 的大小不确定10．已知数列{}n a 满足101a <<，()142n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是（ ） A ．(]1,3- B ．[]0,3C ．()3,8D ．()8,+∞非选择题部分（共110分）二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，可求得该女子第1天所织布的尺数为__________．12．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ς，则ς=1的概率是_______；随机变量ς期望是_______.13．若()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）.14．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b AC c+=，则C =______；又ABC S ∆=6a b +=，则c =______.15．已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b -=>的右焦点(),0F c 关于直线b y x a =的对称点在直线2a x c=-上，则该双曲线的离心率为______.16．已知不等式230ln x k kx k-+>-对任意正整数k 均成立，则实数x 的取值范围___17．已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +r ，则a 3−r =_______，数列{n(n +4)(23)n }的最大项是第k 项，则k =_______.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，其面积S 满足4S = a 2+c 2−b 2． （Ⅰ）求角B ；（Ⅰ）设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AD =3，BD =√6，求cosC ．19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．20．已知等差数列{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设23,41,n n nn a b n n a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：12313...6n c c c c +++⋅⋅+<. 21．对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，有如下性质：若点P (x 0,y 0)是椭圆外一点，PA ，PB是椭圆的两条切线，则切点A,B 所在直线的方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1，利用此结论解答下列问题：已知椭圆C:x 22+y 2=1和点P (2,t ) (t ∈R )，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A,B ，记点A,B 到直线PO （O是坐标原点）的距离是d 1，d 2.（Ⅰ）当t =0时，求线段AB 的长； （Ⅰ）求|AB |d1+d 2的最大值.22．设函数()()20axf x e x a -=+≠.（1）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）当a >(],0x ∈-∞，均有()()212a f x x >+，求a 的取值范围.2020年4月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
(浙江专用)2020高考数学仿真模拟卷
浙江专用高考数学仿真模拟试卷(时间：120分钟；满分：150分)选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．{－1} B ．{0} C ．{－1，0}D ．{0，1}2．若复数1＋a i2－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－23．设a ∈R ，则“a ＞0”是“a ＋2a≥22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)5．函数y ＝|x |axx(a >1)的图象大致形状是( )6．已知变量x ，y 满足约束条件{x －2y ≥－2，x －y ≤0，x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．[－7，7]C ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)7．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.2 B．3C．4 D．58．已知平面向量a，b，c满足c＝x a＋y b(x，y∈R)，且a·c>0，b·c>0.( )A．若a·b<0则x>0，y>0 B．若a·b<0则x<0，y<0C．若a·b>0则x<0，y<0 D．若a·b>0则x>0，y>09.如图，四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A．90°B．75°C．60°D．45°10．若函数f(x)＝2x＋1－x2－2x－2，对于任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．(－∞，0]C．(－∞，3] D．(－∞，4]二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则F到l的距离为________，|FB|＝________．12.某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值为________时，该几何体的体积是________．13．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，S为△ABC的面积．已知a＝4，b＝5，C＝2A，则c＝________，S＝________．14．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________．15．安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)16．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．17．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x 2n展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．19.(本题满分15分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 是边长为2的正方形，点C 在平面AA 1B 1B 上的射影H 恰好为A 1B 的中点，且CH ＝3，设D 为CC 1的中点．(1)求证：CC 1⊥平面A 1B 1D ；(2)求DH 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．20．(本题满分15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，公差d ≠0，且S 1，S 3，S 9成等比数列，数列{b n }满足b 1S 1＋b 2S 2＋…＋b n S n ＝6－n 2＋4n ＋62n(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)记R n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1，试比较R n 与12T n 的大小．21.(本题满分15分)已知抛物线y 2＝2px ，过焦点且垂直x 轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C .(1)求抛物线方程；(2)试证线段AB 的垂直平分线经过定点，并求此定点； (3)求△ABC 面积的最大值．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax ＋2，(a ∈R )在定义域内不单调．(1)求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )存在3个不同的零点，证明：存在m ，n ∈(0，＋∞)，使得f （m ）－f （n ）m －n<22－3.答案及解析1．解析：选C.依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z }＝{－1，0}，选C.2．解析：选A.法一：由题意得1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－a ＋（1＋2a ）i 5＝2－a5＋1＋2a 5i 为纯虚数，则2－a 5＝0，且1＋2a5≠0，解得a ＝2.故选A. 法二：由题意，令1＋a i 2－i ＝t i(t ≠0)，则1＋a i ＝t ＋2t i ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝t ，a ＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝2.3．解析：选C.由a ＞0得，a ＋2a≥2a ·2a＝22，所以是充分条件； 由a ＋2a≥22可得a ＞0，所以是必要条件，故“a ＞0”是“a ＋2a≥22”的充要条件．故选C.4．解析：选C.f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.5．解析：选B.当x >0时，y ＝a x，因为a >1，所以是增函数，排除C 、D ，当x <0时，y ＝－a x，是减函数，所以排除A.故选B.6．解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2，x －y ≤0，x ≥－4所对应的可行域(图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ， 当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值， 即z max ＝－2×(－4)－1＝7，所以m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.7．解析：选C.由题意可得：16＋p ＋13＝1，解得p ＝12，因为E (X )＝2，所以0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3.D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1.D (2X －3)＝4D (X )＝4.故选C.8．解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A. 9．解析：选A.延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE ，因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，所以DE ＝BC ，DE ∥BC . 所以四边形CBED 为平行四边形． 所以CD ∥BE .所以∠PBE (或其补角)就是异面直线CD 与PB 所成的角． 在△PAE 中，AE ＝PA ，∠PAE ＝120°， 由余弦定理得PE ＝PA 2＋AE 2－2·PA ·AE ·cos ∠PAE＝AE 2＋AE 2－2·AE ·AE ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AE .在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°， 所以BE ＝2AE .因为△PAB 是等边三角形， 所以PB ＝AB ＝AE .因为PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，所以∠PBE ＝90°.故选A. 10．解析：选D.f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0＜g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，所以当a ≤－1时，满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1＜x ＜4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4＜h (1)＝5，g (2)＝8＜h (2)＝10，g (3)＝16＜h (3)＝17，所以当－1＜a ≤4时，亦满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，则F ′(x )＝2x ＋1·(ln 2)2－2＞0，所以F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x－2在[4，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )≥f ′(4)＝32ln 2－10＞0，所以函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6＞0，即当a ＞4时，不满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，4]．11．解析：依题意可知F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程解得p ＝2，所以F 到l 的距离为2，|FB |＝p 4＋p 2＝324.答案： 2 32412.解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，CD ＝y2，AB ＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，所以BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.答案：16 37 13．6157414．解析：因为a n ＋m a m＝a n ，所以a n ＋m ＝a n ·a m ，所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－215．解析：根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论；①五人分为2，2，1的三组，有C 25C 23C 11A 22＝15(种)分组方法，对应三个暑期社会实践活动，有15×A 33＝90(种)安排方案；②五人分为3，1，1的三组，有C 35C 12C 11A 22＝10(种)分组方法，对应三个暑期社会实践活动，有10×A 33＝60(种)安排方案；综上，共有90＋60＝150(种)不同的安排方案． 答案：15016．解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又因为f ′(x )＝3x 2＋a ，所以f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，所以|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋1＝5⇒a ＝－52，所以b ＝14，所以3a ＋2b ＝－7. 答案：－717．解析：因为二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x 2n展开式的二项式系数之和为32，所以2n＝32，所以n ＝5，因为T r ＋1＝C r5(x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 2r＝C r 5m r x 52－52r ，令52－52r ＝0，得r ＝1，所以常数项为C 15m ＝10，所以m ＝2.答案：218．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.19．解：(1)证明：如图，以H 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，0，3)，C 1(2，2，3)，A 1(2，0，0)，B 1(0，2，0)，所以CC 1→＝(2，2，0)，A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，3， B 1D →＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，3，所以CC 1→·A 1D →＝0，CC 1→·B 1D →＝0， 因此CC 1⊥平面A 1B 1D .(2)设平面AA 1C 1C 的法向量n ＝(1，x ，y )，由于AA 1→＝(2，2，0)，A 1C →＝(－2，0，3)， 则n ·AA 1→＝2＋2x ＝0，n ·A 1C →＝－2＋3y ＝0，得x ＝－1，y ＝63，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，63. 又HD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，3，所以sin θ＝|HD →·n ||HD →|·|n |＝22·263＝34.20．解：(1)由已知得S 23＝S 1·S 9， 即(3＋3d )2＝9＋36d ，又d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2， 由b 1×12＋b 2×22＋…＋b n ×n 2＝6－n 2＋4n ＋62n得b 1＝12，n ≥2时，b n ×n 2＝6－n 2＋4n ＋62n －6＋（n －1）2＋4（n －1）＋62n －1＝n 22n ， 所以b n ＝12n ，显然b 1＝12也满足．所以b n ＝12n (n ∈N *)．(2)T n ＝1－12n ，12T n ＝12(1－12n )，R n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12(1－12n ＋1)．当n ＝1时，21<2×1＋1＝3，R 1>12T 1；当n ＝2时，22<2×2＋1＝5，R 2>12T 2；当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…>1＋n ＋n （n －1）2≥2n ＋1；所以R n <12T n .综上，当n ≤2时，R n >12T n ；当n ≥3时R n <12T n .21．解：(1)由题意，2p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝6x .(2)设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝2，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y2－y 1x 2－x 1＝3y 0.线段AB 的垂直平分线的方程是y －y 0＝－y 03(x －2)，①由题意知x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为(5，0)． 所以线段AB 的垂直平分线经过定点C (5，0)．(3)由(2)知直线AB 的方程为y －y 0＝3y 0(x －2)，即x ＝y 03(y －y 0)＋2，②②代入y 2＝6x 得y 2＝2y 0(y －y 0)＋12，即y 2－2y 0y ＋2y 20－12＝0，③依题意，y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以Δ>0，－23<y 0<2 3.|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝23（9＋y 20）（12－y 20）.定点C (5，0)到线段AB 的距离h ＝|CM |＝9＋y 20.所以S △ABC ＝13（9＋y 20）（12－y 20）·9＋y 20 ≤1312⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋y 20＋24－2y 20＋9＋y 233＝1473.当且仅当9＋y 20＝24－2y 20，即y 0＝±5时等号成立，所以△ABC 面积的最大值为1473.22．解：(1)因为函数f (x )不单调，所以f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝0有正根，即a ＝1x ＋2x ≥21x ·2x ＝22，除去等号，所以a >2 2.(2)证明：令f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x ＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 则f (x )在(0，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增， 且x 1＋x 2＝a2，x 1·x 2＝12，x 1<22<x 2，a ＝1x 1＋2x 1＝1x 2＋2x 2，因为f (x )存在3个不同的零点，且x →0时，f (x )→－∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞， 所以f (x 1)>0，f (x 2)<0，f (x 1)＝ln x 1＋x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋2x 1x 1＋2＝ln x 1－x 21＋1，同理f (x 2)＝ln x 2－x 22＋1，令g (x )＝ln x －x 2＋1，则g ′(x )＝1x －2x <0得x >22，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递减，因为g (1)＝0，所以x 2>1，又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，当x →0时，g (x )→－∞，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12使得g ()x 0＝0，因为g (x 1)>0，所以12x 2＝x 1>x 0，所以1<x 2<12x 0，所以a ＝1x 2＋2x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1x 0＋2x 0，令h (x )＝f (x )－(22－3)x ＝ln x ＋x 2－(a ＋22－3)x ＋2， h ′(x )＝1x ＋2x －(a ＋22－3)，h ′(x )min ＝3－a <0，所以h ′(x )＝0有两个根，设为t 1，t 2且t 1<t 2，则h (x )在(t 1，t 2)上单调递减．若t 1<m <n <t 2，则h (m )>h (n )，即f (m )－f (n )>(22－3)(m －n )，即f （m ）－f （n ）m －n <22－3；若t 1<n <m <t 2同理可证，所以对于任意的m ，n ∈(t 1，t 2)，不等式f （m ）－f （n ）m －n <22－3成立；即存在m ，n ∈(0，＋∞)使得f （m ）－f （n ）m －n <22－3成立．。
【附15套精选模拟试卷】2020年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题C卷
2020年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题C 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将()2sin 22cos 21f xx x =-+的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是8x π=C ．函数()y g x =的一个零点是38π D ．函数()y g x =在区间5,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 2．根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n 个月内累计的需求量 n S （单位：万件）大约是()2 21527n nS n n =--（1,?2,? ,1?2n L =）．据此预测，本年度内，需求量超过 5?万件的月份是（ ） A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月3．若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（ ） A ． B ．C ．D ．4．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>5．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．13C ．14D ．24π-6．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A ．12B ．13C ．16D ．1127．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y += 8．关于函数，下列说法错误的是( )A ．是奇函数B ．在上单调递增C ．是的唯一零点 D ．是周期函数9．函数3()log sin f x x x π=-在区间[2,3]-上零点的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．810．已知A B C ，，三点都在表面积为100π的球O 的表面上，若4360AB ACB =∠=︒，.则球内的三棱锥O ABC -的体积的最大值为（ ）A ．83．103C ．123D ．311．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>）向左平移半个周期得()g x 的图像，若()g x 在[]0，π上的值域为31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．116⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．2332⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1736⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．5563⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12．若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件； 综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点， 在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ． 二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2， 所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体， 如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9， 故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ． 【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A， 同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1， 要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]． （2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ， 即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x． 当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
【2020年数学高考】2020年4月浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题 B(考试版).doc
名师精准押题绝密★启用前|2020年4月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题B考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设全集为实数集R ，已知集合{}{}212,3M x x N x x =-<<=≤，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{x x ≤≤B ．{}2x x ≤≤C ．{}2x x ≤<D ．{1x x -<≤2．函数1ln x y x-=的定义域为 A ．()0+∞， B ．()1+∞，C ．()()11-∞+∞，， D ．()()011+∞，，3．已知π4α+的终边上有一点(-，则sin cos αα+=A B C D ．4．已知向量a ，b满足-==a b b ，则向量a ，b 的夹角为 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．同时满足下列三个条件的函数为R 上的奇函数；③最小正周期为π． A ．tan y x = B ．cos y x =C ．tan2xy = D ．sin y x = 6．设()()()2,0,2,0x x f x f f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2f -=A ．2B ．1C ．14D ．127．已知直线:10l x a y +-=的横截距与纵截距相等，则直线l 的倾斜角为A ．45︒B ．60︒C ．135︒D ．45︒或135︒8．如图所示，表示阴影区域的二元一次不等式组是A ．20,20,220x y x y x y ì+-?ïïï-+>íïï+-?ïïîB ．20,20,220x y x y x y ì+-?ïïï-+>íïï+-?ïïî C．20,20,220x y x y x y ì+-?ïïï-+<íïï+-?ïïîD ．20,20,220x y x y x y ì+-?ïïï-+<íïï+-?ïïî9．中国古代数学著作《九章算术》中把四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．已知某鳖臑的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为A ．18πB ．25πC ．32πD ．34π10．已知三个实数,,a b c ，则实数,,a b c 的大小关系为A ．b a c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<11)())0,π大致的图象是A ．B ．C ．D ．12．已知空间中一条直线l 和三个平面,,αβγ，要得到结论α//β，必须满足下列条件中的A ．l //α，l //β，且l //γB ．l ⊄γ，且l //α，l //βC ．α//γ且β//γD ．l 与α，β所成的角相等13．在ABC △中，sin cos 4A B π⎛⎫+==⎪⎝⎭2b =，则ABC △的面积为A 1B ．2C 1D 1或2+14．已知直线20x y ++=与圆222220x y x y a ++-+=相切，则实数a 的值为A ．0B ．1-C ．2-D ．3-15．设原命题：若2a b +≤，则1a ≤且1b ≤，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．416．过点(),0M m 的直线交椭圆22184x y +=于,P Q 两点，且PQ 的中点为()2,1R ，则m =A ．1-B ．1C ．2D ．3A ．24B ．27C ．32D ．3318．如图，正四棱锥E ABCD -中，异面直线EA 与BC 所成的角为α，直线EA 与平面ABCD 所成的角为β，二面角E AD B --的平面角为γ，则A ．βαγ<<B ．γαβ<<C ．βγα<<D ．αβγ<<非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19的离心率为 ；渐近线方程为 ．20．已知{}n a 是各项为正数的等比数列，且34132a a a ⋅=，2a 与43a 的等差中项为13，设212n n n b a a +=-，*n ∈N ，则数列{}n b 的前2n 项和2n T 为 ．21．若关于x 的不等式1x k x ++<在R 上有实数解，则实数k 的取值范围是 ．22．已知函数(](]32,1,,()+1,,1x x f x x x x +⎧-∈-0⎪=⎨⎪∈0⎩，且()g x mx m =+，若()()g x f x =在(]11－,内有且仅有两个不同的根，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本题满分10分） 在ABC△中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，已知向量)(),1cos ,,A B a b =+=m n ，且m //n ．（I ）求角B 的大小；24．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，椭圆2C 的焦点与椭圆1C 的上焦点重合． （I ）求椭圆1C 及抛物线2C 的标准方程； （Ⅱ）过点()2,0A -的直线l 交椭圆1C 于,B C 两点，求BOC △（O 为原点）面积的取值范围．25．（本题满分11分）对于定义域相同的三个函数()(),u x v x 和()f x ，若存在非零实数,αβ使得()()()f x u x v x αβ=+，则称函数()f x 为函数()u x 和()v x 的生成函数，称函数()u x 和()v x 为一组基函数．（I ）若()2321f x x x =--是“基函数()()2,1u x x x v x mx =-+=-”的生成函数，求实数m 的值；（II ）已知()21gx x =+，试利用“基函数()()()33,3xx x u x g v x -⋅==”生成一个函数()h x ，同时满足以下条件：①()[]()1,1h x x ∈-是奇函数；②()[]()1,1h x x ∈-的最大值为8．求()hx 的解析式．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
理综押题
绝密★启用前
2020年4月浙江省普通高中学业水平考试
数学仿真模拟试题C
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合
题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==,则A B =
A ．{}2
B ．{}2,3
C ．{}4
D ．{}2,4
2．已知向量
,,下列说法中正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．以上都不正确
3．若tan 4
θ=
,且θ为第三象限角,则cos θ=
A ．
3 B ． 3
-
C ．
1
3
D ．13
-
4．式子2
1lg 2lg5log 2
++= A ．0
B ．2
C ．1
D ．1-
5．下列函数中,与sin 2y x =的最小正周期和奇偶性都相同的是
A ．cos 2y x =
B ．sin y x =
C ．tan y x =
D ．sin
2
x y =
6．函数()()ln 2f x x =-
A ．()1,2-
B ．[)1,2-
C ．(]1,2-
D ．[]1,2-
7．在点()1,1,()2,3,()4,2中,与点()0,1-在直线3210y x -+=同一侧的点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．两平行直线1:l 210x y ++=,2:4230l x y ++=的距离为
A ．
10
B ．
5
C ．
5
D ．2
9．下列关于空间中的直线,l 平面α和平面β的说法中正确的是 A ．若l α∥,则平面α内所有直线都与直线l 平行
B ．若αβ⊥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 垂直
C ．若αβ∥且l α⊥,则平面β内所有直线都与直线l 垂直
D ．若αβ∥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 平行
10．函数()e
x
f x x
=的图象可能是
A B C D
11．如图所示, 正方体ABCD A'B'C'D'-的边长为(0)a a >,点F 是边A'A 上的动点,动截面
FBD'交CC'于点E ,则点B'到动截面FBD'距离的最大值为
A
．
2a B
C ．2
a D
12．设a ,b 是非零向量,“|a +b |=|a|-|b |”成立的一个必要不充分条件是
A ．a +b =0
B ．a 与b 方向相同
C ．a //b
D ．a =b
13．抛物线()2
20x py p =>的准线交圆2
2
6160x y y ++-=于点,A B .若AB =8,则抛物线的焦点为
A ．(4,0)
B ．()0,2
C ．()0,6
D ．()0,3
14．已知2,0x y >>且满足2216x
y
⋅=,则
22
2x y
+-的最小值为 A ．4
B ．2
C ．16
D ．8
15．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足()
32n n a S n n λ*=+∈N ,若数列{}2n a +是等比数列,则λ=
A ．1
B ．
1
2
C ．4
D ．2
16．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>满足长轴长是短轴长的2倍,点A 为椭圆长轴的一个端点,
点,B C 在椭圆上,若,,A B C 构成以点A 为直角顶点的等腰直角三角形且1ABC S =△,则a =
A ．
5
2
B ．
5
4
C ．5
D ．2
17．在三棱锥P ABC -中,若PC ⊥平面ABC ,30ABC ∠=,且4AC =,6PC =,则该三棱锥
P ABC -外接球的体积为
A ．
2503
π
B ．500π
C ．250π
D ．
5003
π
18．已知函数()()2
2
21,45f x ax x g x x x =-+=++,若()()
0f g x =有且只有两个不等的实数根,
则a 的取值范围为
A ．[]1,0-
B ．()0,1
C ．()1,1-
D ．(]0,1
非选择题部分
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线1l
与直线10x ++=相互垂直,则1l 的斜率
为 ,双曲线的离心率为 .
20．已知数列{}n a 且21
,2sin ,4
n n n n
a n n ⎧⎪⎪+=⎨π⎪⎪⎩为奇数为偶数,若n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2018S = .
21．不等式322312x a x a ++--+>对任意的x ∈R 是恒成立的,则a 取值范围为 . 22．如图所示,长度为1的正方形网格图中,粗线画出的是某棱锥的三视图,则关于该棱锥说法
正确的有 (填序号).
①该棱锥是四棱锥；②该棱锥最大的侧面积为3；③该棱锥的体积为8
3
；④该棱锥
三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）
在ABC △中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,已知1a =,
m (1,=,n ()sin ,cos A A =,且m
⊥ n .
（1）求角A 的大小;
（2）若ABC △求b c +的值. （3）求ABC △周长的取值范围. 24．（本小题满分10分）
抛物线C ()2
:20y px p =>,抛物线上一点()2,P t 到抛物线焦点F 的距离为3.
（1）求抛物线C 的方程;
（2）若点Q 为抛物线C 上的动点,求点Q 到直线2y x =+距离的最小值以及取得最小值时,点Q 的坐标;
（3）若直线l 过点()4,0M 且与抛物线C 交于,A B 两点，当ABF △与AOF △的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程. 25．（本小题满分11分）
已知指数函数()e ,x
f x =一次函数()()1
g x a x =-.
（1）若函数()()1g x a x =-的图象是()e x
f x =的一条切线,求a 的值;
（2）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点. （i ）求实数a 的取值范围；
（ii ）设1x ,2x （12x x <）是()h x 的两个零点,证明:1212x x x x ⋅<+.。