高中数学人教B版必修四学案：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
[学习目标]1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
[知识链接]
1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？
答规定周角的1
360
做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．
2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答l ＝n πR 180，S ＝n πR 2
360.
[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． (2)任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． (3)角的弧度数的计算
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α 的弧度数的绝对值是|α|＝l r .
2．角度制与弧度制的换算 (1)
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则
要点一角度制与弧度制的换算 例1将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π
5.
解(1)20°＝
20π180＝π
9
. (2)－15°＝－15180π＝－π
12.
(3)7π12＝7π12×⎝⎛⎭⎫
180π°＝105°. (4)－11π5＝－11π5×⎝⎛⎭
⎫180π°＝－396°.
规律方法(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系式πrad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．
跟踪演练1(1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π
12
化成度．
解(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π
8. (2)－5π12＝－5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°.
要点二用弧度制表示终边相同的角
例2把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1500°； (2)23π6
； (3)－4.
解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．
(2)∵23π6＝2π＋11π6
，
∴23π6与11π
6终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π
2＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
规律方法用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪演练2设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3
.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角． 解(1)∵180°＝πrad ，
∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π
6，
α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π
6
.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×⎝⎛⎭⎫
180π°＝108°，
设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，
则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.
故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π
3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，
则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三扇形的弧长及面积公式的应用
例3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝1
2lR ，
得1＝1
2
(4－2R )·R ，
∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝2
1＝2，
即扇形的圆心角为2rad.
规律方法(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝1
2|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如
果已知其中两个，就可以求出另一个．
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为半径r 的函数． 跟踪演练3若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为() A ．40πcm 2B ．80πcm 2 C ．40cm 2D ．80cm 2 答案B 解析∵72°＝
2π
5
， ∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π
5
×202＝80π(cm 2).
1．时针经过一小时，时针转过了() A.π6radB ．－π
6rad C.π12radD ．－π12rad 答案B
解析时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6
rad ，故选B.
2．圆的半径是6cm ，则圆心角为15°的扇形面积是() A.π2cm 2B.3π2cm 2 C ．πcm 2D ．3πcm 2 答案B
解析∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，
∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π
2
(cm 2)．
3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________． 答案12＋π360，12－π360
解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则⎩⎪⎨⎪⎧
α＋β＝1，α－β＝π180，
解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－11
4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．
答案 －3
4
π
解析－11
4π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－3
4
π.
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad ”这一关系式．
度数与弧度数的换算可借助“计算器”《中学数学用表》进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．。