清华大学自主招生试题含答案

一、 选择题1.设复数z=cos23π+isin 23π,则2111-1z z +-= A0 B1 C 12 D 322.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的 条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则A|OA|·|OB|≥2 B|OA|+|OB|≥22C 直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 DO 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为-1,1,且满足：①()f x >0,x ∈-1,0；②()f x +()f y =()1x yf xy++,x 、y ∈-1,1,则()f x 为A 奇函数B 偶函数C 减函数D 有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f x 相切于两点,则Fx=f xkx 有A2个极大值点 B3个极大值点 C2个极小值点 D3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3π,且sinC+sinBA2sin2A=0,则有 Ab=2a B △ABC 的周长为3 C △ABC 23D △ABC 的外接圆半径为237.设函数2()(3)xf x x e =-,则A ()f x 有极小值,但无最小值B ()f x 有极大值,但无最大值C 若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>36e D 若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e8.已知A={x,y ∣222x y r +=},B={x,y ∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={11,x y ,22,x y },则 A0<22ab +<22r B 1212()(y )0a x x b y -+-=C 12x x +=a ,12y y +=bD 22ab +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为 A1 B2 C3 D410.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则 A{n a }可能为等差数列 B{n a }可能为等比数列C{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差D 对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁12.长方体ABCD 1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为A13 B 2313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D,其面积为S,则A 若S=4,则k 的值唯一B 若S=12,则k 的值有2个 C 若D 为三角形,则0<k ≤23D 若D 为五边形,则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4,其外心为O,则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅= A0 B15 C212 D 29215.设随机事件A 与B 互相独立,且PB=,PA B=,则 APA= BPB A=0.3 CPAB= DPA+B=16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分,则这两部分的面积之比的 A 最小值为34 B 最小值为45 C 最大值为43 D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有 A105种 B225种 C315种 D420种18.已知存在实数r,使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点,则n 可以等于 A4 B6 C8 D1219.设复数z 满足2|z|≤|z1|,则 A|z|的最大值为1 B|z|的最小值为13 Cz 的虚部的最大值为23 Dz 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数,a =mcosα,msinα,b =ncosβ,nsinβ,其中α,β∈0,2πα,β∈0,2π．定义向量12a =2α2α,12b =2β2β,记θ=αβ,则A 12a ·12a =aB 1122ab ⋅=2θC 112222||44a b mn θ-≥ D 112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6,13n n n a a n++=,则 An ∈N,n a <3(1)n + Bn ∈N,n a ≠2015 Cn ∈N,n a 为完全平方数 Dn ∈N, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有Aρ=1cos sin θθ+ Bρ=12sin θ+ Cρ=12cos θ- Dρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+,则A ()f x ≤43B|()f x |≤5|x| C 曲线y=()f x 存在对称轴 D 曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c,若△ABC 为锐角三角形,则AsinA>cosB BtanA>cotB C 222a b c +> D 333a b c +> 25.设函数()f x 的定义域是1,1,若(0)f =(0)f '=1,则存在实数δ∈0,1,使得 A ()f x >0,x ∈ δ,δ B ()f x 在 δ,δ上单调递增C ()f x >1,x ∈0,δD ()f x >1,x ∈ δ,026.在直角坐标系中,已知A1,0,B1,0．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P k=1,2,…,n,总存在两个不同的点i P ,j P ,使得|sin ∠A i P B sin ∠A j P B|≤13,则n 的最小值为A3 B4 C5 D627.设非负实数x,y 满足2x+y=1,则A 最小值为45 B 最小值为25C 最大值为1 D最大值为1328.对于50个黑球和49个白球的任意排列从左到右排成一行,则A 存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多B 存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多C 存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D 存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,其中有两个数字各用两次,例如12231,则能得到的不同的五位数有A300个 B450个 C900个 D1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0,则 AL 是轴对称图形 BL 是中心对称图形 CL{x,y ∣22x y +≤1} DL{x,y ∣12≤y ≤12} Answer1.解析 2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+-- =212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+-=1,选B2.简解 ()p q k l a a a a +-+=p+q-k+ld,与公差d 的符号有关,选D3.解析设A 211,x x ,B 222,x x ,OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案A,||||OA OB ⋅=2,正确；答案B,|OA|+|OB|≥,正确；答案C,直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x -方程为y-21x =111x x -x-1x ,焦点0,14不满足方程,错误；答案D,原点到直线AB ：111x x -x-y+1=0的距离1,正确;选ABD4.解析x=y=0⇒(0)f =0,y=-x ⇒()()f x f x -=-,()f x 为奇函数,A 正确；()f x ≡0,B 错误；12x x <,1()f x -2()f x =1()f x +2()f x -=12121x x f x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>0⇒1()f x >2()f x ⇒()f x ↓,C 正确；()f x =-tan2x π满足已知条件,但无界,D 错误;选A,C 5.简解将直线平移知：斜率为k 的直线,与曲线y=()f x 至多有五个公共点,其中在此直线先下方后上方的两个区间,先上方后下方的三个区间,故()F x 有三个极大值点,两个极小值点;选BC6.解析2R=sin c C⇒正确； 又sinC+sinB-A=sinB+A+sinB-A=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA ⇒cosA=0或sinB=2sinA ⇒A=2π或b=2a ; A=2π时a周长为b=2a时,2c =222cos a b ab C +-⇒a2π,同样有周长为,选BCD7.简解()f x '=x+3x-1xe ,36)(3)f x f e =-=极大（, )(1)-2f x f e ==极小（,作出其大致图象,如图 选BD8.解析已知即半径相等的两圆⊙O:222x y r +=与⊙C:222()()x a y b r -+-=交于相异的两点111(,)P x y 、222(,)P x y ;0<|OC|<2|r|⇔0<22a b +<42r ,A 错；四边形O 1P C 2P 是菱形⇒对角线OC 与12P P 垂直且平分,BC 正确；22a b +=1122ax by +⇔22221111()()a x b y x y -+-=+⇔11||||CP OP =,D 正确;总之,选BCD9.解析关于z 的方程22224430z z x y +++-=有非负实数解0⇒2234x y +≤,-3,设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈0,2π,r ∈0,2d=r5cos θ+4sin θsin θ+arctan54-3≥设a =2,3,bd ≥2a b ⋅-3=2||||a b cos ,a b ,a b -3,作图知,a b 最大值是b 与OY 夹角,此时d ≥-3=3;选C 10.解析答案A,常数列0,0,0,...满足要求；答案B,公比q=1时因n 1a ≠1a ,结论假,q ≠1时,111(1)1n m a q a q q --=-⇔111n m q q q--=-常数,也不可能；答案C,1n n n a S S -=-=m t a a -,满足要求；答案D,n a =m S =t a ,并非对所有数列成立;选AC 11.简解答案甲乙丙不能保证只有一个正确,故选D 12.等体积法,选B13.解析如图：不等式组表示过点P-1,-2的直线的下方与正方形ABCD 围成的面积图形 k>0时,S 单调增,梯形2P ABC 面积为285>4,故S=4只有一解,A 正确；△1P AB 、△34P P D 的面积分别为45、1,都比12大,故再两个三角形内各存在一个围成面积为12的直线,B 正确；k<0时,围成的仍然是三角形,C 错误；围成五边形,斜率大于直线PC 的斜率4,D 正确;选ABD14.简解取AB 的中点D,则OA AB ⋅=OA ×AB ×cos π-∠OAB=-AB ×OA ×cos ∠OAB=-212AB ,同理OB BC ⋅ =212BC -,212OC CA CA ⋅=-,原式=222129()22AB BC CA -++=- .选D15.简解设PAB=x,则PA=+x,根据PAB=PAPB 有x=+x ×⇒=;PA=,A 正确；PB-A=正确；PAB=,C 正确；PA+B=PA+PB-PAB=,D 错误;选ABC16.解析设△ABC 的重心为G,面积为1,过点G 的直线与三角形边AB 、AC 分别相交于D 、E,AD=xAB,AE=yAC,则有12AB ×ACsinA=1,如图 特别的x,y ∈{0,1}时,DE 为三角形的中线,此时分成两部分面积比值为1 当x,y ∈0,1时,△ADE 面积S=12AD ×AEsinA=12xAB ×yACsinA=xy,D 、G 、E 三点共线⇒存在实数λ,使得DG DEλ=⇒AG AD -=λAE AD -⇒AG =1-λAD +λAE =1-λx AB +λy AC ,又AG =13AB +13AC ⇒1(1)313x y λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,消去λ得到11x y +=3,因11x y +≥⇔23⇔S ≥49,等号成立当且仅当x=y=23⇔DE ∥BC,故S 最小值为49,1-S 的最大值为59；故两面积比值有最小值45,最大值54;选BD17.解析先看一个顶点处构成钝角的三角形个数,加设此点为A,从A 逆时针方向的点依次记为k A k=1,2,3,…,7,顺时针方向的顶点依次记为k A -k=1,2,3,…,7,△n m A AA -要构成以A 为钝角的钝角三角形,则n+m ≤7,有1+2+3+…+6=21个;于是共可构成15×21=315个钝角三角形;选C 18.简解正数点关于x 轴、y 轴对称,故一定是4的倍数;选ACD 19.简解设x=x+yix,y ∈R,代入化简得到2214()39x y ++≤,表示以-13,0为圆心,以23为半径的圆及其内部,根据图形,选ACD20. 解析12a ·12a 是一个数值,不是向量,A 错；1122a b⋅cos22αβsin22αβ2αβ-2θ,B 正确；11222||a b -=2)22αβ+2)22αβ2αβ-=2θ≥22θ=24θ,C 正确； 同理D 正确 选BCD 21.简解13n n a n a n++=,迭乘得到n a =n+2n+1n ；3(1)n a n <+⇔nn+2<2(1)n +,A 正确；2015=5×13×31,不可能是三个连续整数之积,B 正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数,CD 错误;选AB22.简解A 去分母,化成直角坐标方程为x+y=1,表示直线；B 为ρ=1211cos()22πθ-+表示椭圆；C 为ρ=1211cos 2θ-表示椭圆；D 为ρ=112cos()2πθ-+表示双曲线;选BC23.解析()f x ≤43⇔gx=24443sin x x x π-+-≥0,1()=g()2g x 极小值=0,A 正确；|()|f x ≤5|x|⇔|sin πx|≤|32x x x -+|.作图象知成立,B 正确；x=12是其一条对称轴,C 正确；()()f a x f a x -++不可能为常数,故D 错误;选ABC24.简解A+B>2π⇒A>2π-B ⇒sinA>sin 2π-B=cosB,tanA>tan 2π-B=cotB,AB 正确；锐角三角形,一定有222a b c +>,C 正确；三角形三边长为,,1时,满足锐角三角形条件,但330.50.90.854+=<1,D 错误;总之,选ABC25.解析根据导数定义,对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时,|()(0)f x f x--1|<ε⇔x1-ε+1<()f x <x1+ε+1,对ε取值可知AC 正确；(0)f '=1>0,知在0附近存在区间,()f x '>0,B 正确；对于函数y=x+1,D 不正确;总之,选ABC26.解析将所有的|sin ∠A i P B sin ∠A j P B|,按从小到大排序,共有2n C 个,其中最小者不大于13,最大为2,于是213n C ≥2,n 的最小值为4.选B 27.解析设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈0,2π.2x+y=1⇔r=12cos sin θθ+=rcos θ+r=cos 12cos sin θθθ++,记作T ；去分母得到Tsin θ+2T-1cos θθ+arctan 21T T-=1解得T ≥45,等号成立当且仅当θ+arctan 21T T -=θ+arctan 34=2π,A 正确；当θ=0时T=2,θ=2π时T=1,最大值为2,C 正确;选AC28.简解黑球先放好,放白球,选A29.解析先从五个数字中,将这三个数字中选出来,有35C 种方法,如选了123；在确定不重复用的数字,有13C 种方法,如选3；对数字3安排有15A 种方法,余下的对数字1安排有24C 种方法,剩下的两位安排2；有35C 13C 15A 24C =900.选C30.简解解方程得到221y x =--易知它关于两坐标轴及原点都对称,AB 正确；22x y +1-≤1有-2≤x ≤2条件,但已知中无此条件,故C 错误；设2x=tan θ,θ∈-2π , 2π,2y =-21sec 4θ+sec θ-34,当sec θ=2时,2max y =14,-12≤y ≤12,D 正确;选ABD。