直线的参数方程
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线标准参数方程形式
直线标准参数方程形式直线是我们日常生活和数学中经常遇到的一种几何图形，它具有许多特殊的性质和表达方式。
在数学中，直线可以用不同的形式来表示，其中之一就是标准参数方程形式。
本文将介绍直线标准参数方程形式的概念、推导方法和应用场景。
首先，我们来了解一下什么是直线的标准参数方程形式。
直线的标准参数方程形式是指通过参数方程来表示直线的方程形式。
具体而言，对于直线上的任意一点P(x, y)，可以用参数方程的形式表示为x = x1 + at，y = y1 + bt，其中(x1, y1)为直线上的一点，a和b为参数。
这种表示方式可以更加灵活地描述直线在平面上的位置和方向。
接下来，我们来推导直线标准参数方程形式的具体步骤。
假设直线L上有一点P(x, y)，直线L的方向向量为n = (m, n)，直线上的一点为A(x1, y1)。
我们可以通过点P到点A的向量AP和方向向量n之间的关系来得到直线的参数方程。
由于直线上的任意一点P都可以表示为A点加上方向向量n的倍数，因此点P的坐标可以表示为(x1 + mt, y1 + nt)，这就是直线的标准参数方程形式。
在实际应用中，直线标准参数方程形式可以方便地描述直线在平面上的位置和方向。
通过参数a和b的取值，我们可以得到直线上的任意一点的坐标，从而更好地研究直线的性质和特点。
此外，直线标准参数方程形式也在计算机图形学和物理学等领域有着重要的应用，可以方便地进行直线的计算和分析。
总之，直线标准参数方程形式是一种重要的直线表示方式，通过参数方程形式可以更加灵活地描述直线在平面上的位置和方向。
通过本文的介绍，相信读者对直线标准参数方程形式有了更深入的理解，希望本文能够帮助读者更好地掌握这一数学概念，并在实际问题中灵活运用。
直线直角坐标系化为参数方程
直线直角坐标系化为参数方程直线是几何学中的基本概念之一，描述了两点之间最短路径的轨迹。
在直角坐标系中，我们通常用直线的斜率和截距来表示直线的方程。
然而，有时使用参数方程来描述直线更加方便和直观。
本文将介绍如何将直线从直角坐标系化为参数方程的形式。
直线的参数方程表示直线的参数方程表示形式为：x = x0 + a * ty = y0 + b * t其中(x, y)是直线上的任意一点，(x0, y0)是直线上的一个已知点，(a, b)是表示直线方向的向量，t是参数。
从直角坐标系到参数方程的转化要将直线从直角坐标系转化为参数方程的形式，首先需要找到直线上的一个已知点，以及表示直线方向的向量。
假设我们已经得到直线的斜率k，以及直线上的一点(x1, y1)。
根据直线的斜率性质，可以得到直线的方向向量为(1, k)。
然后，我们可以在参数方程中设置x0 = x1和y0 = y1，进一步得到直线的参数方程形式。
例如，考虑直线y = 2x + 3，其中已知点为(1, 5)。
根据上述步骤，我们可以得到直线的参数方程为：x = 1 + ty = 5 + 2t从参数方程到直角坐标系的转化与从直角坐标系到参数方程的转化相反，要将直线从参数方程转化为直角坐标系的形式，需要已知直线上的一个点和表示直线方向的向量。
给定直线的参数方程为x = x0 + a * t和y = y0 + b * t，我们可以设置t= 0，并将x和y的值代入参数方程中，得到直线上的一个点(x0, y0)。
然后找到直线的斜率k，从而得到直线的直角坐标系表示。
例如，考虑参数方程x = 2 + t和y = 1 - 2t。
将t = 0代入参数方程中，我们得到直线上的一个点为(2, 1)。
然后计算直线的斜率k = (y - y0) / (x - x0) = (-2 - 1) / (1 - 2) = 3。
由此，我们可以得到直线的直角坐标系表示为y =3x - 5。
示例下面是一个具体的示例，展示了如何将直线y = 2x + 3从直角坐标系转化为参数方程形式。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线参数方程
2
（2）求M到A,B两点的距离之积
2 10 2 10 解得t1 ，t2 2 2
MA MB t1 t2 t1t2 2
x2 y2 例3 经过点M(2,1)作直线L，交椭圆 1 16 4 于A, B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直 线L的方程。 解：设过点M (2,1)的直线l的参数方程为 x 2 t cos { (t为参数)代入椭圆方程得 y 1 t sin
(A)
10
(B)
2 10
(C)
10 2
(D)
3 5
10 3
3.过点 P（5，3） ，且倾斜角满足 cos=
的直线与
9 圆 x2+y2=25 交于 P1, P2 两点,则| PP1| | PP2| =_______________ ,
44 33 ( , ) 弦 P1P2 中点 M 的坐标是________________ 25 25
(3sin 2 1)t 2 4(cos 2sin )t 8 0 由t的几何意义知 MA t1 , MB t2 ,因为点 M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以 4(cos 2sin ) t1 t2 3sin 2 1
1、直线参数方程的标准形式及其参数的 几何意义； 2、直线参数方程标准形式与普通方程的 互化； 3、直线参数方程标准形式的应用。
1、数形结合思想；
2、参数的基本思想.
2 x 2 t 2 1. 直线 (t 为参数)上到点 M(2,3)距离为 2 且 y 3 2 t 2
(3, 4) 在点 M 下方的点的坐标是____________
x 2 t 2.直线 (t 为参数)被双曲线 x2y2=1 截得的弦长为(B ) y 3 t
参数方程练习题
参数方程练习题参数方程是描述曲线在坐标系中运动的一种方式，通过给定参数的取值范围来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程经常用于描述各种曲线的形状和运动特性。
本文将介绍一些参数方程的练习题，帮助读者加深对参数方程的理解和应用。
一、直线的参数方程1. 给定直线L：y = mx + c，写出直线L的参数方程。
解析：直线L可以看作是一个点在以斜率m为速度直线运动的路径上，开始运动的位置为直线与y轴的交点(0，c)。
因此，直线L的参数方程可以表示为：x = ty = mt + c其中，t为参数，表示直线上某一点的位置。
2. 已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，写出直线AB的参数方程。
解析：直线AB可以看作是一个点在路径上从A点运动到B点的轨迹。
设A点的参数为t=0，B点的参数为t=1，则直线AB的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)ty = y1 + (y2 - y1)t其中，t的取值范围为[0, 1]。
二、圆的参数方程3. 已知圆心C(a, b)和半径r，写出圆的参数方程。
解析：圆可看作是一个点在以圆心C(a, b)为中心，半径为r的圆上运动的轨迹。
设圆上某点的参数为θ，则圆的参数方程可以表示为：x = a + rcosθy = b + rsinθ其中，θ的取值范围为[0, 2π]。
4. 已知圆上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，写出圆弧AB的参数方程。
解析：圆弧AB可以看作是一个点在路径上从A点运动到B点的轨迹。
设A点的参数为t=0，B点的参数为t=1，则圆弧AB的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)sin(tπ/2)y = y1 + (y2 - y1)cos(tπ/2)其中，t的取值范围为[0, 1]。
三、抛物线的参数方程5. 给定抛物线P：y = ax^2 + bx + c，写出抛物线P的参数方程。
解析：抛物线P可以看作是一个点在以速度随时间变化的路径上运动的轨迹。
直线标准参数方程
直线标准参数方程
x
《直线标准参数方程》
直线的标准参数方程是一种几何形式，用于描述直线的性质，表示直线的位置，方向，长度，以及与其他直线之间的关系。
它可以用一个公式表示，为：
Ax + By + C = 0
其中，A，B和C是实数，A和B不能同时为零。
当A和B都不为0时，以A和B确定直线的斜率，C确定直线与原点的距离。
在这里，A，B，C的取值受到斜率和距离的限制，且有一定的规律：
（1）当A，B和C都不为0时，C的符号取决于斜率是否小于1，即：
①当斜率小于1时，C为正；
②当斜率大于1时，C为负。
（2）当A或B不为0时，当斜率大于或小于1时，A，B及C的符号可能不一定；
（3）当A不为0而B为0时，A为正，C，B及C不一定。
符号及规律只影响参数A，B，C的取值，不影响直线的位置，方向和长度。
因此，直线的标准参数方程可以表示为：Ax + By + C = 0，它
与斜率和距离之间有着紧密的联系，且可根据斜率及距离的不同来决定A，B和C的取值。
三维空间中直线的方程式
三维空间中直线的方程式在三维空间中，直线的方程可以用参数方程和一般方程两种形式表示。
参数方程是将直线上的每一个点都表示为一个参数所确定的向量，而一般方程则是通过直线上两个点的坐标来表示的。
1.参数方程：直线的参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)为直线上的已知点，而(a,b,c)为直线的方向向量，t为参数。
2.一般方程：首先，我们需要确定直线的方向向量。
假设直线上的两个点分别为P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，则直线的方向向量可以表示为V=PQ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
然后，我们可以通过点P的坐标和方向向量V来推导直线的一般方程。
2.1.点向式：直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c其中(a,b,c)为方向向量V的分量。
2.2.对称式：直线的一般方程也可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c=t这里的t为参数。
2.3.常法式：直线的一般方程还可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C为方向向量V的分量，而D为常数。
对于两个不平行的直线，我们可以通过将它们的方向向量进行叉乘来求得它们的交点。
除了参数方程和一般方程，还有其他表示直线的方法，比如点法式、斜截式等。
这些方法都根据直线上已知点和方向向量的不同形式而有所不同。
需要注意的是，在使用直线的方程时，我们需要根据实际情况选择最适合的表达形式。
有时候参数方程更方便，可以直接通过改变参数t来表示直线上的任意一点；而一般方程则适合于求直线与其他平面或直线的交点等问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线的参数方程
直线是平面上的一种线形图形，由无数个点组成。
在平面直角坐标系下，直线通常可以用线段的两个端点来确定，或者可以用点斜式和斜截式
来表示。
另外，还有一种常见的表示直线的方法是使用参数方程。
参数方
程是一种通过引入一个参数作为自变量来表示一个二维曲线的方法。
x=x₀+a·t,
y=y₀+b·t,
其中(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数，a和b是与直线的方向相
关的参数。
参数方程的优点之一是可以直接通过给定的参数值来求解直线上的任
意一点的坐标。
另外，参数方程还可以方便地描述直线的方向和倾斜角度。
下面将分别介绍直线的参数方程以及如何根据已知信息确定参数值的
方法。
1.斜率-截距形式的直线方程
假设直线方程为y = mx + c，我们可以将x表示为t的函数：
x=t,
y = mt + c.
这样，我们就得到了直线的参数方程。
其中，t是参数，(x,y)是直
线上的任意一点。
参数方程的参数a和b分别为1和m。
2.两点间的直线方程
首先，我们可以求出直线的方向向量，即从点A到点B的向量。
该向量的分量为：
a=x₂-x₁,
b=y₂-y₁.
然后，我们可以选择一个点作为原点，例如A点，将该点的坐标作为参数方程中的参数值：
x₀=x₁,
y₀=y₁.
最后
x=x₀+a·t=x₁+(x₂-x₁)·t,
y=y₀+b·t=y₁+(y₂-y₁)·t.
3.一般直线方程的参数方程
假设直线方程为Ax+By+C=0，我们可以将x表示为t的函数：
x=x₀+a·t,
y=y₀+b·t.
在这种情况下，参数方程的参数a和b可以表示为：
a=-B,
b=A.
其中，(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数。
总结起来，直线的参数方程可以用以上三种常见形式表示。
在给定直线的已知信息之后，我们可以根据特定的情况选择合适的参数方程形式，并确定参数值。
通过确定参数值，我们可以方便地求解直线上的任意一点的坐标，也可以直观地描述直线的方向和倾斜角度。