直线的五个方程
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
高中数学-直线的方程的几种形式
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学点一 直线的点斜式方程 求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满 足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率， 再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的 倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故 所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截 式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.
直线方程五种形式教师
1．直线的点斜式方程 1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0. （3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。
要注意它们之间的区别和联系及其相互转化. 直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式00y y k x x -=-推出的，因此00y y k x x -=- 表示的直线上缺少一个点P (x 0，y 0)，y －y 0=k (x －x 0)才是整条直线；2．经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y －y 0=k (x －x 0)； ②斜率不存在时，直线方程为x =x 0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为x =x 0，它不是函数解析式。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
直线的方程与性质
直线的方程与性质直线是一个无限延伸的几何对象，具有特定的方程和性质。
在本文中，我们将探讨直线的方程和一些与之相关的基本性质。
一、直线的方程直线的方程可以通过两点式、点斜式和斜截式表示。
1. 两点式两点式是通过直线上的两个已知点来表示直线的方程。
假设已知直线上的两个点为 P(x₁, y₁) 和 Q(x₂, y₂)，那么直线的两点式方程为：(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)简化为：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 02. 点斜式点斜式是通过已知直线上的一点和直线的斜率来表示直线的方程。
假设已知直线上的点为 P(x₁, y₁)，直线的斜率为 k，那么直线的点斜式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)简化为：kx - y + (y₁ - kx₁) = 03. 斜截式斜截式是通过已知直线上的一点和直线与 y 轴的交点来表示直线的方程。
假设已知直线上的点为 P(x₁, y₁)，直线与 y 轴的交点为 Q(0, b)，那么直线的斜截式方程为：y - y₁ = kx简化为：kx - y + y₁ - kx₁ = 0二、直线的性质直线具有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个。
1. 斜率直线的斜率表示了其在平面上的倾斜程度。
斜率可以通过直线的两点式方程或点斜式方程来求得。
两点式方程中的系数 (y₂ - y₁)/(x₂ -x₁) 就是直线的斜率，而点斜式方程中的斜率 k 也是直线的斜率。
2. 截距截距表示了直线与坐标轴的交点。
对于斜截式方程来说，直线与 y轴的交点的纵坐标就是直线的 y 截距。
而对于点斜式方程来说，直线与 y 轴的交点的纵坐标等于提供的点的纵坐标减去斜率乘以提供的点的横坐标。
3. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于 -1。
4. 距离和倾斜角直线之间的距离可以通过点到直线的距离公式来计算。
直线方程的五种形式之
2：一条直线经过点A（0，5），倾斜角为00， ），倾斜角为 例2：一条直线经过点A（0，5），倾斜角为00，求这直线 方程 y
解：这条直线经过点A（0，5） 斜率是k=tan00=0 代入点斜式，得 y - 5 = 0 O x 5
②直线的斜截式方程： 直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是 ， 轴的交点是P（ ， ）， ），求 已知直线 的斜率是k，与y轴的交点是 （0，b），求 的斜率是 轴的交点是 求这条直线的方程。 求这条直线的方程。 代入点斜式方程， 的直线方程 的直线方程： 代入点斜式方程，得l的直线方程：y - b =k （ x - 0） ） 即 y = kx + b。 (2)
3
BP95
㈣总结： ①直线的点斜式，斜截式方程在 直线斜率存在时才可以应用。 ②直线方程的最后形式应表示成 二元一次方程的一般形式。
③两种形式都有限制条件
直线方程的五种形式之： 直线方程的五种形式之： 点斜式方程和 斜截式方程
新课： 新课： 1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点 ），并且它的斜率是 并且它的斜率是k 已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是 求直线l的方程 的方程。 求直线 的方程。 设点P（ ， ）是直线l上 设点 （x，y）是直线 上 不同于P 的任意一点。 不同于 1的任意一点。 l 根据经过两点的直线斜率 y P 公式， 公式，得
k
=
可化为
y y 1 = k (x x 1 )
y y1 x x1
. .
P1
O
x
由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直 由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程， 线的点斜式方程。 线的点斜式方程。
小结： 小结： 为直线上的任意一点， ⑴P为直线上的任意一点，它的 为直线上的任意一点 位置与方程无关 直线上任意一点P与这条直线上 直线上任意一点 与这条直线上 一个定点P 所确定的斜率都相等。 一个定点 1所确定的斜率都相等。
直线方程的求法
当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝4，b＝2 时，S△AOB 取最小值 4，
此时直线 l 的方程为x4＋y2＝1，即 x＋2y－4＝0.
变式训练：将问题改为求 PA PB 的最小值及此时直线l 的方程.
强化训练：
经过点 P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，
且截距之和最小，则直线的方程为( )
在x轴上的截距a
截距式 在y轴上的截距b
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
不垂直于x、y轴的直线
x y 1 ab
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
一般式 两个独立的条件 Ax By C 0 A、B不同时为零
二、典例分析
1.直接法求直线方程：
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接 写出直线的方程．
化为一般式即 x y 1 0
（2）由斜截式得直线方程为 y 3 x 2 5
化为一般式即 3x 5y 10 0
（3）由截距式得直线方程为
x 3
y 4
1
化为一般式即 4x 3y 12 0
总结：直线方程有五种形式，一般情况下，利
用任何一种形式都可求出直线的方程（不满足条 件的除外）.但是，如果选择恰当，解答会更加 迅速，本题中的三个小题，依条件分别选择了三 种不同形式的直线方程求解.
例1：根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式.
（1）过点 A2,3，且直线的倾斜角为135
（2）过点 A0, 2
，且斜率为 3 5
（3）在x轴，y轴上的截距分别为-3和4
解：（1）直线的斜率 k tan135 1
由点斜式得直线方程为 y 3 x 2
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。