直线的方程教案

教学过程一、 复习预习1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角,当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为直线倾斜角的取值范围是．2．直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用表示，即．倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是．3．两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有∥． 4．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直．即．另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况．x x αα0︒0180α︒︒≤<α90︒k tan (90)k αα︒=≠90︒90︒(,)-∞+∞12,l l 12,k k 1l 212l k k ⇔=1-1-12121l l k k ⊥⇔⋅=-二、知识讲解考点1直线的五种形式点斜式：，不表示斜率不存在的直线 斜截式：，不表示斜率不存在的直线两点式：，不表示斜率为0和斜率不存在的直线截距式：，不表示斜率为0，斜率不存在和过原点的直线 一般式：（其中不同时为0）．)(00x x k y y -=-b kx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+bya x 0=++C By Ax ,A B考点2两条直线的交点坐标将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．1112220,0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩考点3点到直线距离和两平行直线之间的距离 点到直线距离公式：点到直线的距离为：．两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为．),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200BA CBy Ax d +++=1l 2l 1l 01=++C By Ax 2l 02=++C By Ax 1l 2l 2221BA C C d +-=三、 例题精析【例题1】【题干】若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是（ ）① ② ③ ④ ⑤其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号） 【答案】：如下图正确答案①或⑤【解析】：本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等知识，具有一定的综合性，突出考查数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，特别要注意平面几何知识的应用．m 1:10l x y -+=2:30l x y -+=m 15︒30︒45︒60︒75︒︒30【题干】：已知直线经过直线与的交点．若点到的距离为3，求的方程． 【答案】：解法一：由 得交点．若直线的斜率不存在，则的方程为，显然满足题意．若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．由点到直线的距离公式得．解得．所以，直线的方程为．∴的方程为或．解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为，即．，即，∴或． ∴的方程为或．【解析】：本题考查两直线的交点坐标及直线方程． 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线． 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解． 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想．要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力．l 250x y +-=20x y -=(5,0)A l l 250,20,x y x y +-=⎧⎨-=⎩(2,1)P l l 2x =l k l (12)y kx k =+-3d ==43k =l 4350x y --=l 2x =4350x y --=(25)(2)0x y x y λ+-+-=(2)(12)50x y λλ++--=3=22520λλ-+=2λ=12λ=l 2x =4350x y --=︒30【题干】：光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．【答案】： ∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上， ∴264223A B k +==---． 故所求直线方程为y －6=－2（x +2）， 即2x +y －2=0． 【解析】：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称． 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题． 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透．【题干】：长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？【答案】：（1）一次函数的图象是直线，由直线过两点，，则直线的两点式方程为，整理得．由，解得． 所以y 与x 之间的函数关系式为，其中． （2）代入，得967551=-⨯=y ． 所以，该旅客应当购买9元行李票．【解析】：实际问题中两个变量之间的关系为线性关系，由图象上的两点即可写出直线的方程．(60,6)(80,10)6601068060y x --=--165y x =-1605y x =->30x >165y x =-30x >75x =165y x =-（千克）【题目】：求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.【答案】： 当在两轴上的截距，设所求直线，点代入得，解得． ∴ 所求直线为当在两轴上的截距，设所求直线，则，解得．∴ 所求直线方程为，即． 所以，所求直线方程为或．【解析】：直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程1x ya b+=，也可以用由图形性质，得到1k =-时截距相等，从而选用点斜式． 解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函数y kx =．(3,2)P 0a b ==y kx =(3,2)P 23k=23k =23y x =0a b =≠1x ya b +=321a ba b=⎧⎪⎨+=⎪⎩5a b ==155x y +=50x y +-=23y x =50x y +-=四、课堂运用【基础】1.判断下列各对直线的位置关系． 如果相交，求出交点坐标． （1）直线1l ： 2x －3y +10=0 ， l 2： 3x +4y －2=0； （2）直线l 1： 1nx y n -=-， l 2： 2ny x n -=．解析：（1）解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ， 得22x y =-⎧⎨=⎩． 所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）．（2）解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+．当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l ．当1n =-时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合． 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交． ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合； 当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---．2.在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为5，并求直线PM 的方程．解析：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或．【巩固】1．方程(2)=-表示（）．y k xA．通过点(2,0)-的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线D．通过点(2,0)且除去x轴的直线答案：C解析：已知的直线方程是点斜式，所以恒过的定点是（2,0），表示斜率存在的直线，所以正确答案是C。

2．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）．A ． 42(3)y x -=-B ． 43y x -=-C ． 40y -=D ． 30x -= 答案：D解析：根据直线的方程，可知斜率是1，所以倾斜角是45度，那么要求的直线的倾斜角是90度，所以答案是D 。

3．过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为（ ）．A ． 32-B ． 23-C ． 25D ． 2答案：A解析：根据两点式方程，先求出直线的方程，然后令y=0，求出x 即可。

，则m，n的4．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为13值分别为（）．A．4和3 B．－4和3 C．－4和－3 D．4和－3答案：C解析：根据两条直线平行的关系，以及截距的知识，可以得到两个关系式，则能得到答案。

【提高】1．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）．A ． 11220AB A B -≠ B ． 12210A B A B -≠C ． 1122A B A B ≠D ． 1212A AB B ≠ 答案：B解析：两条直线只有一个公共点，则位置关系是不平行即可，所以正确答案是B 。

2．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）．A ． 380x y +-=B ． 340x y --=C ． 390x y -+=D ． 380x y -+= 答案：B解析：到两个点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线。

3．两平行直线51230102450x y x y++=++=与间的距离是（）．A．213B．113C．126D．526答案：C解析：根据平行直线的距离公式即可得到，注意系数。

课程小结直线方程的五种形式及各种形式的局限性点到直线的距离公式两平行直线之间的距离公式对称关系课后作业【基础】1．已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．解析：由已知得l 的斜率存在，设直线l 的方程为3y kx =-． 当0y =时，3x k=． 由题可知，13||(3)62k⨯⨯-=，解得34k =±，所以直线l 的方程为y =±34x －3．2．三角形ABC 的三个顶点A （－3，0）、B （2，1）、C （－2，3），求： （1）BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析：（1）因为直线BC 经过B （2，1）和C （－2，3）两点， 由两点式得直线BC 的方程为：12,2403122y x x y --=+-=---即． （2）设BC 边的中点D 的坐标为(,)x y ，则22130,2,22x y -+==== BC 边的中线AD 过点A （-3，0），D （0，2）两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为132x y+=-，即2360x y -+=． （3）直线BC 的斜率为112k =-，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率22k =，由斜截式得DE 的方程为22y x =+，即220x y -+=．【巩固】3．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0． 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程．解析：解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ， 得交点（-2，2）．又由l ⊥l 3，且332l k =，得到23l k =-， ∴直线l 的方程为22(2)3y x -=-+，即2x +3y -2=0．4．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．解析：∵ AB AC BC === AC BC =， 即ABC ∆是等腰三角形．5.求经过直线772400x y x y +-=-=和的交点，且与原点距离为125的直线方程．解析：设所求直线方程为7724()0x y x y λ+-+-=，即(7)(7)240x y λλ++--=．则125=，解得1λ=±．即所求直线方程为.0124301234=-+=-+y x y x 或【拔高】6．已知点(3,8)A -、(2,2)B ，点P 是x 轴上的点，求当AP PB +最小时的点P 的坐标．解析：（如图）在x 轴上，任取一点P 1， 作B （2，2）关于x 轴的对称点B 1（2，－2）， 连接 P 1B 1，P 1A ，P 1B ，连接AB 1交x 轴于P ， 则111111P A PB P A PB AB +=+≥，又11PA PB PA PB AB +=+=，∴ 11PA PB P A PB +≤+， ∴点P 即为所求， 由直线1AB 的方程：83,2823y x -+=--+ 即220x y +-= 0y =令，则1x =． ∴ 点P 的坐标为（1,0）．7．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．解析： ∵ P 为直线210x y --=上的点， ∴可设P 的坐标为(,21)m m -，由两点的距离公式得222222(1)(21)(1)(21)PM PN m m m m +=-+-+++-210840,m m m R =-+=∈．令2221212()108410()555f m m m m =-+=-+≥，∴ 221,(,)555m P =-时．8．在直线30x y +=求一点P , 使它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等．解析：设点P 的坐标为(3,)t t -=，解之得15t =±． ∴ 点P 的坐标为3131(,)(,)5555--或．9．已知点A 的坐标为(4,4)-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程．解析：（1）设点A ′的坐标为（x ′，y ′）． 因为点A 与A ′关于直线l 对称，所以AA ′⊥l ，且AA ′的中点在l 上，而直线l 的斜率是－3，所以AA k '′＝13． 又因为AA k '＝441,443y y x x ''--=''++所以． 又直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，AA ′中点坐标(44,22x y ''-+)， 所以3·4422x y ''-++－2＝0． 由①和②，解得x ′＝2，y ′＝6． 所以A ′点的坐标为(2，6)．（2）关于点A 对称的两直线l 与l '互相平行，于是可设l '的方程为3x ＋y ＋c ＝0． 在直线l 上任取一点M (0，2），其关于点A 对称的点为M ′（x ′，y ′）， 于是M ′点在l '上，且MM ′的中点为点A ，由此得024,422x y ''++=-=， 即：x ′＝－8，y ′＝6．于是有M ′（－8，6）．因为M ′点在l '上，所以3⨯（－8）＋6＋c ＝0，∴c ＝18． 故直线l '的方程为3x ＋y ＋18＝0 ．。