一元非线性回归分析

案例目标函数可线性化的曲线回归建模与分析1曲线回归常用的非线性目标函数及其线性化的方法在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的，那时就应该用曲线去进行拟合用曲线去拟合数据首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计？解决这一问题的基本思路是：对于曲线回归建模的非线性目标函数y f(x)，通过某种数学变换v v(y)使之u u(x) “线性化”化为一元线性函数v a bu的形式，继而利用线性最小二乘估计的方法估计出参数a和b，用一元线性回归方程V a bu来描述v与u间的统计规律性，然后再用逆1变换y v1(v)还原为目标函数形式的非线性回归方程.x u 1(u)下面给出常用的非线性函数及其线性化的方法.1⑴倒幕函数y a b—x函数图象01 23456789 10605040302010线性化方法1 令v y, u ，贝卩v a bu.x1 b⑵双曲线函数一a -y x 函数图象线性化方法1 1令v —,u —,贝卩v a bu. y x 函数图象262422201816141210860 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10b<0线性化方法令v In y , u 350030002500 . 2000 . 15001000 . 500 .0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10b>11.40 12 3 4 5 6 7 8 9 10b<0 b>0⑶幕函数y ax0<b<1In x，贝卩v a bu.函数图象⑷指数函数y ae bx 函数图象函数图象0 | _______ | ______ i ________ [ _______ i _______ i _______ i ______ [ ______ i ______ i _____ 0123456789100 | ______ [ ______ | _______ | ______ | ______ |_______ |_______ |_______ | _______ | ______ 012345678910b>0 线性化方法令 v In y , u x ，则 v a bu.b>0线性化方法1令v ln y , u ，则 v a bu. x250 1.52001501000.550⑹对数函数y a bln x b<0ae 1^⑸倒指数函数y 函数图象28, . . . .■Giali2.6 .2.4 , 2.2 .2.1.8 .1.6 、1.4 . 1.2 -10.90.80.70.60.50.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1b<0-1b>0 线性化方法令 v y , u In x ,贝卩 v a bu .函数图象e x ，贝卩 v a bu.2曲线回归方程的评价方法对于可选用回归方程形式，需要加以比较以选出较好的方程，常用的准则有: ⑴决定系数R 2-1.5 -2 -2.5 -3 -3.5-4 -4.5 -5 -5.5 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 00.010.020.030.04-68 7.5 7 6.5 65.55 4.5 4 3.530 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0510-5 线性化方法b<0⑺S 型曲线y1 a be x-1定义R 21^称为决定系数.显然R 2 1. R 2大表示观测值y 与拟合值？比较靠近，也就意味着从整体 上看，n 个点的散布离曲线较近.因此选R 2大的方程为好.⑵剩余标准差S定义方和的算术根，自然其值小的方程为好.出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归⑶F 检验（类似与一元线性回归中的 F 检验）F SSR/1SSE/( n 2)其中nSSE(y i ?i )2 , SSR SST SSE.i 13范例与MATLAB 实现【例6.2 ］为了解百货商店销售额 指每元商品流转额所分摊的流通费用） 下表）.s SSE/(n2)称为剩余标准差.s 类似于一元线性回归方程中对的估计.可以将s 看成是平均残差平其实上面两个准则所选方程总是一致的，因为 s 小必有残差平方和小，从而R 2必定大•不过，这两个量从两个角度给出我们定量的概念 .R 2的大小给出了总体上拟合程度的 好坏，s 给出了观测点与回归曲线偏离的一个量值 .所以，通常在实际问题中两者都求n_ 2SST (y i y),x 与流通率（这是反映商业活动的一个质量指标, y之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见1 1.5 7.02 4.5 4.83 7.5 3.64 10.5 3.1 5 13.5 2.76 16.5 2.5 719.52.4表销售额与流通费率数据样本点y —流通费率（% ）x —销售额（万元）8 22.5 2.39 25.5 2.2绘制散点图x=[1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];y二[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.322];0 5 10 15 20 25 30sdt(x,y)76.565.554.543.532.52拟合倒幕函数曲线nli n1(x,y)拟合曲线方程是y=2.2254+7.6213/x剩余标准误差Sy=0.42851可决系数R=0.96733'方差来源’’偏差平方和’’ 自由度’’方差’’F值’'F 临界值’’ 显著性' 回归' [18.7146] [ 1] [18.7146] [101.9186] [ 5.5914] '* *'' 剩余' [1.2854] [ 7] [ 0.1836] [] [12.2464] []'总和’[20][ 8] [] [] [] []?????????8765430 5 10 15 20 25 30拟合幕函数曲线nli n3(x,y)拟合曲线方程是y=8.5173x^-0.42589 剩余标准误差Sy=0.146可决系数R=0.99626方差来源’’偏差平方和’’ 回归’ 剩余' 总和’ [19.8508] [ 1][0.1492] [ 7] [20] [ 8] 自由度’’方差’’F[19.8508] [931.2285] [ 5.5914] [0.0213] [] [12.2464] [] [] [] []值' [] F 临界值' 显著性2拟合指数函数曲线n li n5(x,y)拟合曲线方程是y=2.3957exp(1.7808/x)剩余标准误差Sy=0.6497可决系数R=0.92318方差来源’’偏差平方和’’自由度’’方差’'F值’’F 回归' [17.0452] [ 1] [17.0452] [40.3812] [ 5.5914]'* *' 剩余' [2.9548] [ 7] [ 0.4221] [] [12.2464][] 总和’[20] [ 8] [][] [] []临界值显著性 765拟合对数函数曲线nli n6（x,y）拟合曲线方程是y=1632.5-1.713log(x) 剩余标准误差Sy=0.2762 可决系数R=0.98656'方差来源’’偏差平方和’’ 自由度’’ 方差’’F 值’’F临界值'' 显著性' 回归' [19.4660] [ 1] [19.4660] [255.1773] [ 5.5914] '* *' 剩余' [0.5340] [ 7] [ 0.0763] [] [12.2464] []'总和’[20] [ 8] [] [] [] []?????????6 . -5\4 - l、、\3 - •2 . ・1 I ________________________ E ___________ I____________ I ___________ I ___________ E ___________20 25 300 5 1015【说明】函数nli n1 ，nlin2 ，nlin3 ，nlin4 ， nlin5 ，nlin6 ，nlin7分别用来拟合第一（倒幕函数）、二（双曲线）、三（幕函数）、四（指数函数）、五（倒指数函数）、六（对数函数）、七（S型曲线）种类型曲线求非线性回归的回归方程函数，并在同一个图形中绘制散点图和回归线图.这几个函数的调用方式相同，以第一个函数为例[S,Sy,r2,table]二nlin 1（x,y）输入参数x,y是长度相等的两个向量.输出参数个数可选如果没有输出参数，则在命令窗口中显示回归线方程，剩余标准误差、可决系数、方差分析表，并绘制散点图和拟合曲线图.如果有输出参数，第一个输出参数是拟合曲线方程.如果有两个输出参数，第二个输出参数是剩余标准误差Sy.如果有三个输出参数，第三个输出参数是可决系数. 如果有四个输出参数，第四个输出参数是方差分析表.。