第4章 非线性回归模型的线性化
非线性回归模型的线性化
k 1 beatut yt
k 1 beatut yt
ln
k yt
1
ln b at
ut
令yt
ln
k yt
1
,
b
ln b
yt b at ut
此时可用最小二乘法估计b*和a。
钉螺存活率曲线 （生长曲线模型）
把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检 测存活个数，计算存活率。数据见表。
FOOD
3000
2000
1000
0 0
4000
8000
12000
INCOME 16000 20000
9.0 LOG(FOOD)
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0 LOG(LOG(INCOME))
5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
以1为例
1
yt xt1
线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性
系数的一个分量。
应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产 效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力 投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：
Yˆt
0.035X
1.5 t1
X
0.49 t2
yt ke be at
yt ke be at
曲线的上限和下限分别为k和0 。
当a 0, Limyt k, 当a 0,b 0 , Limyt 0
t
t
曲线有拐点，坐标为 Lnb , k
a e
, 但曲线不对称于拐点。
一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才 可以用最小二乘法估计参数。
4 第四章 非线性回归模型
解：根据经济理论，二者之间的关系可以用双曲线模 型来表示
1 y = β 0 + β1 + µ x
令 则
z = 1 x
y = β 0 + β1 z + µ
运用Eviews进行回归, 操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation, 输出结果如下： 输出结果如下4.1.2
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线 例如， 拉弗曲线：抛物线 拉弗曲线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设 z1 = r， z2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b z1+ c z2 c<0
例4.1.1 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和 总成本如下表（表4.1.1），试用回归分析法确定其 成本函数。 表4.1.1
∧
∧
即
1 x
s = (1.0086)（4.6794) t = (−0.2572)（4.3996**)
3、半对数模型和双对数模型 、 把函数形式为
ln y = β0 + β1x + µ
（4.1.5） (4.16)
y = β + β ln x + µ
称为半对数模型。 把函数形式为
ln y = ln β0 + β1 ln x + µ
第四章 非线性 回归模型
前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经 济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关 系。由此建立线性回归模型进行线性回归分析。这里 所说的线性是指：（1）解释变量线性。（2）参数线 性。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间 的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析， 所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模 型是非线性的，称为非线性模型(Non-linear Model)。 非线性模型的参数如何进行估计，如何进行分析，是 本章所要讨论的问题。
计量经济学基础-非线性回归模型
第四节 非线形回归模型一、 可线性化模型在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。
在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。
1．倒数模型我们把形如:u xb b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。
设：xx 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。
倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。
有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。
2．对数模型模型形式：u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2）(该模型是将ub e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。
上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。
因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。
令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3）变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。
模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：xdx y dy x d y d b //)(ln )(ln 1== （3.4.4） 它表示x 变动1%，y 变动了多少，即变动了1b %。
模型适用对象：对观测值取对数，将取对数后的观测值（lnx ，lny ）描成散点图，如果近似为一条直线，则适合于对数线性模型来描述x 与y 的变量关系。
计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是非线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。
可采用非线性方法进行估计。
估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。
计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。
专用软件使这种计算变得非常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。
其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。
称此类模型为可线性化的非线性模型。
下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴ 指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表示随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t 和y t 的关系是非线性的。
令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶ 幂函数模型y t = a x t b t u e (4.6)b 取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
非线性回归模型的线性化
例4.2：天津市GDP函数
Yˆ t
Yˆt = -10.46 + 1.02 X1t + 1.47 X2t
(-8.1) (34.7)
(6.2)
R2 = 0.9986, DW = 1.7, N = 17
因为1.02 + 1.47= 2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。
3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要 求掌握）
则可将原模型化为标准的线性回归模型：
Y i* 0 1 X 1 * i 2 X 2 * i k X k * i u i
2019/11/30
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例４.２ ：天津市GDP函数(教材第95页)
对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型
Yi AKiLi eui i1,2, ,n
另一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
如柯布－道格拉斯生产函数模型：Yi AKiLi eui
3 如果被解释变量Y与解释变量 X1,X2, ,Xk和未 知参数 0,1, ,p 之间都不存在线性关系，而且 也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归 模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性 化的非线性回归模型．
5
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
浅谈非线性回归模型的线性化
浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。
高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。
但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。
一、什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y 可以表示成解释变量i x (i =1，2，3，……)的如下形式：0112233y a a x a x a x =++++，其中变量ix 是以其原型(而不是以ni x 或其它)的形式出现，变量y 是各变量i x 的线性函数。
而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。
在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。
二、非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。
如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数2R 进行拟合效果分析，2R 越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。
三、非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：(1)双曲线型，其形式为1a b y x =+，其变换为1y y '=， 1x x'=，变换后的形式为y b ax ''=+ (2)幂函数型，其形式为by ax = ，可以变形为ln ln ln y a b x =+，作变换ln y y '= ，ln x x '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(3)指数函数型，其形式为bxy ae = ，以变形为ln ln y a bx =+，作变换ln y y '=，ln a a '= ，变换后的形式为y a bx ''=+(4)对数函数型，其形式为ln y a b x =+，作变换ln x x '=，变换后的形式为y a bx '=+ 下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x 的地震个数y 数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。
非线性回归模型的线性化讲解
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
（2） 双曲函数模型
1 1 ui 双曲函数模型的一般形式为： Yi Xi 1 1 令 * * Yi , Xi Yi Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi X ui
* * i
双曲线函数还有另一种表达方式，
ln GDP i ln A ln Ki ln Li ui
Yi ln GDP i , X 1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i ui
Z p f p ( X1, X 2 ,, X k )
Y 0 1Z1 2 Z2 p Z p u
7
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型 （1）多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi 0 1 X i 2 X i2 k X ik ui
首先对上式做倒数变换得：
1 e X i ui Yi
令
1 Yi , X i* e X i Yi
*
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi* X i* ui
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2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型 （1）指数函数模型
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化25页
（1）指数函数模型
Yi AebXiui 取对数 ln Y i ln AbiX ui
令
Y* i
lnYi,alnA则
Yi*abX i ui
（2）幂函数模型
Y i A1 i1 X X 2 2 i1 X k kieui
lY i n lA n 1 lX n 1 i 2 lX n 2 i k lX n k i u i
2. 非线性回归模型可分为几类？
第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。
第一节 变量间的非线性关系
第一类：非标准的线性化模型 Y与解释变量 X1,X2,,Xk 之间不存在线性关系，
但与未知参数 0,1,2,之,间p 存在线性关系。
Y 01f1 (X 1 ,X 2 , ,X k)2f2 (X 1 ,X 2 , ,X k) 举例：总成 本 函数pf模k(X 型1 ,X 2 , ,X k) u
C 01 X 2 X 23 X 3 u
第一节 变量间的非线性关系
第二类：可线性化的非线性回归模型
此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。 如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简 称C-D生产函数模型：
YA K Leu
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入
Y i AiK L ieui,i1 ,2 , ,n
其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u 表示随机误差项，A、、为未知参
数。试利用天津市1980年~2019年间的有关统计资 料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。
第二节 线性化方法
3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法
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令
LZ1 f1(X1, X2,L , Xk ) Z2 f2(X1, X2,L , Xk )
Z p f p (X1, X2,L , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模 型
Y 0 1Z1 2Z2 L pZ p u
令 Yi ln GDPi , X1i ln Ki , X 2i ln Li
0 ln A, 1 , 2
则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回 归模型
对上式两边取对数得到：
ln Yi ln A 1 ln X1i 2 ln X 2i L k ln X ki ui
令
Yi*
ln Y , 0
ln
A,
X
* 1i
ln
X1i
,
X
* 2i
ln X 2i ,L
,
X
* ki
ln X ki
则可将原模型化为标准的线性回归模型：
ln Yi ln A bXi ui
令Yi* ln Yi , ln A
则可将原模型化为标准的线性回归模型；
Yi* bX i ui
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（2）幂函数模型
幂函数模型的一般形式为：
Yi
AX
1 1i
X
2 2i
L
X e k ui ki
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4.2线性化方法
1非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p fp (X1, X2,L , Xk )
参数。试利用天津市1980年~1996年的有关统
计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型
。
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首先建立天津市的C-D生产函数模型
GDPi AKi Li eui i=1，2……，17
两边取对数得到：
ln GDPi ln A ln Ki ln Li ui
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2 双曲函数模型
双曲函数模型的一般形式为：
1 Yi
1 Xi
ui
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
1 Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
* i
ui
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3 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为：
其中 f1,L , f p 是关于 X1, X 2 ,L , X k 的p个已知的非 线性函数，0, 1,L , p 是（p+1）个未知参数
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2 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k和未 知参数 0, 1,L , p 之间不存在线性关系，但是可 以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
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线性模型的含义 线性模型的基本形式是:
Y 0 1 X1 2 X 2 ......
其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相 乘的形式。
线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2或
X 之类的函数形式出现在模型中。
2
（2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。
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非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k之间
Yi ln Xi ui
令
X
* i
ln
Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi
X
* i
ui
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4 S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为：
1
Yi e Xi ui
首先对上式做倒数变换得：
1 Yi
eXi
，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非
线性回归模型
3 如果被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k 和未 知参数 0, 1,L , p 之间都不存在线性关系，而且 也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归 模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性 化的非线性回归模型
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下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线 性回归模型
1多项式函数模型
多项式函数模型的一般形式为：
Yi
0
1 X i
2
X
2 i
L
k
X
k i
ui
令
Z1i
Xi , Z2i
X
2 i
,L
, Zki
X
k i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y 0 1Z1i 2Z2i L k Zki ui
Yi*
0
1
X
* 1i
2
X
* 2i
L
k
X
* ki
ui
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例：对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型
Yi
AK
i
Li
eui
i 1, 2,L , n
其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳
动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知
ui
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
e Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
* i
ui
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中山学院经的线性化方法 下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的
非线性回归模型 （1）指数函数模型 指数函数模型的一般形式为
Yi AebXi ui 对上式两边取对数得到
不存在线性关系，但与未知参数 0, 1,L , p 之间 存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被 称为非标准线性回归模型。
其一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p fp (X1, X2,L , Xk )