虚位移原理

F r
i 1 i
n
i
0
虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的
质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所
有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
证明必要性： 平衡
F r
i 1 i
n
i
0
ri Fi
i
Fi FNi 0 (i 1,, n)
（2）建立位移之间的几何关系，由图
b 2a cos c a sin X db P 3dc
P 3 cot X 2
（3）求未知力FX，将几 何关系代入虚功方程
3 FX FP cot 2
（4）结论：几何关系的推导是关键
计算中只出现主动力
2. 应用虚功原理求静定结构的约束力—单位支座位移法
P b X a
FX X FP P 0
FX b FP a
为常数
则
为方便计算，设δX=1，如图(c)。
例3-15 图示机构在F点作用已知荷载FP。试求机构平衡时在B
点需加的力FX。已知CA、CB、CD、CE、FD、FE各线
段的长度为a。 解 （1）建立虚功方程
FX X FP P 0
B
O
m2 g
m3 g
F
FNB
Foy
Fox
FL M 0
四、虚位移原理的广义坐标形式
例题:已知各长为L，重为W ，求维持平衡所需力F 的大小?
y

5
解： W i Fi ri 0
1

2
3
4
2W
2W
2W
2W
F 不 计 摩 擦
Fi Fix i Fiy j
ri xi i yi j

C a

C b
（3）令图(b)的主动力在图(c)的虚
位移上作功 ，虚功方程为
M C ( ) M 0
解得
b MC M l
例3-18 试求图示简支梁截面C的剪力FQC。 解（1）撤除与FQC相应的约束， FQC 变成主动力，如图(b)。 （2）取虚位移如图(c)。 （3）令图(b)的主动力在图(c)虚位移 上作功。虚功方程为
•非定常约束(unsteady constraint)： 约束方程中显含时间t 的约束
广义坐标与自由度
•广义坐标(generalized coordinate)： 确定系统位置的独立参数。 •自由度数（degree of freedom)： 广义坐标的数目 (条件：具有双面、完整约束 的质点系) 自由度：k 确定系统位置的参数数目：N 独立的约束方程数：s
图(a)为一静定梁，拟求支座A的反力FX。
撤除与FX相应的约束，把静定
结构变成机构，如图(b)。可用虚功 原理求支座未知反力。
结论：撤除与FX相应的约束，结构变成机构，约束力变成主动力 机构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，写出虚功方程 确定几何关系，求FX—几何方法求解静力平衡问题。
例3-16 试求图示静定多跨梁在C点的支座反力FX。设荷载FP1 和
r xi yj zk
W Fxx Fyy Fzz
理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
F
i 1
n
Ni
ri 0
三、虚位移原理 (virtual work principle)
§3-8 刚体体系的虚功原理
1. 虚功原理：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符 合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作 的虚功总和恒等于零。 虚设位移求未知力：图(a)所示杠杆， 在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A 点需加的未知力FX。 作虚位移如图(b)，虚功方程为 令 P
n
F r
i 1 i
i
0
rA
rC
1
A

M
[rA ]AB [rB ]AB
rC
m2 g
2
m1 g
O

rB
B
F
rA rB
rA rB L
FrB M 0
m3 g
W 0
FL M ( FL M ) 0
今天不交作业
下周收
虚位移原理
讲授：张系斌
结 构 力 学
长江大学 城建学院土木工程系
约束及其分类
一、约束与约束方程
•约 束(constraint)：限制物体运动的条件
•约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式
x
xA
A
x
xA sin t
x
l
yBaidu Nhomakorabea
2 2
l
M
M
l
y
M
y
2
(F x F y ) 0
ix i iy i
x
(4WL sin 4FL cos ) 0
令： Q
x, y
Qq 0 q 0
( 4WL sin 4 FL cos )
q
Q0
F W tan
若系统有 k 个自由度，虚位移原理可表示为
2、必须满足约束条件 3、是无限小的，不是有限位移 4、虚位移不只有一个或一组
[rA ]AB [rB ]AB
{rA , rB } {rA , rB }
二、虚功
W F r
• 虚功（virtual work)： 作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功。
F Fx i Fy j Fz k
(F F
i 1
i
n
Ni
) ri 0
F r F
i 1 i i i 1
n
n
Ni
ri 0
FNi
|| 0
例：已知 OA=L，求 系统在图示位置平衡 时，力偶矩M与力F 的关系（不计摩擦）
A
900
m1 g
O
C1
M

C2
m2 g

m3 g
B
F
基本步骤： 1. 确定系统是否满足原理的应用条件 2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
2什么是虚功
3什么是虚位移原理的适用条件
•虚位移（virtual displacement)： r
在给定瞬时，质点或质点系为 约
一、虚位移
束容许 的 任何 微小位移。
rA
A
rA
90
0
rA

A
rA

rB
B
O
rB
O

rB
B rB
虚 位 移 特 点
1、不同瞬时或位置，虚位移不同
FQC (a b ) q ydx q ydx 0
A C2 C1 B
解得
FQC
q (b a ) 2
作业：
用虚位移原理求支座Ｂ的反力。 P A l B l C l m D
谢谢！
0
LF M 0
M LF
A
900
研究OA杆
m1 g
O
C1
M

C2
M
F
o
0
m2 g

m3 g
B
FAx L M 0 (1)
研究AB杆和滑块B
F 0
x
FAy F Ax
A A
F Ax
FAx F 0 (2)
C2
m1 g
C1
M
FAy
( 2) ( L ) (1)
FP2 等于常数FP 。 解（1）撤除支杆C，FX变成主 动力，体系变成机构，如图(b) （2）取图(c)虚线所示机构的刚
体体系位移作为虚位移，
设δx=1。 （3）由虚功方程求得
3 FX FP 4
例3-17 试求简支梁截面C的弯矩MC。 解 （1）撤除与MC相应的约束，MC 变成主动力，如图(b)。 （2）取虚位移如图(c)，可见
Q q
j 1 j
k
j
0
Q j 称为对应于广义坐标 q j 的广义力
Q q
j 1 j
k
j
Wi 0
i 1
n
由于广义坐标是独立的，因此 q j也是独立的。
Q j 0, ( j 1,2, , k )
广义坐标形式的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理 想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是： 该质点系所有的广义力均为零。
k N s
z
L
M
y
x
x y z L
2 2 2 2
yA
o
A
x

l
B
例: 确定系统的自由度和广义坐标。
y
A B
C
D
确 定 图 示 系 统 的 自 由 度
6
用“新”的原理 研究质点系的平衡问题
虚位移原理
F
1什么是虚位移；
i
ri 0
虚位移原理是静力学的普遍原理，它给 出了质点系平衡的充分和必要条件。
x y l
x y l
2 2
2
( x sin t )2 y 2 l 2
二、约束的分类
xA
A
x
x
xA sin t
x
l
y
2 2
l
M M
y
2
y
2 2
2
M
x y l
x y l
2
( x sin t ) y l
2
2
•双面约束(bilateral constraint)： 约束方程为等式的约束 •单面约束(unilateral constraint)：约束方程为不等式的约束 •定常约束(steady constraint)：约束方程中不显含时间t 的约束