4-2二元方差分析剖析
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总离差平方和(总离差)
2
QT ( X ij X )2
r s
( X X X X ) ( X X ) ( X X ) ij i j i j
i 1 j 1
s ( X i X )2 r ( X j X )2
i 1
r j 1
r
s
( X ij X i X j X )2
i 1 j 1
s
QT
Q A QB Q E
因子 B 引起的离差 误 差 平方和
因子 A 引起的离差
当H 01 : 1 2 r 0为真时,
2.研究统计特性
自由度
H02 : 1 2
Q A 2 r 1 FA ～F r 1, r 1 s 1 . 2 QE r 1 s 1
i 1,2,, r , j 1,2,, s , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立,
X ij ij ij ,
由于不存在交互作用, ij 0, ij i j .
X ij i j ij , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立, i 1,2,, r , j 1,2,, s , r s i 0, j 0. i 1 j 1
2 2 i 1 j 1 r i 1
i 1 j 1 r ni
i 1 j 1 r
QE ( X ij X i )2 —组内离差平方和 i 1 j 1 （误差平方和） QA ( X i X )2 ni ( X i X )2
i 1 j 1
r
ni
r
i 1 j 1 i 1 j 1
2 ( X ij X i )( X i X )
i 1 j 1
r
ni
0
2 QT ( X ij X )2 X i2 nX j
r
ni
r
ni
( X ij X i ) ni ( X i X ) QE QA
设有两个因子A、B,因子A有r 种水平A1 , A2 , , Ar， 因子B有s种水平B1 ,B2 , ,Bs。 在A、B的每一种组合水平Ai B j上作一次实验， 实验结果为X ij，i 1 , 2 , ,r ; j 1, 2 , ,s, 所有X ij 相互两独立，列表如下。
表
因子B 因子A A1
总变异 = 组间变异 + 组内变异
各因素引起 由个体差异引起 （误差）
QT ( X ij X )2
i 1 j 1 r ni
r
ni
( X X ) ( X X ) ij i i
i 1 j 1 r ni r ni
2
( X ij X i )2 ( X i X )2
因子A( B )在水平Ai ( B j ) 的效应 , 表示水平Ai ( B j ) 在总体平均数上引起的 偏差.
双因素无重复试验方差分析的数学模型
检验假设
H 01 : 1 2 r 0, H 11 : 1 , 2 ,, r 不全为零.
H 02 : 1 2 s 0, H 12 : 1 , 2 ,, s 不全为零.
2 A
FS
S
2 E
第二节
二元方差分析
一、非重复试验二元方差分析 二、重复试验二元方差分析 三、小结
一、非无重复试验二元方差分析
讨论两个因素对实验结果的影像是否显著。
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用. 对两个因素的每一组合只做一次试验, ——非重复试验二元方差分析.
方差分析就是把总的试验数据的波动分成 1、反映因素水平改变引起的波动。 2、反映随机因素所引起的波动。 然后加以比较进行统计判断，得出结论。
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值 的离差平方和分解成几部分，每一部分表示某 因素诸水平及交互作用所产生的效应，将各部 分均方与误差均方相比较，从而确认或否认某 些因素或交互作用的重要性。 用公式概括为：
s 0为真时
服从分布
1
QA QB
r 1
2 Q (r 1) A 2
s 1
1
1
2 Q ( s 1) B 2
QE ( r 1)( s 1) QT
rs 1
2 Q ( r 1 )( s 1 ) E 2
3.确定拒绝域
当H 01 : 1 2 r 0为真时,
A2 B1 X 11
X 21
4.6
B2 X 12
X 22
Bs X 1s X 2s X rs
Xi X1
X2
Xr
Ar
X• j
X r1
X1
X r2
X2
X• s
X
假设
X ij～N ( ij , 2 ), i 1,, r , j 1,, s. 各 X ij 独立, ij , 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ均为未知参数.
ni
r
i 1
ni X i 2 nX 2
i 1
—组间离差平方和 （效应平方和）
单因素试验方差分析表 方差来源 离差平方和自由度 均方离差 QA 因素的影响 2 QA SA r 1 (组间) r 1 Q 2 QE 误差(组内) n r SE E nr QT n1 总和 F 值
检验步骤 1. 分解平方和; 2. 研究统计特性; 3. 确定拒绝域.
1.分解平方和
1 X i X ij s j 1 1 r X j X ij r i 1
r s i 1 j 1 s
i 1, 2 , ,r
j 1, 2 , ,s
1 r s X X ij rs i 1 j 1 1 r 1 s X i X j r i 1 s j 1
2
QT ( X ij X )2
r s
( X X X X ) ( X X ) ( X X ) ij i j i j
i 1 j 1
s ( X i X )2 r ( X j X )2
i 1
r j 1
r
s
( X ij X i X j X )2
i 1 j 1
s
QT
Q A QB Q E
因子 B 引起的离差 误 差 平方和
因子 A 引起的离差
当H 01 : 1 2 r 0为真时,
2.研究统计特性
自由度
H02 : 1 2
Q A 2 r 1 FA ～F r 1, r 1 s 1 . 2 QE r 1 s 1
i 1,2,, r , j 1,2,, s , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立,
X ij ij ij ,
由于不存在交互作用, ij 0, ij i j .
X ij i j ij , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立, i 1,2,, r , j 1,2,, s , r s i 0, j 0. i 1 j 1
2 2 i 1 j 1 r i 1
i 1 j 1 r ni
i 1 j 1 r
QE ( X ij X i )2 —组内离差平方和 i 1 j 1 （误差平方和） QA ( X i X )2 ni ( X i X )2
i 1 j 1
r
ni
r
i 1 j 1 i 1 j 1
2 ( X ij X i )( X i X )
i 1 j 1
r
ni
0
2 QT ( X ij X )2 X i2 nX j
r
ni
r
ni
( X ij X i ) ni ( X i X ) QE QA
设有两个因子A、B,因子A有r 种水平A1 , A2 , , Ar， 因子B有s种水平B1 ,B2 , ,Bs。 在A、B的每一种组合水平Ai B j上作一次实验， 实验结果为X ij，i 1 , 2 , ,r ; j 1, 2 , ,s, 所有X ij 相互两独立，列表如下。
表
因子B 因子A A1
总变异 = 组间变异 + 组内变异
各因素引起 由个体差异引起 （误差）
QT ( X ij X )2
i 1 j 1 r ni
r
ni
( X X ) ( X X ) ij i i
i 1 j 1 r ni r ni
2
( X ij X i )2 ( X i X )2
因子A( B )在水平Ai ( B j ) 的效应 , 表示水平Ai ( B j ) 在总体平均数上引起的 偏差.
双因素无重复试验方差分析的数学模型
检验假设
H 01 : 1 2 r 0, H 11 : 1 , 2 ,, r 不全为零.
H 02 : 1 2 s 0, H 12 : 1 , 2 ,, s 不全为零.
2 A
FS
S
2 E
第二节
二元方差分析
一、非重复试验二元方差分析 二、重复试验二元方差分析 三、小结
一、非无重复试验二元方差分析
讨论两个因素对实验结果的影像是否显著。
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用. 对两个因素的每一组合只做一次试验, ——非重复试验二元方差分析.
方差分析就是把总的试验数据的波动分成 1、反映因素水平改变引起的波动。 2、反映随机因素所引起的波动。 然后加以比较进行统计判断，得出结论。
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值 的离差平方和分解成几部分，每一部分表示某 因素诸水平及交互作用所产生的效应，将各部 分均方与误差均方相比较，从而确认或否认某 些因素或交互作用的重要性。 用公式概括为：
s 0为真时
服从分布
1
QA QB
r 1
2 Q (r 1) A 2
s 1
1
1
2 Q ( s 1) B 2
QE ( r 1)( s 1) QT
rs 1
2 Q ( r 1 )( s 1 ) E 2
3.确定拒绝域
当H 01 : 1 2 r 0为真时,
A2 B1 X 11
X 21
4.6
B2 X 12
X 22
Bs X 1s X 2s X rs
Xi X1
X2
Xr
Ar
X• j
X r1
X1
X r2
X2
X• s
X
假设
X ij～N ( ij , 2 ), i 1,, r , j 1,, s. 各 X ij 独立, ij , 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ均为未知参数.
ni
r
i 1
ni X i 2 nX 2
i 1
—组间离差平方和 （效应平方和）
单因素试验方差分析表 方差来源 离差平方和自由度 均方离差 QA 因素的影响 2 QA SA r 1 (组间) r 1 Q 2 QE 误差(组内) n r SE E nr QT n1 总和 F 值
检验步骤 1. 分解平方和; 2. 研究统计特性; 3. 确定拒绝域.
1.分解平方和
1 X i X ij s j 1 1 r X j X ij r i 1
r s i 1 j 1 s
i 1, 2 , ,r
j 1, 2 , ,s
1 r s X X ij rs i 1 j 1 1 r 1 s X i X j r i 1 s j 1