1987年全国统一高考数学试卷(理科)

1987年全国统一高考数学试卷（理科）

1987年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S ∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）

A．X B．T C．φD．S

2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．

3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（）

A．|a+b|＞|a﹣b| B．|a+b|＜|a﹣b| C．|a﹣b|＜||a|﹣|b|| D．|a﹣b|＜|a|+|b|

4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交

那么（）

A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件

5．（3分）函数f（x）是R 上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log 2，则f（x）在区间（1，

2）上是（）

A．减函数，且f（x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0 C．减函数，且f（x）＞0 D．增函数，且f（x）＞0 6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A．

向左平行移动B．

向右平行移动

C．

向左平行移动

D．

向右平行移动

7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）

A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（）

A．B．C．D．

二、解答题（共14小题，满分96分）

9．（4分）求函数的周期．

10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．

11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．

12．（4分）求极限

13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．

14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．16．（10分）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

17．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC 的体积V=L2h．

18．（12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．

19．（12分）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．

证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）

20．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是，其中b是与n

无关的常数，且b≠﹣1．

（1）求a n和a n﹣1的关系式；

（2）写出用n和b表示a n的表达式；

（3）当0＜b＜1时，求极限．

21．（10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

22．（1）求极限．

（2）设y=xln（1+x2），求y'

1987年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）

A．X B．T C．φD．S

考点：并集及其运算．

分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．

解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，

由并集的意义，

易得S∪X=S，

故选D．

点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．

2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．

考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题．

分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．

解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，

根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为

故选C

点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．

3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（）

A．|a+b|＞|a﹣b| B．|a+b|＜|a﹣b| C．|a﹣b|＜||a|﹣|b|| D．|a﹣b|＜|a|+|b|

考点：基本不等式．

分析：选择题无需证明，想到取特殊值进行验证，答案便知．

解答：解：用赋值法．令a=1，b=﹣1，代入检验；

A选项为0＞2不成立，

C选项为2＜0不成立，

D选项为2＜2不成立，

故选B．

点评：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，﹣1等），往往能使问题获得简捷有效的解决．

4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交

那么（）

A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件

考点：空间中直线与直线之间的位置关系．

分析：由甲推导乙，判断是否成立；然后由乙推导甲，再判断是否成立．则问题解决．

解答：解：点E，F，G，H不共面⇒直线EF和GH不相交，（因为若直线EF和GH相交，则点E，F，G，H共面．）；

反之，若直线EF和GH不相交，则直线EF和GH可能异面、也可能平行．若直线EF和GH平行，则点E，F，G，H共面．

所以甲是乙的充分条件，但不是必要条件．

故选A．

点评：本题考查空间中两直线的位置关系及如何由线定面，同时考查充分条件和必要条件的含义．

5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f（x）在区间（1，

2）上是（）

A．减函数，且f（x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0 C．减函数，且f（x）＞0 D．增函数，且f（x）＞0

考点：函数的单调性及单调区间．

专题：计算题．

分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．

解答：

解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2，

又f（x）=﹣f（x），∴f（x）=log2（1+x），

∴1＜x＜2时，﹣1＜x＜﹣2＜0，

∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．

∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．

故选B．

点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A．

向左平行移动B．

向右平行移动

C．

向左平行移动

D．

向右平行移动

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：常规题型；压轴题．

分析：

假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到

y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=

∴ρ=﹣

∴应向右平移个单位