2017届南通二模

南通市2017届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．

【答案】12-

2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．

【答案】{|02}x x <<

3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放

的概率是 ▲ ． 【答案】56

4． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．

【答案】3

5． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用

分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】7500

6． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】110

7． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ．

8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a

-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．

（第4题）

9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．

【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】1

11．若正实数x y ，满足1x y +=，则4

y x y

+的最小值是 ▲ ． 【答案】8

12．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，

3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上

的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，

则

PB

的最大值是 ▲ ． 【答案】2

14．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，

，，

若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数

a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)2

-，

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）

已知函数()

π()sin 3

f x A x ω=+（00A ω>>，

）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，

且经过点π(3．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若角α

满足π()()12

f αα-=，(0π)α∈，

，求角α的值．

（第12题）

（第16题）

B

C

D

P M N

【解】（1）由条件，周期2πT =，

即2π2πω

=，所以1ω=，即()

π()sin 3f x A x =+． …… 3分

因为()f x

的图象经过点π(3，

所以2πsin 3A =1A =，

所以()

π()sin 3

f x x =+．

…… 6分

（2）由π()()1

2

f αα-=，

得()(

)πππsin 1332αα++-=，

…… 8分 即()()ππsin 133

αα++=，

所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣

⎦，即1sin 2α=． …… 12分

因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6

． …… 14分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．

【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分

又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，

所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，

所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，

所以AM ⊥PD ． …… 8分

因为平面P AD ⊥平面ABCD ，

（第17题）

又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，

所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分

又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD

PD D =，

所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过

点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．

若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF

【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪

+=⎨⎪⎪=+⎩，，，

…… 3分

解得2

243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，

所以椭圆的标准方程为22143

y x +=．

(5)

分

方法二：由题意，知24a ，

所以2a =． …… 2分 又1c =，

222a b c =+，所以b =，

所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分

（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．

① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分

② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，