数值分析第4章答案

第四章数值积分与数值微分

1•确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

h

(1) J(x)dx ： A」f(-h) A o f(O) Af(h);

2h

⑵ N h f(X)dx ： A」f (-h) A o f(O) A i f (h);

1

(3) I f(X)dx : [f(-1) 2f(X1) 3f(X2)]/ 3;

h

2

⑷O f(x)dx h[f(0) f (h)]/ 2 ah [ f (0^ f (h)];

解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

h

(1)若⑴」f(x)dx ： A」f (-h) A o f(O) A1f (h)

令f (x) =1 ,则

2h = A」A0 A

令f (X) = X ,贝U

0 = -A jl h Ah

2

令f (X) =X ,则

2 3 2 2

h ^hA J h A1

3

从而解得

A。=4h

3

1

M^-h

3

1

A4 = h

L 3

令f (X) = X3,则

h h

f (x)dx x3dx = 0

'-h ∙h

A∕( - h) A√(0) A1f(h)=0

h

故f(x)dx = A/(-h) A0f(0) A1f (h)成立。令f (x) = χ4,则

h

h

4

2 5 f (x)dx X dx h '- '^h

5

2

5

A J f^h) A o f (0) A i f(h)

h 3

故此时，

h

山 f(x)dx = A 」f(-h) A o f(O) Af(h)

h

故」f(x)dx ： A J f^h) A o f(O) A 1f (h) 具有3次代数精度。

2h

(2) 若 Nh f(x)dx ： A 」(-h) A O f(O) A 1f(h) 令 f (x) =1 ,则

4h 二 A 』A 0 A

令 f (X) = X ,贝U

0 = -AJh Ah

令 f (X) = X 2

,则

从而解得

A 0V

8

A 4

h 3

A∕( - h) Λ√(0) Af(h)=0

2h

故.^f(x)dx=A∕(-h) A√(0) A i f (h) 成立。 令 f (X) =X 4 ,则

2h

2h

4

64 5 f(x)dx XdX h

■ 2h

2h

5

令 f (X)=X ,则

16

h 3=h 2

A

-J

h 2A 1 2h Qh f(X)dx =

2h Lh

x 3

dx = 0

16 5

A J f^h) A o f (0) Aιf(h) h5

3

故此时，

2h

N h f(X)dx =A/(_h) A O f(Q) Aιf(h)

因此，

2h

N h f(X)dx： A」f(-h) A o f(Q) Af(h)

具有3次代数精度。

1

(3)若Lf(X)dx Hf(-1)+2f(M)+3f(x2)]∕3

令f (X) =1 ,则

1

」(x)dx=2=[f(-1) 2f(x1) 3f(X2)]/3

令f (X) = X ,贝U

Q = -1 2 音3x2

令f (X) = X2,则

2 =1 2x2 3x2

从而解得

x1=-0.2899 ^x1 =0.6899

「或「

X2 =0.5266 X2 =0.1266

令f (X) =X3,则

1 1 3

Jl f (x)dx X dx = 0

[f(-1) 2f(X1) 3f(X2)]∕3 =0

1

故J(x)dx =[f(-1) 2f(x1) 3f(x2)]∕3 不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。

h 2

(4)若Q f (x)dx 常h[f(0) +f(h)]∕2 +ah2[f (0) —

f (h)]

令f (x) =1 ,则

h

O f(X)dx =h,

h[ f (0) f (h)]/ 2 ah 2[ f

(0)

:f (x)dx = : XdX = I h 2

h[ f (0) f (h)]/ 2 ah 2

[ f (0)

令 f (X)=X 2

,则

h

h 2

1 3

O f (x)dx = 0 X dx h

故有

1,3 1,3

2

h h -2ah 3 2

1 a =

12

令 f (X) =X 3 ,则

h

0 f(x)dx 二

∖

3dx A 4 1 2 h[f(0) f(h)]/ 2 =h 2

[f (O) -f (h)] 12

^h^Ih 4

4 Ji/

4

令 f (X) = X 4

,则 h h 4 1 5 O f (x)dx = 0 X dx h 1

h[ f (0) f (h)]/ 2 =h 2[f (0) - f (h)] 12 =1h 5-1h 5 2 3 = 1h 5

6

故此时， h 1 2

f (x)dx = h[ f (0) f(h)]/2 h 2[f (0) - f (h)], 0

12

1 -

h 1 2 因此，J (X )dx W (O)讪2

存[「(0)")]

具有3次代数精度。

2•分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

-f (h)∏ h

1 2

-

f(h)]

Y h

h[ f (0) f (h)]/ 2 ah 2

[ f (0)

-f (h)] =1h 3 _2ah 2

2