应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章
应用数值分析(第四版)张明主编文世鹏主审课后答案
5
1 1
1
1 1 1
4 1
解：由 x=sy 得
y-4=s-1x=
1 11
1 1 1
1 1 1
1 11
2 1 1
4 1
4 1
4
8、在 P2 (t ) 中向量 P2 (t ) 1 t 2t 2 ，取基 S t 1, t 2, t 2 ，求 P2(t)在基下的坐标 。
10、试导出计算积分
In
1 0
xn dx
1 4x
(n
1, 2, 3, 4) 的递推计算公式
In
1 4
1 ( n
In1 )
，用此递
推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解： In
1 0
xn dx
1 4x
1 4
1 0
4xn
xn1 1 4x
x n1 dx
11 (
40
x n1dx
设 A 是单位上（下）三角阵。证 A-1 也是单位上（下）三角阵。 证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，∴A 可逆，即 A-1 存在，记为（bij）n×n
n
由 A A-1 =E，则 aijb jk ik （其中 aij 0 j＞i 时， aii 1） j 1
故 bnn=1, bni=0 (n≠j) 类似可得，bii=1 (j=1…n) bjk=0 (k＞j) 即 A-1 是单位上三角阵 综上所述可得。Rn×n 中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三 角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系。
2x2
1 2x 1 x (1 2x)(1 x)
（3） (1 cos x) sin2 x
(完整word版)应用回归分析,第9章课后习题参考答案
第9章 含定性变量的回归模型思考与练习参考答案9.1 一个学生使用含有季节定性自变量的回归模型,对春夏秋冬四个季节引入4个0—1型自变量，用SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个自变量，他为此感到困惑不解。
出现这种情况的原因是什么？答：假如这个含有季节定性自变量的回归模型为:t t t t kt k t t D D D X X Y μαααβββ++++++=332211110其中含有k 个定量变量,记为x i 。
对春夏秋冬四个季节引入4个0—1型自变量，记为D i ，只取了6个观测值,其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则样本设计矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000110010110001010010010100011)(616515414313212111k k k k k k X X X X X X X X X X X XD X,显然，(X ，D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X ，D)不满秩,参数无法唯一求出。
这就是所谓的“虚拟变量陷井",应避免。
当某自变量x j 对其余p —1个自变量的复判定系数2j R 超过一定界限时,SPSS 软件将拒绝这个自变量x j 进入回归模型.称Tol j =1—2j R 为自变量x j 的容忍度（Tolerance ），SPSS 软件的默认容忍度为0。
0001。
也就是说，当2j R ＞0.9999时,自变量x j 将被自动拒绝在回归方程之外，除非我们修改容忍度的默认值。
而在这个模型中出现了完全共线性，所以SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个定性自变量。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k βββ 10β⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321ααααα9。
2对自变量中含有定性变量的问题，为什么不对同一属性分别建立回归模型,而采取设虚拟变量的方法建立回归模型？答：原因有两个，以例9.1说明。
一是因为模型假设对每类家庭具有相同的斜率和误差方差,把两类家庭放在一起可以对公共斜率做出最佳估计；二是对于其他统计推断，用一个带有虚拟变量的回归模型来进行也会更加准确，这是均方误差的自由度更多。
应用回归分析第四版答案
应用回归分析第四版答案【篇一：应用回归分析人大版前四章课后习题答案详解】应用回归分析（1-4章习题详解）（21世纪统计学系列教材，第二（三）版，何晓群，刘文卿编著中国人民大学出版社）目录1 回归分析概述 ....................................................................................................... (6)1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ (6)1.2 回归分析与相关分析的区别与联系是什么？ (7)1.3回归模型中随机误差项?的意义是什么？ (7)1.4线性回归模型的基本假设是什么？ (7)1.5 回归模型的设置理论根据是什么？在回归变量设置中应该注意哪些问题？ (8)1.6收集,整理数据包括哪些内容？ (8)1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？ (9)1.8为什么要对回归模型进行检验？ (9)1.9回归模型有哪几个方面的应用？ (10)1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合? (10)2 一元线性回归 ....................................................................................................... . (10)2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ (10)2.2考虑过原点的线性回归模型足基本假定，求ny??*x??i1ii,i?1,2,...n 误差?1,?2,...?n仍满?1的最小二乘估计。
.............................................................................. 11 n2.3证明?e?o,?xe?0. .................................................................................. . (11)i?1ii?1ii2.4回归方程e(y)????x的参数?,?o101的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价？给出理由？ (12)2.5证明??0是??0的无偏估计。
应用技术回归分析第九章部分完整答案
第9章 非线性回归9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。
如：(1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε=， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβε=+。
对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。
一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。
9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。
表9.14生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）5.26.56.88.110.2 10.3 13.0解：先画出散点图如下图：5000.004000.003000.002000.001000.00x12.0010.008.006.00y从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。
（1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：Mode l Sum mary.981.962.942.651R R SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the E stim ateThe independent variable is x.ANOVA42.571221.28650.160.0011.6974.42444.2696Regression Residual TotalSum of Squares dfMean SquareF Sig.The independent variable is x.Coe fficients-.001.001-.449-.891.4234.47E -007.0001.4172.812.0485.843 1.3244.414.012x x ** 2(Constant)B Std. E rror Unstandardized Coefficients BetaStandardizedCoefficientstSig.从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710yx x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。
数值分析习题第九章答案
数值分析习题第九章答案数值分析习题第九章答案第一节：引言数值分析是一门研究数值计算方法和算法的学科，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值分析的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对理论知识的理解，并提高解决实际问题的能力。
本文将重点讨论数值分析习题第九章的答案，希望能为读者解决一些困惑。
第二节：习题一习题一要求计算给定函数的导数。
根据数值分析中的导数近似计算方法，我们可以使用中心差分公式来估计导数的值。
中心差分公式的表达式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)其中，h为步长，通常取一个较小的值。
根据这个公式，我们可以计算出给定函数在特定点的导数值。
第三节：习题二习题二要求求解给定的非线性方程。
非线性方程的求解是数值分析中的重要问题之一。
常用的求解方法包括二分法、牛顿法、割线法等。
这些方法都是通过迭代来逼近方程的解。
例如，牛顿法是通过迭代的方式逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似解x0；2. 根据方程的导数计算出切线的斜率；3. 计算切线与x轴的交点，得到新的近似解x1；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足收敛条件为止。
通过牛顿法或其他求解方法，我们可以得到给定非线性方程的近似解。
第四节：习题三习题三要求求解给定的线性方程组。
线性方程组的求解是数值分析中的基本问题之一。
常用的求解方法包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
例如，高斯消元法是通过逐步消元的方式将线性方程组转化为上三角形式，然后通过回代求解出未知数的值。
LU分解法是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过前代和回代求解出未知数的值。
通过这些求解方法，我们可以得到给定线性方程组的解。
第五节：习题四习题四要求求解给定的插值问题。
插值是数值分析中的重要问题之一，常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
例如，拉格朗日插值法是通过构造一个满足给定条件的多项式来逼近原函数。
数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
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6 2 1 4.用反幂法求矩阵 A 2 3 1
1 1 1
y (0) (1,1,1)T 。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c
ai1 x1 aii xi ain xn xi
aij x j
i 1
i j
xj xi
n
aij
i1
i j
n
aij x j
i 1
i j
2 3 2 3.用幂法求矩阵 A 10 3 4 的强特征值和特征向量，迭代初值取 y (0) (1,1,1)T 。
最接近 6 的特征值为 6+1/c=7.2880，特征向量为 (1.0000 0.5229 0.2422)T 。 5.设 A R nn 非奇异，A 的正交分解为 A=QR，作逆序相乘 A1=RQ，试证明
（1） 若 A 对称则 A1 也对称； （2） 若 A 是上 Hessenberg 阵，则 A1 也是上 Hessenberg 阵。
最接近 6 的特征值和特征向量，迭代初值取
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
应用数值分析（第四版）课后习题答案第9章
应⽤数值分析（第四版）课后习题答案第9章第九章习题解答1.已知矩阵=???=4114114114,30103212321A A 试⽤格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。
解：,24)2(,33)1(≤-≤-λλ2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞，试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii aa 1λ.解：,x Ax λ=∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11j n j i i ij i ii x ax a ∑≠==-1)(λj n j i i ij j n j i i ij i ii x a x ax a ∑∑≠=≠=≤=-11λ∑∑≠=≠=≤≤-nj i i ij i j n j i i ijii a x x a a 11λ3.⽤幂法求矩阵=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];for k=1:100y=A*z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend11.0000=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)===========强特征值为11，特征向量为T 0.7500)1.0000 0.5000(。
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第九章习题解答1.已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。
解：,24)2(,33)1(≤-≤-λλ2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii aa 1λ.解：,x Ax λ=∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11j n j i i ij i ii x ax a ∑≠==-1)(λj n j i i ij j n j i i ij i ii x a x ax a ∑∑≠=≠=≤=-11λ∑∑≠=≠=≤≤-nj i i ij i j n j i i ijii a x x a a 11λ3.用幂法求矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];for k=1:100y=A*z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; endd=cend11.0000=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)===========强特征值为11，特征向量为T 0.7500)1.0000 0.5000(。
4.用反幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];for k=1:100AA=A-6*eye(3);y=AA\z;[c,i]=max(abs(y));if y(i)<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)<0.0001,break; endd=cendd=6+1/c0.7764=c ,0.2422) 0.5229 1.0000(z 0.7763=c ,0.2422) 0.5230 1.0000(z 0.7767 =c ,0.2421) 0.5227 1.0000(z 0.7754=c ,0.2425) 0.5236 1.0000(z 0.7794 =c ,0.2411) 0.5210 1.0000(z 0.7675 =c ,0.2457) 0.5286 1.0000(z 0.8042 =c ,) 0.2303 0.5066 1.0000 (z 0.7000= c ,0.2857) 0.5714 1.0000(z 1.1111 = c ,0.1000) 0.4000 1.0000(z 9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)========= 最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为T 0.2422)0.5229 1.0000(。
5.设n n R A ⨯∈非奇异，A 的正交分解为A=QR ，作逆序相乘A 1=RQ ，试证明（1） 若A 对称则A 1也对称；（2） 若A 是上Hessenberg 阵，则A 1也是上Hessenberg 阵。
证明：（1）AQ Q AQ Q RQ A QR A T ====-11,，111,A A AQ Q Q A Q A T T T T ∴===对称（2）A 是上Hessenberg 阵，用Givens 变换对A 作正交分解，即),1()2,1()2,1()3,2(),1()2,1()3,2(),1(,)2,1()3,2(),1(1n n R AR R R n n R AQ Q A R R n n R Q R A R R n n R T T T T --==-==- 显然A 1也是上Hessenberg 阵。
6.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A （1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A 的强特征值和特征向量；（2）用QR 算法作一次迭代，求A 的特征值；（3）用代数方法求出A 的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。
解：（1）2.6181=c ,1.0000) 0.6180(z 2.6182=c ,1.0000) 0.6181(z 2.6190 =c ,1.0000) 0.6182(z 2.6250 =c ,) 1.0000 0.6190 (z 2.6667= c ,1.0000) 0.6250(z 3 = c ,1.0000) 0.6667(z 6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)====== A 的强特征值为2.6181，特征向量为T1.0000) 0.6180(（2）for i=1:10[Q,R]=qr(A);A=R*Qend⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0.3820 0.00000.0000 2.6180,0.3820 0.0002- 0.0002- 2.6180,0.3820 0.00160.0016 2.61800.3820 0.0112- 0.0112- 2.6180,0.3846 0.07690.0769 2.6154,0.5000 0.5000-0.5000- 2.5000654321A A A A A A A 的特征值为2.6180，0.3820（3）132111I -A 2+-=--=λλλλλ，特征值55.05.11,2±=λ 特征向量T )1,55.05.0(±-7. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111120102A （1）用Householder 变换化A 为对称三对角阵1A 。
（2）用平面旋转阵对1A 进行一步QR 迭代计算出2A 。
解：（1）,)1,1(,)0,1(,1)1(T T y x u y Hx x-=-==== ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=2 1- 01- 1 10 1 2,010100001,0 11 022HAH H u u uu I H T T (2) ,0.0000- 0.0000- 0 0.0000- 2.4000 0.48990.0000- 0.4899 2.60002⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=A8. 用带位移的QR 方法计算下列矩阵的全部特征值。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121013)2(,320010124)1(A A 解：（1）for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);[Q,R]=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3)end ,3.0000 0 0 2.0000 1.0000 0 2.1213 0.7071- 4.00001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=A全部特征值为 4 , 1 , 3(2),0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.0000-0.0000- 0.0000- 3.7321,0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00010.0000 0.0001 3.7321,0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00040.0000 0.0004 3.7321,0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00160.0000 0.0016 3.7320,0.2679 0.0000 0 0.0000- 2.0000 0.0062 0.0000 0.0062 3.7320,0.2679 0.0000 0 0.0000- 2.0004 0.02490.0000 0.0249 3.7317,0.2680 0.0072 0 0.0072 2.0057 0.09930.0000 0.0993 3.7263,0.6667 0.7454 0 0.7454 1.7333 0.48990.0000 0.4899 3.600014131197531⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=A A A A A A A A 全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.26799. 设n n R A ⨯∈，且已知其强特征值1λ和对应的特征向量)1(x ，（1）证明：若构造Householder 阵H 使1)1(ke Hx =（常数n T R e k ∈=≠)0,...,0,1(,01），则必有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110A x HAH λ 其中)1(1)1()1(1,-⨯-⨯-∈∈n n n R x R A ，且A 的其余n-1个特征值就是1A 的特征值。
（2）以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2323A 为例，已知T x )1,2(,4)1(1==λ，用以上方法构造H 阵，并求出A 的第二个特征值2λ。
解：（1）,)1(1)1(x Ax λ=构造Householder 阵H 使1)1(ke Hx =,11)1(1)1(ke Hx HAx λλ==,,)()(111111)1(e HAHe ke ke HAH Hx HAH λλ===即HAH 的第一列为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001 λ, ,011⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=A HAH λ （2）,)1,52(,)0,5(,5)1(T T y x u y Hx x -=-====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-= 3.0000- 0.0000 1.0000 4.0000,0.8944- 0.4472 0.4472 0.89442HAH u u uu I H T T A 的第二个特征值2λ为 -3。