高中数学第一章三角函数教案新人教A版必修4

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高中数学第一章三角函数 1.2.1 三角函数的定义导学案新人教A版必修4

三角函数的定义（自学自测）【学习目标】:1 理解任意角三角函数的定义及定义域;2.会利用定义求三角函数值，掌握各种三角函数在各象限内的符号.【重、难点】：任意角三角函数的定义。

【自主学习】自学课本第1417P P -,页.通过自学完成以下问题： 1设α是一个任意角,在α的终边上任取（异于原点的）一点(,)P x y ,若P 到原点的距离r , 则cos α= ; sin α= ; tan α= .另外,角α的正割: 角α的余割: 角α的余切: . 2 由上述三角函数定义,得出正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域列表:3 写出各个三角函数在各象限内的符号:sin α cos α tan α 【自我检测】１.填表并记忆: 90︒2. 角α的终边经过点(2,3),P -则sin α=________,cos α=________,tan α=＿＿＿.课题：三角函数的定义（自学自测）例1 确定下列各个三角函数值的符号: （1）0cos 260；（2）sin()3π-；（3）0'tan(67220)-；（4）10tan3π.（2）设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角例2 已知角α的终边在直线2y x =上, 求α的六个三角函数值.【收获总结】知识总结：方法总结：【自练自题】：1.确定下列各三角函数的符号:0(1)sin156 ______ 16(2)cos5π_______; 0(3)cos(80)-________; 17(4)tan()8π-______; 4(5)sin()3π-______; 0'(6)tan55612________2．如果α的终边过点0(2sin30,2cos30)P -,sin α= .3.α是第二象限角,(P x 为其终边上一点,且cos α=,则sin α= . 4．已知函数cos sin tan ()sin cos tan f ααααααα=++,则()f α的值域是 .(选做部分)5．若sin cos θθ<,且sin cos 0θθ⋅<,则θ在第象限.6.已知1sin ,cos 22αα=-=-,求α的终边与以原点为圆心,以2为半径的圆的交点坐标.。

高中数学 1.3.1三角函数的诱导公式(一)学案新人教A版

第一章三角函数三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．3.1 三角函数的诱导公式(一)1．了解借助于三角函数线及三角函数定义推导诱导公式的过程．2．理解诱导公式一至六的特征及其适用条件，掌握运用诱导公式解题的基本步骤，能灵活运用诱导公式解决三角函数的求值及证明等问题．基础梳理一、诱导公式公式一：sin(2k π＋α)＝sin_α，cos(2k π＋α)＝cos_α，t an(2k π＋α)＝tan_α，k ∈Z ；公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α；公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan _α；公式四：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α；公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α；公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α．练习1：k ∈Z ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫6k π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3＝cos π3＝12．练习2：sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－sin π3＝－32．练习3：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－tan 2π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝tan π3＝3．练习4：若cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α＝13．练习5：若cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α＝13．思考应用1．你能说出六组诱导公式各自的作用吗？解析：公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．公式二：是π＋α与α之间的关系式，若α为锐角时可把0～2π间第三象限角转化为锐角求值．公式三：研究角α与－α间关系，常用来把任意角求值转化为正角求值．公式四：研究π－α与α间关系，若α为锐角时可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值．公式五：研究α与π2－α间关系，可实现正、余弦相互转化．公式六：研究α与π2＋α间关系，若α为锐角时，可把0～2π间第二象限角π2＋α转化为锐角求值．二、角的对称关系1．π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． 2．π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称． 3．－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．思考应用2．(1)你能应用诱导公式求证下列各式吗？ ①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α； ②cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α.(2)你能把诱导公式概括为一个公式吗？解析：(1)①sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α，②cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α上面这些诱导(2)公式可以概括为：对于k ·π2±α(k ∈Z)的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin(奇变偶不变)．然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)．自测自评1．下列四个命题正确的是(B ) A ．sin(－α)＝sin α B ．cos(－α)＝cos α C ．sin(－α)＝cos α D ．cos(－α)＝sin α2．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x －11＋sin （π－x ）＝－3，则sin x ＝－12．解析：∵ sin x －11＋sin x ＝－3，∴sin x －1＝－3－3sin x .解得sin x ＝－12.3．已知tan(5π＋α)＝－2且cos α＞0，则sin(α－π)的值为255．解析：∵tan(5π＋α)＝－2，∴tan α＝－2，∴sin α＝－2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1且cos α＞0， ∴sin α＝－255.∴sin(α－π)＝－sin α＝255. 4．试用“诱导公式五、六”求下列各三角函数的值： (1)cos 135°； (2)sin 2π3.解析： (1)cos 135°＝cos(90°＋45°)＝－sin 45°＝－22. (2)sin 2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.基础提升 1．cos 690°的值为(B ) A ．－32 B.32 C.12 D ．－122．sin ⎝⎛⎭⎪⎫－19π6的值等于(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝－sin 19π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π6＝12.故选A.3．sin 1 290°＝________．解析：sin 1 290°＝sin (3×360°＋210°)＝sin 210° ＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.答案：－124．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈N)； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6(n ∈N)；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3(n ∈N)；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤()2n ＋1π－π3(n ∈Z)．其中与sin π3数值相同的是(C )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 解析：∵sin π3＝32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3＝32，而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝cos π3≠32，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝sin π3＝32，且对sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，当n ＝2k (k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝sin 7π3＝sin π3.5．若cos(π＋α)＝－12，3π2<α<2π，则sin(2π－α)等于(B )A ．－32 B.32 C.12 D ．±32解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.又∵3π2<α<2π，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. 故sin(2π－α)＝－sin α＝32. 6．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的结果是(D ) A ．2sin 2α B ．0 C ．1 D ．2解析：sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.故选D. 7．(1)sin(－1 200°)＝________；(2)cos 174π＝________．答案：(1)－32 (2)22巩固提高8．已知以下四个函数值：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π3，②sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π±π3，③sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n π＋（－1）n ·π3，④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋（－1）n ·π6，其中n ∈Z ，与sin π3的值相同的是________．答案：③④9．已知α是第二象限角，按要求做下列各题： (1)已知cos α＝－34，求sin α和tan α的值；(2)化简：1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ α·tan α.解析：(1)sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝74，tan α＝sin αcos α＝74－34＝－73.(2)原式＝1－sin 2α·sin αcos α＝－cos α·sin αcos α＝－sin α.10．化简式子：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.1．六组公式都叫做三角函数的诱导公式，诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．记忆诱导公式方法：“奇变偶不变(横同竖余)、符号看象限”．2．灵活运用公式解题实质体现了由未知转化为已知的化归思想的运用．角的运算规则：“偶π丢，奇π留”，“负化正，大化小、化到锐角再查表”．。

高中数学第一章三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象讲义3 新人教A版必修4

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知识点2 正切函数的图象观察图形，回答下列问题：
问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
【总结提升】
1.正切函数图象的两种作法
(1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时
较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(-
lo g 1 x lo g 1 4，
2
2
tanx 1，
所以0<x< 或3 ≤x≤4.
所以所求定2 义域4 为(0， )∪[ 3， 4].
2
4
2在【.解［(变析0，换】π条由］件ta上、n的改x≠图变0象问，.法x∈)，［将0本，题π］函，数解改得为x“≠0y ， st且ainnxxx≠”试且画x≠出π此. 函数
4
2
，xk∈kZ，
28
所以所求直线方程为x= k ， k∈Z.
28
2.(变换条件)将本例函数改为“ y
么？
t a n x 1，

tan tan (x
x 1

”，其定义域又是什
)
6
【解析】根据题意，得

ta
n
(
x

) 6

0，

4
解得 x

2
(3)解形如tan x>a的不等式的步骤
【变式训练】函数 y 2log1x tanx 的定义域是______.
2
【解析】x应满足 2 lo g 1 x 0，

2
ta n x 0，
所以 0kxx4， k所2(以k0Z<)， x<

2020-2021学年高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)，故30°、390°、－330°终边相同．知识梳理诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)，则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)，则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值．角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。

人教A版数学必修四教案：1.3三角函数的诱导公式

§1.3 三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。

2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。

诱导公式是求三角函数值的基本方法。

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。

诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。

这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、教学目标1、知识与技能（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2、过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3、情感态度和价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学设想三角函数的诱导公式（一）（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

1、提问：试叙述三角函数定义2、提问：试写出诱导公式（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征4、板书诱导公式（一）及结构特征：诱导公式（一）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

高中数学任意角的三角函数教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4

３三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。

教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。

二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。

απ+ α- απ- α 关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称三角函数线正弦线、余弦线互为相反正切线相同正弦线、正切线互为相反余弦线相同正切线、余弦线互为相反正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝；③)316sin(π-＝；④=︒-)2040cos( 。

①22-；②23-；③23；④21-。

例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝；１三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（Ｂ）Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。

2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。

高中数学第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。

高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)

1.4.1
正弦、余弦函数的图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习回顾
三角函数正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T

-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k

2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k

2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2

o -1
2

3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？

2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)课件新人教A版必修4

π π 3 ＝cos(π＋6)＝－cos 6＝－ 2 .
方法二
31π 5π －－ 6π ＋ cos ＝cos 6 6
π π ＝cosπ－6＝－cos6＝－
3 . 2
解答
(3)tan(－945°). 解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；解方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
它们的三角函数之间有什么关系？
答案
知识点三
诱导公式四
思考
角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
它们的三角函之间有什么关系？
答案
梳理
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2kπ ＋ α(k∈Z) ， π ＋ α ，－α，π－α的三角函数与 α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同
tan2π－αsin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解
sin2π－α · sin－αcos－α cos2π－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin α－sin αcos α sin α ＝＝－cos α＝－tan α. cos α－cos αsin α

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三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.

二、教学目标 1、知识与技能：掌握三角函数的基础知识及简单应用. 2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。 3、情态与价值：掌握三角函数的基础知识及简单应用，培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。三、教学重点与难点教学重点:三角函数的图形和性质. 教学难点: 三角函数的图形和性质. 四．要点精讲 1．任意角的概念旋转开始时的射线三角函数图象几何性质邻中心|= 邻渐近线无穷对称中心由或无意义确定tan(ωφ无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！叫做角的始边，三角函数图象几何性质邻中心|= 邻渐近线无穷对称中心由或无意义确定Atan(ωφ无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！叫终边，射线的端点三角函数图象几何性质邻中心邻渐近线无穷对称中心无意义确定tan(无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！叫做叫三角函数图象几何性质tan(的顶点。规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1三角函数图象几何性质邻中心|= 邻渐近线无穷对称中心由或无意义确定Atan(ωφ无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.

无穷对称中心无意义确定

tan(ωφ无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！

（rad）。

a的终边 P(x,y)

O x

y 弧长公式：三角函数图象几何性质xOyx=xx=xx邻中心|xx|= T/2邻渐近线|xx|=T无穷对称中心由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！（三角函数图象几何性质tan(是圆心角的弧度数），扇形面积公式：三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！。 4．三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设三角函数图象几何性质tan(是一个任意角,它的终边与单位圆交于点三角函数图象几何性质xOx=xx=xx邻中心|xx|= T/2邻渐近线|xx|=T无穷对称中心由=0或无意义确定y=Atan(ωx+φx无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！,那么: (1)三角函数图象几何性质tan(叫做三角函数图象几何性质tan(的正弦,记做三角函数图象几何性质O==邻中心|x|= /2邻渐近线|x|=无穷对称中心由或无意义确定=Atan(ωx+φ无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！,即三角函数图象几何性质xOyx=xx=xx邻中心|xx|= T/2邻渐近线|xx|=T无穷对称中心由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！；（2）三角函数图象几何性质tan(叫做三角函数图象几何性质tan(的余弦,记做三角函数图象几何性质===Atan(ωx+φ,即三角函数图象几何性质x=xx=xxy=Atan(ωx+φ)x；（3）三角函数图象几何性质邻中心邻渐近线无穷对称中心无意义确定无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交相邻两交点的距离为一个周期！叫做三角函数图象几何性质tan(的正切,记做三角函数图象几何性质O==|= /2|==Atan(ωx+φ,即三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！。 5．三角函数线 6．同角三角函数关系式

（1）平方关系：三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！（2）倒数关系：sin三角函数图象几何性质tan(csc三角函数图象几何性质tan(=1,cos三角函数图象几何性质tan(sec三角函数图象几何性质tan(=1,tan三角函数图象几何性质tan(cot三角函数图象几何性质tan(=1, （3）商数关系：三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！

几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)

7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：三角函数图象几何性质xOyx=xx=xx邻中心|x-x|= T/2邻渐近线|x-x|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！，三角函数图象几何性质xOyx=xx=xx邻中心|x-x|= T/2邻渐近线|x-x|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！，其中三角函数图象几何性质O==邻中心|x|= T/2邻渐近线|x|=T无穷对称中心由=或无意义确定=Atan(ωx+φ无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！

诱导公式二：三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！三角函数图象几何性质xOx=xx=xx邻中心|xx|= T/2邻渐近线|xx|=T无穷对称中心由=0或无意义确定y=Atan(ωx+φx无对称轴任意一条轴的垂线与正切函数图象都相交且相邻两交点的距离为一个周期！；三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！三角函数图象几何性质===Atan(ωx+φ 诱导公式三：三角函数图象几何性质xOyx=xx=xx邻中心|x-x|= T/2邻渐近线|x-x|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！；三角函数图象几何性质xOyx=xx=xx邻中心|x-x|= T/2邻渐近线|x-x|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定y=Atan(ωx+φ)x无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！

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