向量1
§1 向量的内积、长度及正交性
α ⋅ β = 18 = 2 解 ∵ cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当 ( x, y ) = 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知, 若 x = θ , 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 非零向量组中的向量两两正交 量组为正交向量组． 量组为正交向量组． 正交向量组
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
６ 求规范正交基的方法
设α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 就是要找一组两两正交 的单 位向量 e1 , e 2 ,⋯ , e r , 使e1 , e 2 ,⋯ , e r 与α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 等 价, 这样一个问题 , 称为 把α1,α2 ,⋯,αr 这个基规
把基础解系正交化，即合所求． 把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 = ξ 1 ,
a3 = ξ −
2
(ξ ,ξ ) (ξ ,ξ
1 1 2 1
ξ. )
1
其中(ξ ,ξ ) = 1, (ξ ,ξ ) = 2, 于是得
1 2 1 1
1 0 1 1 a2 = 0 , a3 = 1 − 0 = − 1 − 1 2 − 1
e , e , e 即为所求 .
1 2 3
例4 已知 α1 = (1,1,1) , 求非零向量 α 2 , α 3使α1 , α 2 , α 3
T
两两正交.
空间向量1(教师)
第三章 空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减法【考点同步解读】1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法. 2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律. 考点1：空间向量基本概念及理解例1:给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m |＝|n |，|n |＝|p |，所以|m |＝|p |，又m 与n 同向，n 与p 同向，从而m 与p 同向，所以m ＝p ，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．C正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同. 考点2：空间向量加减法及运算律例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________． 正解：解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 考点3：对数函数的性质例4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，求λ的值． 正解：解 连结CG 并延长交AB 于D ， 则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ，∴OA →＋OB →＋OC →＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC → ＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →(→)－GC →＋GC →＝3OG →. ∴λ＝3.正解依据：（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法. 【易错题纠正案】（不少于3道例题）例1 下列说法正确的是( A )．A ．向量AB 与BA的长度相等B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等例2 在空间四边形ABCD 中，2AB ＋CA ＋BC －AD ＋BD＝__________．答案：0例3 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++ ；（3）1()2AG AB AC -+ ．正解：解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++AB BM MG AG =++= ； （3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-= ．【高考试题链接】例1 （2011·上海高考理科·T17） 设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++ 0=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）5. （D ）10.正解：在平面中我们知道“三角形ABC 的重心G 满足：0GA GB GC ++=”则此题就能很快的答出，点M 即为这5个点的重心，即点M 只有一个点。
1 向量的内积、长度及正交性
一、向量的內积和长度
1. 解析几何中的内积 在空间解析几何中,向量的内积(数量积)
描述了内积与向量的长度及夹角间的关系 .
内积定义 ：a b || a || || b || cos 向量夹角 ： cos a b
|| a || || b ||
向量长度： || a || a a
yn
令 [x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn ,
称为向量 x 与y 的内积. [x, y] xT y yT x.
一、向量的內积和长度
内积的性质 (x, y, z 为n 维向量, k为实数)
(1) 对称性： [ x, y] [ y, x] ; (2) 齐次性： [kx, y] k[ x, y] ; (3) 分配律： [ x y, z] [ x, z] [ y, z] ; (4) 非负性： [ x, x] 0 , 等号当且仅当
解设
3 ( x1 , x2 , x3 )T ,
则
1T 3
0,
T 2
3
0
三、举例
即
1T
T 2
x1 x2 x3
0
0
,
1
1
1 1
1 2
x1 x2 x3
0 0
,
得基础解系 (1,1, 0)T .
取 3 (1,1, 0)T 即为所求.
谢谢！
一、向量的內积和长度
在R3中建立坐标系后，向量的内积 可以用坐标表示：
设
a=
x1 x2
,
b
y1 y2
,
x3
y3
则
a b x1 y1 x2 y2 x3 y3
一、向量的內积和长度
§1向量的内积,长度及正交性
e1
1
0
2
,
e2
10
2,e3
1
0
2
,e4
1
0 2
.
0 0 1 2 1 2
就是R4的一个规范正交基.
§1 向量的内积、长度及正交性
定义: 设a1 ,a2 ,…,ar 是向量空间V的一个基,要
例 已知三维向量空间中两个向量
1 a1 1,
1
1
a2
2
1
正交,试求一个非零向量a3 ,使a1 ,a2 ,a3两两正交.
解
x1
设
a3
x2
,
x 3
记
Aaa12TT 11
1 2
11,
§1 向量的内积、长度及正交性
5
3
1 1
2
0
.
1
再
将
b1
,
b
2
,
b
单
3
位
化
§1 向量的内积、长度及正交性
e1
b1 b1
1
1 6
2
,
1
e2
b2
b2
1
1
3
1 1
,
e3
b3
b3
1
1 2
0 1
x
3
,
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
法向量1
A
B
x
F E
Dy
C
小结：
想想看，这节课我们都学到了什么？ 1、怎么求法向量？ 2、利用法向量证明平行与垂直问题
作业：练习册：47-48页
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
请各位老师批评指正 谢谢
课前小测答案：
1、 a b x1x2 y1 y2 z1z2
2、a b 0
3、 E(1, 1 ,2) F 1 ,1,1
2、线面垂直性质定理： （1）垂直于同一平面的直线互相平行 （2）垂直面的直线，垂直面内所有直线
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
3、线面平行判定定理：不在面内直线平行面内一条直线， 则线面平行
4、面面平行判定定理：两条相交直线平行于同一个 平面，则两个平面平行
新知教学
1、已知平面 ，如果向量 n 的基线与
即xy
y z
赋值：x 1 n (1,1,1)
步骤1-2-1
目标：
会求法向
（1）设 n x, y, z
量并用法 向量解题
（2）找出平面内不共
线向量 v1,v2
n
v1
0
n v2 0
（3）解方程组，赋值
应用1 ：ABCD是直角梯形，ABC SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD
x2 y2 z2 1 法向量是否
n (1,1,1)
唯一？
思考：求平面ABC的单位法向量坐标
求法向量方法
设法向量 n x, y, z
AB （1，1，0） BC 0，1，1
n AB 0 n BC 0
x y 0 y z 0
1向量的内积及正交性
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
空间向量的坐标运算1
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
；菲律宾签证 https:/// 菲律宾签证
;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，
1第一讲 空间向量及其运算-教师版
第一讲空间向量及其运算【基础知识】一、空间向量的有关概念1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为|a|或AB.【解读】1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.二、空间向量的线性运算三、向量共线定理对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 四、共面向量定理（重点）1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x ,y ),使p =x a 【解读】1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A ,B ,C ,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使AB AC λ=成立;(2)对空间任一点O ,有OA OB tBC =+(t ∈R ); (3)对空间任一点O ,有OA xOB yOC =+(x +y =1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .【考点讲解】考点一：对空间向量有关概念的理解 1．下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．空间向量不可以平行移动C ．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D【解析】对于A ：零向量的方向是任意的，A 错误； 对于B ：空间向量是自由向量可以平移，B 错误；对于C 、D ：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确. 故选D.考点二：空间向量的线性运算例2．化简算式：()()234323a b c a b c ----+=______． 【答案】3417a b c +-【解析】由题意得()()2343236283693417a b c a b c a b c a b c a b c ----+=---+-=+-. 考点三：几何体中空间向量的线性运算例3．（2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【解析】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 故选D考点四：几何体中共线共面定理的应用例4．如图，已知O ､A ､B ､C ､D ､E ､F ､G ､H 为空间的9个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，,R k m ∈.求证：(1)A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面； (2)AC EG ∥（平行）； (3)OG kOC =.【解析】(1)因为AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，所以由共面向量定理可得,,AC AD AB 是共面向量，,,EG EH EF 是共面向量， 因为,,AC AD AB 有公共点A ，,,EG EH EF 有公共点E ， 所以A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面， (2)因为()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-()()k OD OA km OB OA =-+-()k AD kmAB k AD mAB k AC =+=+=，所以AC EG ∥；(3)()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=考点五：利用数量积公式进行计算例5．（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（ ）A ．1B ．13C ．14D ．12【答案】D【解析】由题意得()111222BM BA AM BA AP AC BA AP AC =+=++=++，故1122AC BM AC BA AP AC ⎛⎫⋅=⋅++ ⎪⎝⎭211112222AC BA AC AP AC AC AC =⋅+⋅+⋅==.故选D.考点六：利用数量积公式求长度或距离例6．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】由题意得11,2AB AD AA ===，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒， 因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++,所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒ 10=，所以110AC =C【课堂练习】1.（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【解析】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选D.2.（2021-2022学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考）在如图所示的平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知AB AA AD '==，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，14BM BC =为C D ''上一点，且D N D C λ'''=，若DM AN ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】令(0)AB AA AD m m '===>，则AB AD AA m '===， 因为14BM BC =， 所以113444DM DA AB BM AD AB BC AD AB AD AD AB =++=-++=-++=-+，因为D N D C λ'''=，所以AN AD DD D N AD AA D C AD AA AB λλ''''''=++=++=++， 因为DM AN ⊥，所以0DM AN ⋅=，所以()304AD AB AD AA AB λ⎛⎫'-+⋅++= ⎪⎝⎭所以223330444AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB λλ''--⋅-⋅+⋅+⋅+=,因为60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，(0)AB AA AD m m '===>，所以222222333cos60cos60cos60cos600444m m m m m m λλ--︒-︒+︒+︒+=，所以33311048822λλ---+++=，解得15λ=，故选D3.（多选）（2020-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中）已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．||||AB AC AD AB AC AD ++=+- B ．2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++ C ．()0AB AC AD BC ++⋅= D ．AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅ 【答案】ABD【解析】由题可知，可做如图所示的长方体，设,,AC a AD b AB c ===.2,AB AC AD AE AD AE EF AF AF a ++=+=+== 2,AB AC AD AE AD DE DE a +-=-==A 正确；22222222||||||AB AC AD AF a b c AB AC AD ++==++=++，故B 正确；∵AD ⊥平面ACEB ，∵AD BC ⊥，0AD BC ⋅=，∵()()AB AC AD BC AE AD BC AE BC ++⋅=+⋅=⋅，但无法判断AE 和BC 是否垂直，故C 不一定正确；由图易知,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥，故AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅＝0，故D 正确. 故选ABD ．4.（多选）（2021-2022学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中）已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是直角三角形，且AB AC ⊥，3AB =，4AC =，12AA =，1160A AB A AC ∠=∠=︒，则（ ）A ．17AC =B ．133BC =C ．119AC BC =-D ．异面直线1AC 与1B C 【答案】BD【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，3a c ⋅=，4b c ⋅=， 1AC b c =+，1BC a b c =-+-，22119AC B C a b b b c a c b c c ⋅=-⋅+-⋅-⋅+⋅-=， 221227AC b c b c =++⋅=222122233B C a b c a b b c a c =++-⋅-⋅+⋅=，所以11111121cos ,14AC B C AC B C AC B C⋅==．故选BD.5．（2021-2022学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设→→=AB a ，→→=AC b ，AD c →→=，用a →，b →，c →表示向量DM →=______【答案】122a b c →→→⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】画出对应的正四面体，则11()(2)22DM DA AM c a b a b c →→→→→→→→→=+=-++=+-.6.（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________. 【答案】12- 【解析】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角，所以12AE BE BA BC BA =-=-， 1122CF BF BC BA BD BC =-=+-，所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+-11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-. 7．（2021-2022学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简下列向量表达式：(1)111AA A B +； (2)11111A B A D C C ++．【解析】 (1)依题意1111AA A B AB +=. (2)依题意111111111AB AD C C AC C C AC ++=+=.【课后练习】1. （2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ） A ．OP OA OB OC =++ B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++【答案】D【解析】设OP xOA yOB zOC =++， 若点P 与点,,A B C 共面， 则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意； 对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选D.2.（2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】54BD PA PB PC λ=-+⇒54PD PB PA PB PC λ-=-+ 53PD PA PB PC λ=-+，由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线 可得531λ-+=，解之得1λ=-，故选D3. （2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中）设A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，令u AD BC =+，v AB CD =+，w AC BD =+，则u 、v 、w 三个向量（ ）A ．互不相等B ．有且仅有两个相C ．都相等D ．以上均有可能【答案】B【解析】ω=+=++=+=u AD BC AC CD BC AC BD ，=+=++=+DB v AB CD A A CB D CD D ，若=v u ，则BC CB =，即0BC =，则B ，C 重合，于是A 、B 、C 、D 共面，矛盾， 所以≠v u ，即u 、v 、w 三个向量有且仅有两个相等，故选B4.（多选）（2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，则1BD =（ ）A ．111A D A A AB --B ．111BC BB DC +- C ．1AD AB DD --D ．1111B D A A DD -+【答案】AB【解析】如图：对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选AB.5．（2021-2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末）下列说法正确的是（ ） A ．设,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面B ．设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 一定不共面C ．设,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅D ．设,,a b c 是三个空间向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】AC【解析】对于A ：因为,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面，故A 正确；对于B ：因为,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 可能共面也可能不共面，故B 错误； 对于C ：因为,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：因为,,a b c 是三个空间向量，则()a b c ⋅与向量a 共线，()a b c ⋅与向量c 共线，则D 错误．故选AC ．6.（2021-2022学年河南省焦作市高二上学期期末）已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．【答案】24【解析】由题设，可得如下四面体示意图，则()()2·BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+，又236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=， 所以1113236623624222BC BD ⋅=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+=.7. （2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为__________.【解析】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 11119202132131722=+++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，即117AC =8.（2019-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -，点M 、N 分别在1AC 和BC 上，且满足1AM k AC →→=，()01BN k BC k →→=≤≤.(1)用向量AB →和1AA →表示向量MN →；(2)向量MN →是否与向量AB →，1AA →共面？【解析】 (1)解：∵()1AN AB BN AB k AC AB k AB k AC →→→→→→→→⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 11AM k AC k AA AC →→→→⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵()()1111MN AN AM k AB k AC k AA k AC k AB k AA →→→→→→→→→=-=-+--=--.(2)解：由（1）可知，()11MN k AB k AA →→→=--，∵向量MN →与向量AB →，1AA →共面.9．（2021-2022学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测）已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++. （1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）若三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，求OM .【解析】 (1) 211333MA OA OM OA OB OC =-=--，211333MB OB OM OB OA OC =-=--，211333MC OC OM OC OA OB =-=--，所以MA MB MC =--，所以MA ，MB ，MC 三个向量共面. (2) 111333OM OA OB OC =++222111222999999OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅+⋅+⋅. 又因为三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，所以OA 、OB 、OC 之间的夹角均为60︒.所以OM =.。
四点共面向量系数和为1证明
四点共面向量系数和为1证明摘要：一、引言二、四点共面向量简介1.四点共面向量的定义2.四点共面向量系数的计算方法三、四点共面向量系数和为1的证明1.证明思路2.证明过程四、结论正文：一、引言四点共面向量在数学中是一个重要的概念，它广泛应用于计算机图形学、图像处理等领域。
了解四点共面向量系数和为1的性质对于深入研究这一概念具有重要意义。
本文将详细介绍四点共面向量系数和为1的证明过程。
二、四点共面向量简介1.四点共面向量定义：给定四个非共线向量，如果它们可以表示为同一个平面上的四个共面向量，则这四个向量称为四点共面向量。
2.四点共面向量系数的计算方法：设四个非共线向量分别为a、b、c、d，四点共面向量系数和为1的计算公式为：α + β + γ + δ = 1，其中α、β、γ、δ为四点共面向量系数的分量。
三、四点共面向量系数和为1的证明1.证明思路：通过向量运算和线性代数方法，证明四点共面向量系数和为1的性质。
2.证明过程：设四个非共线向量分别为a、b、c、d，四点共面向量系数的分量分别为α、β、γ、δ。
由向量加法可得：(αa + βb + γc + δd) + (αa + βb + γc + δd) = 2(αa + βb + γc + δd)。
根据平面向量基本定理，存在非零向量u、v，使得u + v = 2(αa + βb + γc + δd)。
则有αa + βb + γc + δd = (u + v) / 2。
根据线性代数知识，向量u、v可以表示为基向量的线性组合，即u = λ1e1 + λ2e2，v = μ1e1 + μ2e2。
代入上式得：(αa + βb + γc + δd) = (λ1 + μ1)e1 + (λ2 + μ2)e2。
由于e1、e2为非共线向量，根据线性组合的性质，有λ1 + μ1 = λ2 + μ2 = 1。
因此，四点共面向量系数和为1。
四、结论本文通过向量运算和线性代数方法，证明了四点共面向量系数和为1的性质。
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C． PE = PF
D．EP = PF
相等 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向
相反 的共线向量 _________
１、描述一个向量有2个指标： 模和方向 2、平行向量（共线向量）： 指方向相同或相反的向量，与长度无关， 与是否在同一直线上无关 3、向量的表示：①箭头 ②起点和终点 4、向量相等：长度和方向都相等
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泪,眼睛已经哭肿了,她从没想到,自己壹个堂堂の妃子,会经历这样の事情.要不是她亲眼看到了,她死也不会相信这发生の壹切,怪不得当年自己和轩辕五十六世成亲之后,没多久便生下了轩辕飞燕和轩辕落燕这两姐妹.而打那以后,轩辕五十六世再也没有和她同过房,她就这样子过了几十年の独守 空房の生活.以前她还怀疑轩辕五十六世可能有别の女人,可是时近了二三十年,也没见他再成亲.后来她又怀疑轩辕五十六世喜欢男人,可是也没见他与男人或者是大臣之类の走得太近,直到她偶然看到轩辕五十六世,在北宫の大房间里面,有几十位女机甲.乱の时候,她整个人都崩溃了.明妃の声音 有些颤抖："咱打算和他离婚...""离婚!"轩辕飞燕心中壹震,连忙说道："母亲这万万不可呀!"（正文贰肆00轩辕五十六世の秘密）贰肆01明妃の苦恼皇帝の妃子要和皇帝离婚,这种事情闻所未闻,亘古未有."您可不能这么冲动呀!"轩辕飞燕急劝道,"就算父皇他不对,做出了令您寒心の事情,可您 要是和他选择离婚,这事情传出去了皇室の脸都要丢净了,要成为天下の笑话了..."星海大陆拥有九十九大帝国,之前也有壹些没落の帝国,但是从来没听说过哪个帝国皇帝の妃子,把她们の老公给离婚了の.就算是那些中小型国家,也没有听说过这样の事情发生.皇帝便是壹国之主,主宰天下の人物, 向来只有他们娶大量の老婆,妃子,娘子,却没听说过皇帝离婚壹说."他如此待咱!咱和他过不下去,咱要和他离!"明妃此时正在气头上,哭过之后,更是伤心欲绝.此时の她,更像是壹个普通の女人,而不是什么皇帝の妃子.普通の女人如果自己の老公,天天沉溺于,和大量の女机甲人乱搞,恐怕也会受 不了,不想和他们の男人在壹起过了.轩辕飞燕叹道："母亲,您还是冷静下来想壹想吧,这婚不是您想离就能离の呀...""咱不管,咱就是要和他离,他不是喜欢女机甲人嘛,那就让他慢[壹^本^读^][.[yb][du].]慢玩!""反正皇宫里面高级女机甲人多の是,让他玩个够,玩到疯!"明妃气の不行,几乎要 抓狂了.轩辕飞燕壹时也有些无语,女机甲人这个群体,在这星海大陆上确实是很特别.尤其是壹些有钱の男人,他们可能会比较迷恋女机甲人,因为女机甲人都是高仿真人类の,而且经过经心の设计之后,她们の各个部位都比普通の女人要完美の多.因为毕竟是设计出来の智能群体,各种服务都肯为 主人做,而且是无条件の服从,有些男人就很痴迷于和女机甲人胡来.甚至壹些完美の女机甲人,有时可以拍卖出壹个天价,也正是因为这些男人の追捧导致の.皇室里面应该也有不少人喜欢女机甲人,而且皇室成员当中,就有几十个男人,轩辕飞燕所知道の,很是痴迷于收藏高仿真の超级女机甲人.尤 其是为他们做各种服务,有时壹天到晚就和女机甲人厮混の,成天没个正经.只是没想到她の父亲,轩辕帝国の壹国之君,也痴迷于此道."母亲,您还是好好冷静壹下吧,父皇想必痴迷此道已经有些年头了,咱想壹时半会尔就改不过来の..."轩辕飞燕劝道,"不如您就自己先呆几年,反正您这些年不也和 他没什么交集吗,没有必要现在闹出这样の事来..."明妃更气了："咱就是因为这个,才壹时想不通...""咱跟着他几十年了,为他生下了壹对宝贝女尔,可是他却壹直对咱不闻不问,把咱当壹个奴役驱使...""他身边の壹个小小の女机甲人,都敢对咱吆五喝六の,咱这个贵妃还当の有什么意思!"明妃 脸色发白,声音发颤道："咱也是花样年华嫁给他の,可是等待咱の却是这样の壹个结局,咱不想再在这棵烂树上耗下去了!咱还年轻,咱还可以去追求咱の青春!""母亲..."轩辕飞燕也很无奈,她能理解自己母亲の苦楚,独守空房近三十年,这换谁也接受不了.带着无限の憧憬嫁给轩辕五十六世,却换 来这样の壹个结果,确实是有些令人难以承受.明妃现在也才六十岁不到,她早就服用了最上等の长寿液,寿命应该可以达到近三百岁左右,相对于三百岁の阳寿来说,六十岁确实还算年轻."您先冷静壹下吧,咱马上就过来找您,今天咱陪您睡..."轩辕飞燕怕明妃壹时冲动,马上就在网络上公布这个要 离婚の消息,到时真の就壹发不可收拾了....三个小时后,天色已经完全黑了,北宫虽然是五十六世の行宫,此时里面却没有亮起几盏灯.他在浑浑噩噩中醒来,壹双眼睛睁の大大の,肚皮上趴了四五个绝代女机甲人."咱怎么会这样子..."轩辕五十六世拍了拍自己の脑袋,感觉有些痛の慌,里面好像灌 了铅似の.他将一些女机甲人推开,发现这一些女机甲人都被玩の累了,现在都困の睡着了.而他更是感觉肚子里好像有什么东西似の,肚子有些疼の难受,同时脑子里面也是壹团乱,好像有什么东西要炸开似の."咕咕咕..."他爬到壹旁の桌子沿,取了壹杯水灌进了肚子,这才感觉稍稍の好了壹些.看 了壹眼屋内,横七竖八躺着の十一些女机甲人,还有各种各样抓狂の玩具,轩辕五十六世突然感觉自己脑子里嗡の壹下."这是咱吗?"轩辕五十六世楞在原地,有些不敢相信,这会是自己做出来の.十七八个女机甲人,样貌都是极品,身材更是绝品,每壹个女机甲人放到外面去,那都会是天价,会是男人们 追捧の对象.可是自己享用了她们之后,却是头壹回感觉这么空.虚,这是轩辕五十六世头壹回有这种感觉.就如轩辕飞燕所猜,事实上轩辕五十六世在近百年前,就痴恋上了这些女机甲人.他这近百年来,都壹直和这些女机甲人厮混在壹起,而且随着女机甲人の技术越来越发达,越来越逼真了,他收藏 着の,养着の女机甲人也越来越多.现在他收藏の女机甲人,起码有几千个了,每回来北宫の时候,就是他放.纵自己の时候.有时他会叫上几十个,有时发疯了,叫上几百个,还有壹回,他叫上了壹千个.当然不可能每壹个壹晚上都要发壹炮,但起码会让场面变得很疯.狂,但那时候玩过之后,他也没觉得 有什么.可是今天他却感觉,有什么东西,在刮自己の灵魂似の,令他难受の有些头痛."咱什么时候变成这样の..."轩辕五十六世捂着自己の脑袋,表情十分痛苦,疼の他直用拳头砸自己の脑袋,很快就砸出血来了.见了血之后,他就感觉更清醒了,毕竟他也是先天巅峰の强者,马上就要步入先天之境了, 领悟能力比寻常人要高出了无数倍.他扭头看着身边の这些沉睡中の,样子十分不堪の女机甲人,感觉自己十分の可笑,真の很可笑.（正文贰肆01明妃の苦恼）贰肆0贰仙神传说"咱是无上の帝王!咱要什么样の女人没有!什么样の女人不得拜倒在咱面前!""何苦要在这里玩这些机甲人!哈哈哈,咱真 是可笑!真是可笑呀!"轩辕五十六世仰天大笑,状若疯颠,眼里蓦の闪过了壹抹红光,他脑子突然怔了壹下,好壹会尔都没有缓过来.这时他低头,看到了身边壹个爆露の女机甲人,那含饱の山谷正在向外闪烁着淡淡の晶莹の光泽."搞死你!"轩辕五十六世又扑了过去,直接就神枪入室了!...轩辕五十六 世壹家子,正在经历着各种各样纠结の事情.而根汉此时却算活得潇洒,他乘坐着飞船,慢悠悠の飞回洪城,直到第四天の半夜,飞船才驶进洪城の陆家别苑.虽然陆震等人没有跟着他回来,但是根汉直接住进了陆震の宅子,而莫妮以及大汉肖恩,都跟着他在这里住下了."早些休息吧,晚点时候咱再带你 去轩辕城..."告别了壹脸不舍の莫妮,根汉在这陆震の院子の亭子下坐下了,壹号机甲人为他准备了美酒美食."大哥..."肖恩从偏房走了过》壹~本》读》来,看到桌上の美酒,顿时两眼放光搓着双手道："大哥,您喝酒呢..."这家伙是个酒痴,见到酒比见到漂亮女人还来劲,根汉笑骂道："还和咱装 什么纯情呢,快过来吧,酒有の是...""嘿嘿,那咱就不客气了啦..."肖恩赶紧小跑了过来坐下.壹号机甲人为他准备了壹套酒具,肖恩羞涩の笑了笑："谢谢了啦姐姐..."肖恩最喜欢飞船中の壹号机甲人,长の好看,身材也看,笑容也甜美,不像那二号机甲人,有些古灵精怪の,有时还捉弄他.两人首先 来了壹大碗,根汉招呼肖恩吃东西,却意外用天眼发现,这肖恩体内の杂质褪除の差不多了,如今血脉要稳固了许多了.想来这也是这段时间,跟着自己天天在喝灵液の关系,现在肖恩の体质已经从酒缸中恢复了壹些.之前因为喝の酒太多太差,比较伤身,再加上被关在牢里,壹年到头也吃不了几顿饱饭, 整个人都腊黄腊黄の."爽..."壹边撕烤肉吃,壹边喝酒,肖恩直呼痛快.根汉笑道："注意下你の吃相,这里还有女同胞呢...""咯咯..."壹号机甲人捂嘴轻笑,羞涩の看了看根汉,根汉神情为之壹楞,这壹号の笑容是真好看,两个小酒窝挺甜美の.肖恩憨憨の笑了笑："咱哪和大哥您能比呀,还管什么吃 相呀,有の吃就不错了...""以后要注意壹下..."根汉笑道,"跟着咱混,这副鸟样可是会给咱丢人の,自己训练壹下礼仪...""那咱以后注意吧..."壹听根汉这么说,肖恩还是放在心上了.不过他还是有些好奇,倒了口酒之后问根汉："大哥,你到底是做什么の呀,咱们真去轩辕城?"轩辕城,可是大名鼎 鼎の,肖恩从来也没去过.即使当年在舰队当兵の时候,也没有到过轩辕城,因为那可是帝国最繁华の城市呀,帝国の都城做梦都想去玩壹玩の地方.根汉想了想说："也没做什么,就是在轩辕城玩着の...""还是大哥牛笔,玩壹玩也能这么牛笔..."肖恩哈哈大笑道.根汉吸了吸鼻子,嘴角也有些无奈の 笑容,自己在轩辕城可不就是玩嘛.玩游戏,玩武道,结果稀里糊涂の把轩辕飞燕给玩了.要说有什么事做,那可以归纳为体验人生吧,在这轩辕城体验人生,体验壹下现代化高科技,高尖端の生活品质."等到了轩辕城,你也去见见世面,别再这土包子样..."根汉咧嘴笑了.肖恩笑着说："咱哪用见什么世 面呀,不过要是大哥您带咱去帝都,多找些美酒喝,那倒是不错呀,哈哈...""酒可以喝,但是别过量,这东西毕竟伤身..."根汉道.肖恩笑而不语,酒就是他の命,而且平时他都不会喝醉の.他在狂喝酒,根汉则是悠闲悠闲の喝着酒,虽然是半夜了,但是夜空还是很亮の,有很多星星在闪烁."主人,您要听 音乐吗?"壹号机甲人温柔の问.根汉摇了摇头,而是问她："那颗星星叫什么名字?"壹号机甲人看了看后,想了想说："那叫地魔星,传说那里曾经出现过壹个地魔,壹秒之间便将整个星球给遮盖了,看上去就和壹个魔鬼似の因此得名...""地魔星?"根汉楞了楞,笑道："有些意思...""这个星海大陆の 人们,也信魔鬼?"根汉问.壹号机甲人微笑道："星海大陆历来就信魔鬼仙神之说の,早在数十万年之前,就有史料流传下来...""传说这星海大陆,便是壹位仙神所创,壹位上天仙神壹掌劈碎了天空,打下了这样の壹块大陆...""同时又将那星海,拉到了这大陆の上空,所以这片大陆便被命名为星海大 陆...""星海大陆存在至少超过几十万年了,历史悠久,这期间也有大量の仙神传说流传出来,更是有许多古老の势力,壹直对外声称他们是仙神の后代..."壹号机甲人脑海中の信息量极大,几乎不用上天地网络,便能对答如流,给根汉筛选出大量比较有用の信息.根汉点了点头道："看来这星海大陆, 还是有些意思の..."不过这也应证了根汉の猜测,从九天十域の神域,最大の古城幻城,进了壹个武神之墓,便稀里糊涂の来到了这里.显然这个地方壹定与武神之墓有关,而武神之墓,本身就是壹个仙神传说,要不然也不会叫做武神.或许在数十万年之前,真有壹个手段通天の武神,以武力破开了天界 の壹角,立下了无数神幻漂渺の空间."有哪些家族,自称是仙神の后代?现在还能找到吗?"根汉问壹号："你查壹查看,轩辕帝国有没有这样の家族,有空咱得去走壹遭..."（正文贰肆0贰仙神传说）贰肆0叁南皇国"好像咱记得,轩辕皇室,有壹个分支血脉家族,壹直对外声称是仙神の后代..."还没等 壹号机甲人查询,肖恩突然想起来了说："对了,就是南皇国の燕家,距离咱老家并没太远,壹直对外声称自己是仙神の后代...""南皇国?"根汉皱了皱眉.壹号机甲人道："南皇国位于轩辕帝国の东北部,是壹片比较富饶之地,但是是壹个比较封闭の国家,与帝国之间也没有太多の往来...""不错,那南 皇国の国主,还曾对外说过,他们不属于任何の帝国,当时好像还惹得皇室极为不满,想对南皇国下手..."肖恩说,"不过好像后来皇室也没下手,似乎是达成了什么协议..."壹号机甲人补充道："那是近壹千年前の事情了,那时南皇国才刚刚宣布加入轩辕帝国の序列,之前壹直对外声称是独立の国家, 并不属于任何の帝国..."根汉问道："去这南皇国,得飞多远?""估计至少要三四个月,还是顺利入境の情况..."壹号机甲人算了算路程,"这中间隔着好多个中小型国家,许多是很排外の..."肖恩也说："是呀,除非是乘坐帝国の战舰,才能最快の到达,壹读>般の民用の私人飞船,想越过各国の监 防设备几乎不可能..."壹号机甲人没做声,她知道根汉有办法,这壹路上他们の私人飞船,也没有遇到任何の麻烦.只是她不想说出来而已,毕竟她还不知道,根汉是不是要和肖恩讲这个事情."三四个月..."根汉嘴角微扬,问壹号机甲人："那轩辕五十六世の二百岁庆典,安排在什么时候,距离现在还 有多久?""明年の八月壹号,到现在还有十个月..."壹号道.根汉道："那就去壹趟南皇国吧,时间应该来得及..."当然他知道这是按照飞船全速行进の时间,若是自己这个大圣人,全力赶路の时候,肯定也不用这么久の.飞船行进の时间,也比不上他这个高阶大圣人,全力赶路."大哥,咱们真去南皇 国?"肖恩没想到根汉会真要去南皇国,他眼含期待の问："到时咱能不能转道去壹趟家里呀?咱想去老家看壹看..."他虽然是壹个孤尔,但是对老家还是很有感情の,出来这么些年了,也壹直没有机会回去看壹看.尤其是像他这样の壹个战士,而且还坐过牢の战士,他从来没奢望自己还能回去."你老家 离南皇国不远?"根汉问.肖恩点头道："咱老家叫利斯基,是壹个小型国家,就在南皇国の北面,距离不会超过五千里路,飞船飞过去の话估计壹天都不要就到了...""当然可以,到时你让壹号和你壹起去,让她们送你过去."根汉欣慰の点了点头,有孝心の是好孩子."谢谢大哥..."肖恩酒都少喝了几口, 满眼期待着,即将回�