【人教版】空间向量的应用ppt完美版1
合集下载
第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
2
2
1
3
1
+ − ＝ − − ，
2
2
2
1
1
3
1
3
1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
1
1
1
3
1
1
1
2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
2
6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
3
6
6
2
1
1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
6
6
1
−
2
−
问题式预习
2
1
3
1
+ − ＝ − − ，
2
2
2
1
1
3
1
3
1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
1
1
1
3
1
1
1
2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
2
6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
3
6
6
2
1
1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
6
6
1
−
2
−
问题式预习
空间向量的应用(第一课时课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
方
法
面面垂直转化为两个平面的法向量垂直.
本题中平面BFQ(D)的法向量可以观察得出.
z
y
x
3.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,
问
核
心
素
养
题
解
z
建立空间直角坐标系如图.由题意知各点坐标如下:
A(0,- 3,0),B(1,0,0),A1(0,- 3,4),B1(1,0,2),C1(0, 3,1).
B’F=2FD’，试在棱AD上确定一点P，使得平面GEC’F∥平
面MNP.
如图建系.不妨设AB=6，则M(0,3,0),N(0,0,3),
E(3,6,0),G(4,4,0), F(2,2,6); 设P(t,0,0).
分 则 =(t,-3,0), =(0,-3,3), =(1,-2,0),
=(1,0,0), ’=(0,-1,2).设面EFC’有一法
析 向量n1=(x,y,z)；由n1∙ =0 及n1∙ ’ = 0
得：x=0, 2y+z=0; 取y=1,得n1=(0,1,-2)；同理可
求得面GHB’A’一个法向量为n2=(0,2,1)， 由
n1∙n2=0 知n1⊥n2. 所以平面C’EF⊥平面A’GHB’.
空间平面的法向量
课堂小结
二、本节课提升的核心素养：
逻辑推理
数学运算
数据分析
数学建模
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法：
待定系数
转化与化归
方程思想
坐标思想
+
数
学
运
算
求证:AB1⊥平面A1B1C1
以AC中点为坐标原点O，OB为x轴、OC为y轴正方向
法
面面垂直转化为两个平面的法向量垂直.
本题中平面BFQ(D)的法向量可以观察得出.
z
y
x
3.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,
问
核
心
素
养
题
解
z
建立空间直角坐标系如图.由题意知各点坐标如下:
A(0,- 3,0),B(1,0,0),A1(0,- 3,4),B1(1,0,2),C1(0, 3,1).
B’F=2FD’，试在棱AD上确定一点P，使得平面GEC’F∥平
面MNP.
如图建系.不妨设AB=6，则M(0,3,0),N(0,0,3),
E(3,6,0),G(4,4,0), F(2,2,6); 设P(t,0,0).
分 则 =(t,-3,0), =(0,-3,3), =(1,-2,0),
=(1,0,0), ’=(0,-1,2).设面EFC’有一法
析 向量n1=(x,y,z)；由n1∙ =0 及n1∙ ’ = 0
得：x=0, 2y+z=0; 取y=1,得n1=(0,1,-2)；同理可
求得面GHB’A’一个法向量为n2=(0,2,1)， 由
n1∙n2=0 知n1⊥n2. 所以平面C’EF⊥平面A’GHB’.
空间平面的法向量
课堂小结
二、本节课提升的核心素养：
逻辑推理
数学运算
数据分析
数学建模
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法：
待定系数
转化与化归
方程思想
坐标思想
+
数
学
运
算
求证:AB1⊥平面A1B1C1
以AC中点为坐标原点O，OB为x轴、OC为y轴正方向
高三数学一轮复习8.6空间向量及其应用精品课件人教版
8.6空间向量及其应用
中国人民大学附属中学
1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做向量。如位移、速度、力等； 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量； 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等 长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
2．向量运算和运算率 OB OA AB a b BA OA OB a b
D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若 AB a ,
，则下列向量中与 BM 相 AD b ，AA 1 c
等的向量是（ A ） (A) (B) (C)
1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a bc 2 2
D1 A1 M B1 C1
D A B
C
(D)
例4．已知两个非零向量 a =(a1，a2，a3), b =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是 （ D ） A. a :| a | b :| b | B. a1· b1=a2· b2=a3· b3 C. a1b1+a2b2+a3b3=0 D. 存在非零实数k，使 a =k b
例7．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1, 1， 2), C(－3，0，4)。设 （1）求 a 和 b =a ， =b AB , AC
10 的夹角的余弦； 10
（2）若向量k a + b 与k或k 2 2
记作 a b
例1．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何 向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a, b 的关系是不共线；②O, A, B, C为空间 四点，且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一 个基底，那么点O, A, B, C一定共面；③已 知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向 量 a b, a b, c ，也是空间的一个基底。其 中正确的命题是（ C ） (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
中国人民大学附属中学
1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做向量。如位移、速度、力等； 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量； 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等 长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
2．向量运算和运算率 OB OA AB a b BA OA OB a b
D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若 AB a ,
，则下列向量中与 BM 相 AD b ，AA 1 c
等的向量是（ A ） (A) (B) (C)
1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a bc 2 2
D1 A1 M B1 C1
D A B
C
(D)
例4．已知两个非零向量 a =(a1，a2，a3), b =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是 （ D ） A. a :| a | b :| b | B. a1· b1=a2· b2=a3· b3 C. a1b1+a2b2+a3b3=0 D. 存在非零实数k，使 a =k b
例7．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1, 1， 2), C(－3，0，4)。设 （1）求 a 和 b =a ， =b AB , AC
10 的夹角的余弦； 10
（2）若向量k a + b 与k或k 2 2
记作 a b
例1．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何 向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a, b 的关系是不共线；②O, A, B, C为空间 四点，且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一 个基底，那么点O, A, B, C一定共面；③已 知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向 量 a b, a b, c ，也是空间的一个基底。其 中正确的命题是（ C ） (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第一章§1.2第1课时 空间向量基本定理课件(人教版)
1234
2.已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 a＝O→A＋O→B＋O→C，向
量 b＝O→A＋O→B－O→C，则与 a，b 不能构成空间基底的是
→ A.OA
√C.O→C
→ B.OB D.O→A或O→B
解析 ∵O→C＝12(a－b)， ∴O→C与 a，b 共面，
∴a，b，O→C不能构成空间基底.
个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一个基底
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d 与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ kλa＋μkb，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真 命题；
内容索引
一、空间向量基本定理 二、空间向量的正交分解 三、用基底表示空间向量
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有 向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝O→P ，p 能否用i，j，k表 示呢？
提示 如图，设O→Q为O→P在 i，j 所确定的平面上的 投影向量，则O→P＝O→Q＋Q→P. 又向量Q→P，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得Q→P＝zk，从而O→P＝O→Q＋zk. 在 i，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得O→Q＝xi＋yj.
可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件
步骤总结
20
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间 距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
第一章 空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用
教师：XXX
2 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题
课程引入
3
立体几何中包括哪些距离问题？
两点之间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两条平行直线的距离 两个平行平面的距离 异面直线间的距离等
如何用空间向量解决这些距离问题呢？
复习旧知
量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d ?
分析：过P作PQ 于Q，连结QA,
P
n
则d QP AP cosAPO,
QP , n ,QP // n.
A Q
cosAPO cos AP,n .
新知探究
13
四、点到平面的距离
P n
A Q
思考2：若法向量为单位 向量，则d=？
平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任 一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的 投影的绝对值.
4
1. 空间两点之间的距离
设P1(x1, y1, z1)，P2 (x2 , y2 , z2 )
P1P2 (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
将两点距离问题转化为 求向量模长问题
| P1P2 | P1P2 P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
空间向量的应用PPT课件
一复习回顾
C
P
4空间向量基本定理：
A1
O
A
B
B1 P1
• 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。 • 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
5 空间两个向量的数量积
（1）
（2）
（3）
数量积的运算律
BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1) Z ∣BE1∣=√17／4 ∣DF1∣=√17／4 BE1· DF1 =15／16 ∴cos＜BE1，DF1＞ = ∣BE1∣· ∣DF1∣ =15／17 BE1· DF1 D A
D1
A1
F1 E1 B1
C1
C
B
Y
X
2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l AB=4cm,， AC=6cm，BD=8cm, CD=2√17求异面直线AC、BD所成角
A A’
C’ D’
B’ D C
B
∴∣AC∣=√85
例3 已知 正方形ABCD 求证 CA1⊥平面AB1D1 B 证明 连结 A1C1 ∵CC1⊥平面A1B1C1D1 B1D1⊥A1C1 ∴A1C⊥B1D1 同理可证 A1C⊥AD1 ∵B1D1∩AD1=D1 ∴CA1⊥平面AB1D1
A
Z D
C
A1
y
C1
D1
B1 X
Hale Waihona Puke 三 练习反馈1已知线段AB在平面α 内，线段AC⊥α ，线段BD⊥AB 线段DD'⊥α ，∠DBD1=300如果AB=a，AC=BD=b 求C、D间的距离
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究夹角问题课件
|=
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
《空间向量的应用》课件
向量的坐标。
向量的数量积
通过对应坐标的乘积求和得到一个标量。
向量的向量积
通过对应坐标的乘积求和得到一个新的向量。
空间向量的应用
1
物理问题求解
2
空间向量非常有用，可以解决力的合成、
力的平衡以及矩形的平衡问题。
3
几何问题求解
通过使用空间向量解析，我们可以解决 各种平面和空间几何问题。
《空间向量的应用》PPT 课件
这是一份关于空间向量应用的PPT课件，我们将探讨空间向量的定义、基本运 算和广泛应用于几何、物理和工程问题的实例。
什么是空间向量？
空间向量是多维空间中的一个向量，由起点和终点确定，并可用坐标表表示。
空间向量的基本运算
向量加法
将两个向量的对应坐标相加得到新向量的坐标。
工程问题求解
在三维空间中，我们可以使用空间向量 进行建模、计算和坐标系的转换。
结论
空间向量是多维空间中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领 域，发挥着重要的作用。
向量的数量积
通过对应坐标的乘积求和得到一个标量。
向量的向量积
通过对应坐标的乘积求和得到一个新的向量。
空间向量的应用
1
物理问题求解
2
空间向量非常有用，可以解决力的合成、
力的平衡以及矩形的平衡问题。
3
几何问题求解
通过使用空间向量解析，我们可以解决 各种平面和空间几何问题。
《空间向量的应用》PPT 课件
这是一份关于空间向量应用的PPT课件，我们将探讨空间向量的定义、基本运 算和广泛应用于几何、物理和工程问题的实例。
什么是空间向量？
空间向量是多维空间中的一个向量，由起点和终点确定，并可用坐标表表示。
空间向量的基本运算
向量加法
将两个向量的对应坐标相加得到新向量的坐标。
工程问题求解
在三维空间中，我们可以使用空间向量 进行建模、计算和坐标系的转换。
结论
空间向量是多维空间中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领 域，发挥着重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三基能力强化
1．若平面α，β的法向量分别为n1＝ (2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 答案：C
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
三基能力强化
2．若直线l的方向向量与平面α的
法向量的夹角等于120°，则直线l与
课堂互动讲练
由题设知点E、F、G1、E1的坐标分 别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，
∴F→E1＝(0,1，－1)，
F→G1＝(0，－1，－1)，E→E1＝(－1,0,0)，
∴
F→G1·E→E1＝
0，
→→ FG1·FE1
＝
0⇒F→G1⊥
→ EE1
，
F→G1⊥F→E1， 又∵EE1∩FE1＝E1.
课堂互动讲练
例1 (2009年高考广东卷)如图，已知正方 体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是 正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱 C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点 E、G在平面DCC1D1内的正投影． (1)证明：直线FG1⊥平面FEE1； (2)求异面直线E1G1与EA所成角的正 弦值．
平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30°
D．以上均错
答案：C
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
三基能力强化
3．(教材习题改编)在如图所示 的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E 是C1D1的中点，则异面直线DE与 AC所成角的余弦值为( )
考点一 求异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2 的方向向量，则
范围
l1与l2所成的角θ 0<θ≤π2
a与b的夹角〈a，b〉 0<〈a，b〉<π
求法
cosθ＝|cos〈a，b〉| ＝ |a·b|
cos〈a，b〉＝
版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
A．－
10 10
1 C.20
答案：D
B．－210 10
D. 10
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
三基能力强化
4．已知直线l的方向向量为v，平 面α的法向量是μ，且v·μ＝0，则l与α 的位置关系是__________．
答案：l⊂α或l∥α
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
|n·m| a、b所成的角θ的余弦值为 |n||m|.
基础知识梳理
2．直线和平面所成的角 (1)平面的斜线与它在平面上的 射影 所成 的角叫做这条斜线与平面所成的角． (2)直线与平面所成角的向量公式 直线a的方向向量和平面α的法向量分别为 m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与 平面α所成的角等于 m与n的夹角的余角 ；若m 与n的夹角大于90°时，直线a与平面α所成的 角等于m与n的夹角的补角的余角 ，所以直线a 的方向向量和平面α所成的角的正弦值为 |n·m|
第7课时 空间向量的应用
基础知识梳理
1．异面直线所成的角 (1)过空间任一点O分别作异面 直线a与b的平行线a′与b′，那么直线 a′与b′所成的 不大于90°的角，叫做 异面直线a与b所成的角．
基础知识梳理
(2)异面直线所成角的向量公式 两异面直线a、b的方向向量分别为m 和n.当m与n的夹角不大于90°时，异面 直线a、b所成的角θ与m和n的夹角 相等； 当m与n的夹角大于90°时，直线a、b所 成的角θ与m和n的夹角 互补．所以直线
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
【解】 (1)证明：以 D 为原点，D→D1、D→C、 D→A分别为 z 轴、y 轴、x 轴的正向，12|D→D1|为 1 个单位长度建立空间直角坐标系，
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
三基能力强化
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中 平面AB1D1与平面A1BD所成的角为 θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝__________.
答案：13
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)证明F→G1⊥E→E1， F→G1⊥F→E1，
(2)先求E→A，E→1G1所成的角，从而转 化为直线 E1G1 与 EA 所成的角．
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
互动探究
题目条件不变，求异面直线AE 与CG所成角的余弦值．
解：∵A(1,0,0)，E(1,2,1)，C(0,1,0)，G(2,0,1)，
∴FG1⊥平面 FEE1.
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
(2)由题意知点 A 的坐标为(2,0,0)，
又由(1)解答可知E→A＝(1，－2，－1)，
E→1G1＝(0，－2,0)，
→→
∴cos〈E→A，E→1G1〉＝
EA·E1G1 →→
＝
|n||m| .
基础知识梳理
3．平面和平面所成的角 (1)过二面角α－l－β棱上任一点O作垂 直于棱l的平面角，与面α、β的交线分别为 OA、OB，那么∠AOB 叫做二面角α－l－β 的平面角． (2)平面与平面所成角的向量公式 平面α与平面β的法向量分别为m和n， 则二面角与m、n的夹角θ 相等或互补．
6， 3
|EA|·|E1G1|
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
【人教版】空间向量的应用ppt完美版 1
课堂互动讲练
【规律小结】 用向量方法求两条异面 直线所成的角，是通过两条直线的方向向量 的夹角来求解，而两异面直线所成角 θ 的范 围是(0，π2]，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]， 所以要注意二者的区别与联系，应有 cosθ＝ |cosα|.