空间向量的应用(一)
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]
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空间向量在立体几何中的应用:（1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． （2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ,平面α ，β 的法向量分别是u ,v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ,b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ,显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量，则<m 1，m 2>与该二面角的大小相等或互补．（4）根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3,OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1,点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A （3，0，0），B (0，4，0)，O 1（0，0，2)，A 1(3，0，2），B 1（0，4，2），E （3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2,2）,R (3，2，0）,⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：（1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1,B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一:设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A （4,0，0），M （2，0，4），N （4，2，4）,B (4，4，0)，E （0，2，4)，F （2，4，4)．取MN 的中点K ,EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O （2,2，0)，K （3,1,4），G （1，3，4）．MN ＝（2,2，0)，EF ＝(2，2,0)，AK ＝（－1,1,4），OG ＝（－1，1，4)， ∴MN ∥EF ,OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3），平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝（2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝（2，－2,1)．∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0)，A (2，0,0），M (2，1，2）,C （0,2，0），N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ,连接B 1P ，B 1Q ，PQ ,PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角（锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A （0,0，0），B (0，a ，0），),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0),B (0，a ,0），A 1(0，0，a 2），)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝（p ，q ，r ）, 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0,0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C （0，0，0）,A (1，0，0），B （0，2，0)，P （1,0，1），由D 是PB 的中点,得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二:如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0),)0,1,2(B ，C （0,1，0)，P (0，0,1），).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1,a 2，a 3），平面PBC 的法向量是b ＝（b 1,b 2，b 3）． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝（0,1，1）．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题： 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是（ ） (A)2（B ）2（C)5（D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是（ ) (A)30° （B)45° (C)60° （D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） (A)31 （B ）32 （C)33 (D ）32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ,B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ,AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）（A)θ ＞ϕ,m ＞n （B ）θ ＞ϕ，m ＜n （C)θ ＜ϕ,m ＜n(D ）θ ＜ϕ,m ＞n二、填空题:5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图,正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图,在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点,N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ,A ∈PQ ，B ∈α ,C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．（Ⅰ）证明：BC ⊥PQ ；（Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图 9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2,2，0)，C （0，2，0)，E （0，2，1），A 1（2,0，4）．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A（Ⅰ）∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝（4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ,y ，z 轴建立坐标系．则A （0，0,0)，B (1，0，0），)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0,0，2）,M （0，0，1），⋅-)0,42,421(N （Ⅰ）⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝（x ,y ,z ），则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． （Ⅱ）设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．（Ⅰ）证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ,α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ）由（Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点,分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图）．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°,∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z ）是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝（1,0,0）是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ,∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。
2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。
空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)
空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
1.4 空间向量的应用(解析版)
1.4 空间向量的应用思维导图新课标要求①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|a·b||a||b|.5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|n1·n2| |n1||n2|.名师导学知识点1 直线的方向向量与平面的法向量【例1-1】（2020春·焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为A. B. C. D.【分析】本题考查直线的方向向量，向量的共线定理，属于基础题．先由题意求出2，，再由选项判断与共线的向量即可．【解答】解：因为2，，而2，，所以是直线l的一个方向向量．故选A．【例1-2】（2020春•广州期末）（2020春•武侯区校级期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则A. B. C. 或 D. 或【分析】本题考查空间线面位置关系、法向量的性质，属于基础题．利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．【解答】解：，，或，故选D．【变式训练1-1】（2020•沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A. B.C. D.【分析】本题考查了运用空间向量判断线面平行，属于基础题．根据时，，分别判断A、B、C、D是否满足条件即可．【解答】解：若，则，而A中，不满足条件；B 中，不满足条件；C中，不满足条件；D中，满足条件．故选D．【变式训练1-2】（2020•东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对【分析】本题考查利用空间向量研究平面垂直问题，属基础题．依题意，分别求出，，即可求得结果．【解答】解：，，，，所以与不垂直，，所以与不垂直，，所以与不垂直，故选D．知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系【例2-1】（2020•浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【分析】本题考查利用空间向量法判定线性垂直及平行，属于基础题．建立空间直角坐标系，写出坐标，得，EF与AC不共线，故．【解答】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，0，，1，．，由于，显然，故．又EF与AC不共线，故．【例2-2】（2020•柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．求证：平面AEC．【解答】证明如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设，，则有0，，b，，0，，0，，0，，b，，由已知得，，，设平面AEC的一个法向量为，则且，可得1，，，，又平面AEC，平面AEC．【例2-3】（2020春•金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．【分析】本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：平面EFBD，平面EFBD，进而得到平面平面EFBD．【解答】证明：由题意，正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，2，，4，，2，，4，．取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则2，，1，，3，．2，，2，，1，，1，，，，，，平面EFBD，平面EFBD，平面平面EFBD．【变式训练2-1】（2020春•宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【分析】本题考查了利用空间向量平行的判断，是容易题．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，4，，0，，0，，4，．，，Q ，R分别是棱，AE的中点，，2，，2，，．于是．．，．【变式训练2-2】（2020春•朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，求证：平面ADE；平面平面F.【分析】本题考查利用空间向量证明线性、线面平行．如图，建立空间直角坐标系，求出和平面ADE的法向量，由，又平面ADE，推证结果；进一步求出平面的法向量，由两个平面的法向量平行推证结果．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，2，，0，，所以，，．设，分别是平面ADE、平面的法向量，则，，取，则．同理可求．，，又平面ADE，平面ADE．，平面平面F.知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系【例3-1】（2020春•扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【分析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题．由可得【解答】证明：结合图形，知，，则，所以，即．【例3-2】（2020•上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC 的中点，求证：平面F.【分析】本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面F.【解答】证明：设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系，则0，，，0，，0，，．，，，，，，．即，，又，平面F.【例3-3】（2020春•点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【分析】本题主要考查利用空间向量证明面面垂直．首先利用空间向量证明线面垂直，即可得面面垂直．【解答】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设，依题意得0，，1，，2，，1，，0，，．则，，，，，又，，又，平面AMD．而平面CDE，平面平面AMD．（2020•三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【变式训练3-1】【分析】本题主要考查了利用空间向量证明线线垂直，是基础题．将用、表示；用、表示；利用向量数量积的运算律求出；最后根据数量积为0判断出垂直．【解答】证明：，，，，．，从而．（2020•镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，【变式训练3-2】，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【分析】本题考查空间直线与平面垂直的判定以及线线垂直的判定，属基础题目．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量判断线线垂直和线面垂直．【解答】解：如图，以A为坐标原点，射线AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，0，，0，．，，设y，，则．平面PBC，，，即，，在PC上，可令，则，将，代入可得，，则，此时F为PC的中点．【变式训练3-3】（2020春•未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．【分析】本题主要考查了空间向量在立体几何中证明垂直的应用．建立空间直角坐标系，设，得出相关点坐标，进而得出向量的坐标，计算，，可得平面ABC，由面面垂直的判定定理证得结论．【解析】证明：建系如图，取0，，则易得0，，，，，，则有，，，，，，．又，平面ABC．又平面BEF，平面平面ABC．知识点4 用空间向量研究空间中的距离问题（2019秋•海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，【例4-1】E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．【分析】本题目主要考查空间两点的距离公式，空间直角坐标系，属于一般题．（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面PEF的法向量，再得点D到平面PEF的距离．（2）通过E，F分别为AB，AC的中点，，平面PEF，所以平面PEF，再得直线AC 到平面PEF的距离．【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，，．，，0，．设平面PEF的法向量为y，，则即解得，令，得2，，因此，点D到平面PEF的距离为．由知0，，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以，又平面PEF，所以平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为．【变式训练4-1】（2020春•房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．【分析】本题考查利用空间距离的求法，属基础题．依题意，建立空间坐标系，求出平面PBC的法向量，根据D到平面PBC的距离，计算即可．根据中的数值，利用点A到平面PBC的距离，计算即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，2，，2，，0，．0，，2，，0，．设平面PBC的法向量为y，，则令，则，，．点D到平面PBC的距离．由知，平面PBC 的法向量为，则点A 到平面PBC 的距离．知识点5 用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（2020春•宝山区校级期末）如图，ABCD 为矩形，AB ＝2，AD ＝4，P A ⊥面ABCD ，P A ＝3，求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值．【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量求解．【解】 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,3)，B (2,0,0)，C (2,4,0)， 则PB →＝(2,0，－3)，AC →＝(2,4,0)． 设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →||PB →||AC →|＝422＋(－3)2×22＋42＝413×25＝26565. 【例5-2】（2020春•常州期末）已知在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长与底面边长相等，求AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．【分析】 解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，其中坐标原点E 为A 1C 1的中点， 设棱长为1，则A ⎝⎛⎭⎫12，0，1，B 1⎝⎛⎭⎫0，32，0， AB 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，32，－1.显然平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB 1→·n ||AB 1→||n |＝322＝64.∴AB 1与面ACC 1A 1所成的角的正弦值为64. 【例5-3】（2020•漳州三模）已知，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A －PB －C 的余弦值．【分析】 解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．【解】 解法一：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)， ∴AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)．设平面P AB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0，得⎩⎨⎧z 1＝0，2x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，则n 1＝(1，－2，0)． 又CP →＝(0，－1,1)，CB →＝(2，0,0)． 设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CP →＝0，n 2·CB →＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋z 2＝0，2x 2＝0.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角， ∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC . ∴PC ＝P A 2＋AC 2＝ 2.∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB . 作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 平面角的大小就等于DC →与EA →的夹角θ. ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴PC ⊥BC . ∴PB ＝PC 2＋BC 2＝2.∴PD ＝1，PE ＝P A 2PB ＝12.∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC →＝AE →＋ED →＋DC →， 且AE →⊥ED →，ED →⊥DC →，∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)， 即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33，故二面角A －PB －C 的余弦值为33.【变式训练5-1】（2020春•沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC的中点．求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题．在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．由以及即可求得；先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；先求出平面ABCD的法向量以及平面与平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．【解答】解：在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，则．由题意得，则，异面直线与DM所成角的余弦值为；由题意知，设平面的法向量为，则，解得，，直线与平面所成角的正弦值为；在正四棱柱中，，平面ABCD的法向量为，，平面与平面ABCD所成角的余弦值为，则，平面与平面ABCD所成角的正弦值为．名师导练A组-[应知应会]1.（2020春•杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D. l与斜交【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系属基础题．由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．【解答】解：，，，．故选B．2. （2020•安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题．根据空间向量夹角公式求解即可．【解答】解：，，，向量与的夹角为．故选C．3. （2020•闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。
空间向量的基本概念及其综合应用
空间向量的基本概念及其综合应用随着现代科技的飞速发展，空间向量的应用已经越来越广泛。
本文将介绍空间向量的基本概念以及其在各个领域的综合应用。
一、空间向量的基本概念1. 定义空间向量是指在三维空间中由起点和终点两个点确定的有向线段。
通俗地说，可以将其理解为箭头，箭头的起点和终点均在三维空间内。
2. 表示方法空间向量通常使用坐标表示法进行表述。
在三维直角坐标系中，每个向量可以表示为由三个实数 $(x,y,z)$ 组成的有序数组。
3. 运算法则空间向量的加、减、数量积、向量积等运算法则和二维向量（即平面向量）的运算法则一样。
其中，数量积得到的结果是一个实数，向量积得到的结果是一个向量。
二、空间向量的综合应用1. 三维建模在三维建模软件中，空间向量是非常重要的基本元素。
使用空间向量可以方便地表示各种形状的物体，并进行各种变换和操作，如平移、旋转、缩放等。
2. 物理学在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，重力向量可以表示为指向中心的矢量。
还有一些物理量，如磁场和电场，也可以使用向量来表示。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，向量也是非常基础的概念。
例如，在三维空间中，图形元素（如点、线、面等）的坐标通常使用向量来表示。
4. 空间解析几何在空间解析几何中，向量是非常重要的基本元素。
通过向量的运算，可以求出线段的长度、两直线的夹角等问题。
5. 机器学习在机器学习中，向量是非常重要的数据表示方式。
通过向量表示数据，可以方便地使用各种算法进行分类、回归等任务。
总结：本文简单介绍了空间向量的定义、表示方法和运算法则，并介绍了空间向量的综合应用，包括三维建模、物理学、计算机图形学、空间解析几何和机器学习等领域。
在实际应用中，空间向量是非常重要的基础工具，值得深入学习和掌握。
空间向量在立体几何中的应用(1)
立体几何中的向量方法(一)【高考会这样考】1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算． 2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理． 3．利用空间向量求空间距离． 【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．基础梳理1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)； ②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)； ③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.2．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0，n·b ＝0.(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. (3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. (4)点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.一种思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题． 三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1)平行⎩⎨⎧直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行(2)垂直⎩⎨⎧直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．双基自测1．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定 解析 ∵v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2. 答案 A2．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中在平面α内的是( )．A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4) 解析 ∵n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1,4,1)，∴n ·MP →＝0. 答案 A3．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0，且AP →·AC →＝0是AP →·BC→＝0的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·AB →＝0AP →·AC →＝0，得AP →·(AB →－AC →)＝0，即AP →·CB →＝0，亦即AP →·BC →＝0，反之，若AP →·BC →＝0，则AP →·(AC →－AB →)＝0⇒AP →·AB →＝AP →·AC →，未必等于0.答案 A4．已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( )．A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对 解析 ∵c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a ，∴a ∥c ，又a·b ＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a ⊥b . 答案 C5．已知AB→＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是________． 解析 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1，∴平面ABC 的单位法向量为±n |n|＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23. 答案 ±⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23考向一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[审题视点] 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )． 则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)． 又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n ，又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C → ＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，又∵MN 与DA 1不共线，∴MN ∥DA 1， 又∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．【训练1】如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB→＝sFE →＋tFG →， 即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎨⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2. ∴PB→＝2FE →＋2FG →，又∵FE→与FG →不共线，∴PB →、FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .考向二 利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，在棱长为1的正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤1，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .(1)求证A 1F ⊥C 1E ；(2)若A 1，E ，F ，C 1四点共面求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[审题视点] 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标． 证明 (1)由已知条件A 1(1,0,1)，F (1－x,1,0)，C 1(0,1,1)，E (1，x,0)， A 1F →＝(－x,1，－1)，C 1E →＝(1，x －1，－1)， 则A 1F →·C 1E →＝－x ＋(x －1)＋1＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E .(2)A 1F →＝(－x,1，－1)，A 1C 1→＝(－1,1,0)，A 1E →＝(0，x ，－1)， 设A 1F →＝λA 1C 1→＋μA 1E →，⎩⎨⎧－x ＝－λ，1＝λ＋μx ，－1＝－μ，解得λ＝12，μ＝1. ∴A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．【训练2】 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明 AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°，△ABC 为正三角形． ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一 ∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE .AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0，∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB . 法二 AB→＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD→＝33n . ∵PD→∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .考向三 利用向量求空间距离【例3】在三棱锥SABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离． [审题视点] 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错． 解 取AC 的中点O ，连接OS 、OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ，∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥BO .如图所示，建立空间直角坐标系O -xyz ，则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)，M (1，3，0)，N (0，3，2)．∴CM→＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)，MB →＝(－1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝3x ＋3y ＝0，MN →·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)．∴点B 到平面CMN 的距离d ＝|n ·MB→||n |＝423.点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →，得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |， 所以|BH →|＝|n ·BM →||n |，即d ＝|n ·BM →||n |.【训练3】如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥ 平面BCD ，AB ＝2 3. (1)求点A 到平面MBC 的距离； (2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．解 取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图．OB ＝OM ＝3，则各点坐标分别为C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)．(1)设n ＝(x ，y ，z )是平面MBC 的法向量，则BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)，由n ⊥BC→得x ＋3y ＝0；由n ⊥BM →得3y ＋3z ＝0. 取n ＝(3，－1,1)，BA→＝(0,0,23)，则d ＝|BA →·n ||n |＝235＝2155.(2)CM→＝(－1,0，3)，CA →＝(－1，－3，23)． 设平面ACM 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由n 1⊥CM →，n 1⊥CA →得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－x －3y ＋23z ＝0，解得x ＝3z ，y ＝z ，取n 1＝(3，1,1)． 又平面BCD 的法向量为n 2＝(0,0,1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15. 设所求二面角为θ，则sin θ＝255.规范解答15——立体几何中的探索性问题【问题研究】高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时，往往也会考查一些探索性问题，主要是对一些点的位置、线段的长度，空间角的范围和体积的范围的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，这类题目往往难度都比较大，设问的方式一般是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由.”【解决方案】解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在.【示例】(本小题满分14分) (2011·福建)如图，四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面P AB⊥平面P AD；(2)设AB＝AP.(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由．(1)可先根据线线垂直，证明线面垂直，即可证得面面垂直．(2)由于题中PB与平面PCD所成的角不好作出，因此用向量法求解．至于第2小问，可先假设点G存在，然后推理得出矛盾或列出方程无解，从而否定假设．[解答示范](1)因为P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，所以AB⊥平面P AD.又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AD.(4分)(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)．在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1.设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．由AB＋AD＝4得，AD＝4－t，所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，C D →＝(－1,1,0)，P D →＝(0,4－t ，－t )．(6分) (ⅰ)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥C D →，n ⊥P D →，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，(4－t )y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t )．又P B →＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得cos 60°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·P B →|n |·|P B →|， 即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋(4－t )2·2t 2＝12，解得t ＝45或t ＝4(舍去)，因为AD ＝4－t ＞0，所以AB ＝45.(9分)(ⅱ)法一 假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到P ，B ，C ，D 的距离都相等， 设G (0，m,0)(其中0≤m ≤4－t )，则G C →＝(1,3－t －m,0)，G D →＝(0,4－t －m,0)，G P →＝(0，－m ，t )． 由|G C →|＝|G D →|得12＋(3－t －m )2＝(4－t －m )2， 即t ＝3－m ；(1)由|G D →|＝|G P →|得(4－t －m )2＝m 2＋t 2.(2)由(1)、(2)消去t ，化简得m 2－3m ＋4＝0.(3)(12分)由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、C 、D 的距离都相等．从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等．(14分)法二 (1)同法一．(2)(ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz (如图)． 在平面ABCD 内，作CE ∥AB 交AD 于点E ，则CE ⊥AD . 在Rt △CDE 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1. 设AB ＝AP ＝t ，则B (t,0,0)，P (0,0，t )， 由AB ＋AD ＝4得AD ＝4－t .所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，C D →＝(－1,1,0)，P D →＝(0,4－t ，－t )．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥C D →，n ⊥P D →，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，(4－t )y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t )． 又P B →＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得cos 60°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·P B →|n |·|P B →|， 即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋(4－t )2·2t2＝12， 解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t ＞0)，所以 AB ＝45.法二 假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等． 由GC ＝GD ，得∠GCD ＝∠GDC ＝45°，从而∠CGD ＝90°，即CG ⊥AD ，所以GD ＝CD ·cos 45°＝1.设AB ＝λ，则AD ＝4－λ，AG ＝AD －GD ＝3－λ，(11分)在Rt △ABG 中，GB ＝AB 2＋AG 2＝λ2＋(3－λ)2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－322＋92＞1， 这与GB ＝GD 矛盾．所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点B ，C ，D 的距离都相等．从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．(14分)[解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴非p ：c ＞1.(3分)又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1，∴非q ：c ＞12且c ≠1.(6分)又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1；(9分)②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0＜c ≤12＝∅.(11分) 综上所述，实数c的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 12＜c ＜1.(12分)探索性问题只要根据设问把问题确定下来就变为了普通问题，解题的关键是如何把要探索的问题确定下来，如本题第(2)问，法一是先设出G 点，由条件列出方程无解知G 点不存在．法二是由已知先确定G 点，然后推理得出矛盾，故G 点不存在．。
空间向量的应用
空间向量的应用随着科技的发展，空间向量的应用越来越广泛。
从物理学到计算机科学，从工程技术到地理测量，空间向量在各个领域都发挥着重要作用。
本文将讨论空间向量的基本概念和其在不同领域中的应用。
一、空间向量的基本概念在三维几何学中，我们将三维空间中的点表示为向量。
一个空间向量由其起点和终点决定，可以表示为一个有向线段。
空间向量具有长度和方向两个重要属性，可以进行加减法运算，也可以与数乘相乘。
空间向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，设有两个空间向量a和b，a = (a1, a2, a3)，b = (b1, b2, b3)，则它们的加法运算为：a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
空间向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量与一个常数相乘，得到一个新的向量。
例如，设有一个空间向量a = (a1, a2, a3)和一个常数k，则它们的数乘运算为：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
二、空间向量在物理学中的应用在物理学中，空间向量被广泛应用于描述物体的运动和力学问题。
利用空间向量的概念，我们可以方便地描述物体在三维空间中的位置和速度。
例如，在力学中，我们可以使用位移向量来表示物体从起点到终点的移动情况。
同时，利用速度向量和加速度向量，我们可以描述物体在空间中的运动状态。
另外，在电磁学中，空间向量也有重要应用。
电场和磁场可以用向量来表示，通过分析场向量的大小和方向，我们可以推导出电磁场的性质和相互作用规律。
三、空间向量在计算机科学中的应用在计算机科学中，空间向量被广泛应用于图形学和计算机视觉领域。
通过使用向量表示空间中的点、线和面，我们可以高效地进行图形渲染和图像处理。
例如，在三维图形学中，我们可以使用向量来描述三维物体的形状和位置。
利用空间向量的加法和数乘运算，我们可以实现物体的平移、旋转和缩放等操作。
另外，在计算机视觉中，空间向量的应用也非常广泛。
高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲)(解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ． 【答案】见解析【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。
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空间向量的应用二 姓名： 班级：
高二数学 编写：张泉辉 审核：梅冬 备课日期：2011-1-4 学习目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 重 点： 异线角与线面角的计算 难 点：异线角与线面角的计算
知识链接：1. 2. 3.4. （5.设直线l,m )2,则
l ∥m ⇔a ∥b 6.设直线l l ∥α⇔a ⊥u
新课导学：1.义cos ＜a ,b a b ⋅2.难，只要计算上不失误就可以正确求出角的大小如图，设学法指导：
.异面直线所成的角是
范围是：0°＜θ≤90°
直线与平面所成的角 范围：
0°≤θ≤90°
平面α所成的角θ)20(π
θ<<。
合作探究：在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F (1)求直线A ′C 与DE 所成的角； (2)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；
练习：1.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1F 1=41
D 1C 1，求B
E 1与D
F 1所成的角余弦值的大小。
2.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC ⊥且AC BC a ==，∠VDC=45°。
求直线BC 与平面VAB
学习小结：
cos sin =βθ
达标检测：（A 组训练）
1. 已知空间四点11
(0,1,0),(1,0,),(0,0,1),(1,1,)22
A B C D ，则异面直线,AB CD 所
成的角的余弦值为( ) A.19- B.
19 C.13 D.13
- 2如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所
成角的正弦值为_________
（B 组训练）
1 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
2. 如图，直三棱柱ABC －111C B A ，AB = AC = 1，AA 1 = 2，∠111C A B = 90°，D
为BB 1的中点。
（Ⅰ）求证：AD ⊥平面A 1DC 1；
（Ⅱ）求异面直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值。
（C 组训练）
在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角的正弦
值．
解法二：如图建立以三角形BCD 的中
心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X
轴平行于BC
设正四面体ABCD 的棱长为a ，
则
336,,,6233
a a a a
OF FC OD OA ====
∴
336(,,0),(0,,0),(0,0,),2633
a a a a C D A - ∵E 为AD 的中点，∴36(0,
,)a a
E ∴ 36(,,)2a a a
CE =-
又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2
sin cos ,3||||
CE n CE n CE n θ⋅=<>=
= 学后反思：
存在问题：1.法向量如何处理？ 2. P111 页1、2、4题未用。
3. 知识链接内容
A B
C
D
E
F H
o
x
z
y。