3.1空间向量及其运算第1课时完美版
3.1空间向量及其运算 第1课时
教学案3．1 空间向量及其运算（第 1课时）（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。
【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。
空间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）AB +BA ； （2）AB ++；（3）AB +BC +CD +DE +EA归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体ABCD -D C B A '''',化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB +； （2）AB +AD +A A ；（3） ++21C C '； （4）31(A A '++)n 1n 1n 433221A A A A A A A A A A =++++- A A A A A A A A 1n 433221=++++例3．已知正方体ABCD -D C B A ''''，点E 是上底面D C B A ''''的中心，求下列各式中x,y,z 的值。
（1）D B '=x +y +z A A '；（2）（2）=x +y +z A A '.【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。
高中数学课件 空间向量及其运算(第一课时)
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简 下列向量表达式，并标出化简结果的向量。 1 .BC +AB
空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
一：空间向量的基本概念
阅读教材P84-85填写下表 平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．
0 A1 A2 A2 A3 An 1 An An A1 ______
(4） 1 A2 A2 A3 A3 A1 0 A
A1 A
2
An－1
An A
3
…
A
4
首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．
加法结合律： (a + b)+c = a +(b + c)
练一练 化简( AB CD) ( AC BD)
解： 方法一： 将减法转化为加法进行化简 AB CD AB DC ( AB CD) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修
表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
特殊向量
理解特殊向量应注意的几个问题 (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0，单位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． (4)两个向量不能比较大小．
第 三 章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
自主学习 新知突破
1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空 间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及其表示． 3．理解并掌握空间向量的加、减法的运算律．
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住 处，在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总 位移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是不在同一平面 内的位移，如何刻画这样的位移呢？
D．4个
解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
3．两向量共线是两向量相等的________条件． 解析： 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的 情况． 答案： 必要不充分
4．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列 表达式：
(1)A→B＋BB→′－D→A′＋D′ →D－B→C； (2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′. 解析： 根据平行六面体的性质． (1)原式＝A→B＋A′→D′＋D′ →D＋C→B＝A→B＋A′→D＋C→B ＝D→C＋D→A＋A′→D＝D→B＋A′→D＝A→′B； (2)原式＝CC→′＋A′→D＝AA→′＋A′→D＝A→D.
课件2：3.1.1 空间向量及其加减运算
叫做空间向量，向量的 大小 叫做向量的长度或模．
(2)与平面向量一样，空间向量也用 有向线段 表示．起点是
A，终点是 B 的向量 a 也可以记作
→ AB
.其模记作 |a|或|A→B|
.
(3) 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0；模为 1 的向量 叫做单位向量． (4) 方向相同且模相等 的 向 量 称 为 相 等 向 量 ． 与 向 量 a___长__度__相__等__方__向_相__反___的向量称为 a 的相反向量，记为 －a .
2．向量加减运算时，特别注意相反向量的应用，三角形 法则的应用．
3．将一个向量用其他向量线性表示是重点，要特别注意 加法“首尾相接”，减法必须同一起点，指向被减．
巩固训练
一、选择题
1．化简下列各式：(1)A→B＋B→C＋C→A；(2)A→B－A→C＋B→D－C→D；
(3)O→A－O→D＋A→D；(4)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P.结果为零向量的个数
跟踪练习 3 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 BC，
A1B1 的中点，设D→A＝a，D→C＝b，D→D1＝c，用 a、b、c 表 示向量B→1E，C→F.
[解析] B→1E＝B→1B＋B→E＝B→1B＋12B→C ＝－D→D1－12D→A＝－c－12a； C→F＝C→C1＋C→1F＝C→C1＋C→1B1＋12B→1A1 ＝D→D1＋D→A－12D→C＝c＋a－12b.
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上， 这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B，则 A→B＝b－a，B→A＝a－b.
3.1.1空间向量及其加减运算第一课时.ppt
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量,
a
，b
，如
b 有什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
解(3)
uuur
AC
uuur
uAuuBr1
uuAurD1
uuur
uuur
D1
C1
(
AD uuur
AB) uuur
(
AuAu1ur
AB)
(
AA1
AD)A1
B1
2(AD AB AA1)
uuuur
2AC1
D
C
x 2.
A
B
4.例题2
在 若正uAuEur方 体uAuAuuAur' C x1中uAuBur,点 yEuAu是Dur 面，A求C实’ 的数中x,y心. ,
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
＝AB BM
MG
1 ( AB 2
AC )
＝BM MG 1 ( AB AC )
G
2
BM MG MB
B
M
C MG
———共线向量与共面向量
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
3.1.1空间向量及其加减运算课件人教新课标
D' A'
D A
C' B'
C B
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证： AC AB AD 2AC. D'
A' 证明：AC AB' AD'
AB BC AB BB' AD DD'
2( AB BC CC' )
D
2 AC' A
C' B'
C B
变式：
量相加．
4.推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.
记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
高中数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
高中数学选择性必修一课件：空间向量及其线性运算(第1课时)
探究 1 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要平移向量；化简向 量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到 减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间 可相互转化．另外，要按照题目要求，将化简的结果在图中标注好．
思考题 3 (1)在长方体 AC1 中，化简式子： D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B＝___B_→D_1___．
点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列 各题中 x，y 的值．
(1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
【解析】 (1)∵O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12. (2)∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. ∵P→C＋P→D＝2P→Q，∴P→C＝2P→Q－P→D， ∴P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D. ∴x＝2，y＝－2.
题型二 空间向量的加减运算
例 3 (1)化简(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)． 【解析】 (A→B＋C→D)－(A→C＋B→D) ＝A→B＋C→D－A→C－B→D ＝A→B＋C→D＋C→A＋D→B ＝(C→A＋A→B)＋(C→D＋D→B) ＝C→B＋C→B＝2C→B.
(2)如图，已知长方体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在 图中标出化简结果的向量．
(2)由于这个长方体的对角线长为 p2＋q2＋1＝ 2，故模为 2的向量有A→C1， C→1A，A→1C，C→A1，B→D1，D→1B，B→1D，D→B1.
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身以外)有A→1B1，D→C，D→1C1. (4)向量A→A1的相反向量为A→1A，B→1B，C→1C，D→1D.
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
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§3.1.1空间向量及加减其运算
【学情分析】：
向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法
（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：
空间向量的概念和加减运算
【教学难点】：
空间向量的应用
四．练习巩
固 1．课本P86练习1-3
2．如图，在三棱柱1
11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1
解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--
巩固知识，注意区别加
减法的不同处.
五．小结
1．空间向量的概念：
2．空间向量的加减运算
反思归纳
六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）
练习与测试：
（基础题）
1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。
答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。
3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。
4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;
（2）12
1
AA CB AC +
+; （3）CB AC AA --1
解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =+
+12
1
（3）11BA CB AC AA =--
（中等题）
5．如图，在长方体///B D CA OADB -中，3,4,2,OA i OB j OC k ===，点E,F 分别是/
/,B D DB 的中点，试用向量k j i ,,表示OE 和OF
解：j i OE 423
+=
k j i OF 242
3
++=。
6．在上题图中，试用向量k j i ,,表示EF 和FE 解：EF =OE OF -=k 2， FE =--EF =--k 2。