(教案)空间向量及其运算
空间向量及其运算
【高考导航】
本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分.
【学法点拨】
本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.
【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义
(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
(2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段.
2.空间向量的加法、减法及数乘运算.
(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0.
(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意
-=的逆应用.
(3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义.
(1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2
1
时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP =
2
1
(OA +OB ). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
向量,叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的.如果两个向量a、b不共线.则向量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y.使p=xa+yb.对于空间任一点O和不共线的三
点A、B、C，A、B、C、P共面的充要条件是OP=x OA+y OB+z OC（其中x+y+z=1）.
共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面.
4.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.特别的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，则x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量.
5.两个向量的数量积.
a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性质如下：
（1）a·e=|a|·cos
（3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|≥a·b.
二、重点难点突破
（一）重点
空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平面向量参数方程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论，两个向量的数量积的计算方法及其应用.
（二）难点
空间作图，运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.
对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出：
（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量，仍得等式.即“移项法则”仍成立；（3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍是等式.这样知识掌握更加深刻.用空间向量解决立体几何问题.一般可以按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化为向量表示，则它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到所需要的结论?
三、易错点和易忽略点导析
两个向量的夹角应注意的问题：①（a，b）=（b，a）；②（a,b）与表示点的符号（a,b）
不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB=
【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨
【例1】 已知两个非零向量e 1、e 2不共线，如果AB =e 1+e 2，AC =2e 1+8e 2，AD =3e 1-3e 2.求证：A 、B 、C 、D 共面.
思维入门指导：要证A 、B 、C 、D 四点共面，只要能证明三向量AB 、AC 、AD 共面，于是只要证明存在三个非零实数λ、μ、υ使λAB +μAC +υAD =0即可.
证明:设λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+υ(3e 1-3e 2)=0. 则(λ+2μ+3υ)e 1+(λ+8μ-3υ)e 2=0. ∵e 1、e 2不共线， ∴???=-+=++.
038,032υμλυμλ 上述方程组有无数多组解,而λ=-5,μ=1,υ=1就是其中的一组,于是可知-5AB +AC +AD =0.
故AB 、AC 、AD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共面.
点拨：寻找到三个非零实数λ=-5,μ=1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法.
二、应用思维点拨
【例2】 某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向.
思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量.
解:设a 表示此人以每小时α公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为-a ,设实际风速为v ,那么此人感到的风速向量为v-a .如图9-5-2.设OA =-a ,OB =-2a .由于
PO +OA =PA ,从而PA =v-a .这就是感受到的由正北方向吹来的风.其次，由于
PO +OB =PB ，从而v-2=PB .于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的
风就是PB .
由题意,得∠PB O =45°, PA ⊥B O ，BA=A O ，从而△PB O 为等腰直角三角形.故P O =PB=2α.即|v|=2α.
答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.
点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解.知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.
三、创新思维点拨
【例3】 如图9-5-3(1)，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.
（1）用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； （2）用向量法证明BD ∥平面EFGH.
思维入门指导:(1)要证E 、F 、G 、H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y,使EG =x EF +y EH 即可;(2)要证BD ∥平面EFGH,只需证向量BD 与EH 共线即可.
证明:(1)如图9-5-3(2),连结BG,则
EG =EB +BG =EB +
2
1
(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH . 由共面向量定理推论知，E 、F 、G 、H 四点共面. (2)∵EH =AH -AE =
21AD -21AB =21(AD -AB )=2
1
BD , ∴EH ∥BD.
又EH ?面EFGH ，BD ?面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH.
点拨：利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点.
【例4】 如图9-5-4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1C 1与DE 所成角.
思维入门指导：在正方体AC 1中，要求A 1C 1与DE 所成角,只需求11C A 与所成角即可.要求11C A 与DE 所成角，则可利用向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和|DE |即可.
解:设正方体棱长为m,AB =a,AD =b,1AA =c. 则|a |=|b |=|c |=m ，a ·b =b ·c =c ·a =0. 又∵11C A =11B A +11C B =AB +AD =a +b ,
=1DD +D 1=1DD +
2111C D =c +2
1
a ,
∴11C A ·DE =(a+b)(c+
21a)=a ·c +b ·c +21a 2+
21a ·b =21a 2=2
1m 2
. 又∵|11C A |=2m,|DE |=
2
5
m, ∴cos<11C A ,DE >=
|
|||1111DE C A ?=
m m m 2
52212?
=
10
10. ∴<11C A ,DE >=arccos
1010.即A 1C 1与DE 所成角为arccos 10
10. 点拨：A 1C 1与DE 为一对异面直线.在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求.
而应用向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把
11C A 及DE 用同一组基底表示出来,再去求有关的量是空间向量运算常用的手段.
四、高考思维点拨
【例5】 （2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD.
(1)求证：C 1C ⊥BD ；
(2)当1
CC CD
的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?请给出证明.
思维入门指导：根据两向量的数量积公式a ·b =|a |·|b |cos
(1)证明:设=a ,=b ,1CC =c .由题可知|a |=|b |.设、、1CC 中两两所成夹角为θ,于是BD =-=a -b ,
1CC ·BD =c ·(a -b )=c ·a -c ·b =|c |·|a |cos θ-|c |·|b |cos θ=0,
∴C 1C ⊥BD.
(2)解:若使A 1C ⊥平面C 1BD,只须证A 1C ⊥BD,A 1C ⊥DC 1,由于:
1CA ·D C 1=(+1AA )·(-1CC )=(a +b +c )·(a -c )=|a |2
+a ·b -b ·c -|c |2
=|a |2
+|b
|·|a |·cos θ-|b |·|c |cos θ-|c |2
=0,得
当|a |=|c |时A 1C ⊥DC 1.同理可证当|a |=|c |时,A 1C ⊥BD.
∴
1
CC CD
=1时,A 1C ⊥平面C 1BD. 点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的.
（a -b ）·（a +b ）=a 2-b 2；(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2
. 五、经典类型题思维点拨
【例6】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心）
思维入门指导：如图9-5-6所示四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别为各棱中点.要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点.可以先证明两条直线EF 、GH 相交于一点O ，然后证明P 、O 、Q 三点共线，即OP 、OQ 共线.从而说明PQ 直线也过O 点.
证明：∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点， ∴EG ∥
21BC.同理HF ∥2
1
BC.∴EG ∥HF. 从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点，
连接O P 、O Q.
∵OP =OG +GP ,OQ =OH +HQ ,而O 为GH 的中点， ∴+=0,GP ∥21CD ，QH ∥2
1
CD. ∴=
21,=2
1
. ∴OP +OQ =OG +OH +GP +HQ =0+21CD -2
1
CD =0. ∴=-.
∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点.
点拨:本例也可以用共线定理的推论来证明,事实上,设EF 的中点为O .连接O P 、O Q,则
=-EF ,而=
21=-FP ,EF =-2,则=-FP +2,∴=2
1
(+FP )，从而看出O 、P 、Q 三点共线且O 为PQ 的中点，同理可得GH 边经过O 点且O 为GH 的中点，从而原
命题得证.
六、探究性学习点拨
【例7】 如图9-5-7所示，对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量a =OA ，b =OB ,c =OC ,d =OD .求证：A 、B 、C 、D 四点共面的充要条件是存在四个非零实数α、β、γ、δ，使αa +βb +γc +δd =0，且α+β+γ+δ=0.
思维入门指导：分清充分性和必要性，应用共面向量定理.
证明：(必要性)假设A 、B 、C 、D 共面，因为A 、B 、C 三点不共线，故AB ，AC 两向量不共线，因而存在实数x 、y ，使AD =x AB +y AC ,即d-a=x(b -a )+y(c -a ),∴(x+y -1)a -xb -yc +d =0.令α=x+y-1, β=-x,γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.
（充分性）如果条件成立，则δ=-(α+β+γ),代入得 αa +βb +γc +δd =αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0. 即α(a-d)+ β(b-d)+γ(c-d)=0.
又∵a -d=OA -OD =DA ,b-d=DB ,c-d=DC , ∴αDA +βDB +γDC =0.
∵α、β、γ为非零实数,不妨设γ≠0.
则DC =-γα
DA -γβDB .
∴DC 与DA 、DB 共面，即A 、B 、C 、D 共面.
点拨：在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且向量可以平移，
因而不能完全按照它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系.
【同步达纲训练】
A 卷:教材跟踪练习题 （60分 45分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分）
1.点O 、A 、B 、C 为空间四个点，又、、为空间一个基底，则下列结论不正确的是（ ）
A.O 、A 、B 、C 四点不共线
B. O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线
C. O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线
D. O 、A 、B 、C 四点不共面 2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为的共有( )
①（+）+1CC ②（1AA +11D A ）+11C D ③（+1BB ）+11C B ④（1AA +11B A ）+11C B
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量;命题q ：{a ,b ,c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC =0，AC ·AD =0，AB ·AD =0,则△BCD 是（ ）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不确定 5.下列命题中，正确的是（ ） A.若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行 B.若a ∥平面β，a 所在直线为a ，则a ∥β
C.若｛a,b,c ｝为空间的一个基底，则{a-b,b-c,c-a}构成空间的另一个基底
D.若OP =
21OA +2
1
OB ,则P 、A 、B 三点共线 6.若a =e 1+e 2+e 3，b =e 1-e 2-e 3，c =e 1+e 2，d =e 1+2e 2＋3e 3，且d =x a+y b+z c ，则x 、y 、z 分别为
（ ）
A.
25,-21,-1 B.25,21,1 C.-
25,21,1 D.25,-2
1,1 二、填空题（每小题4分，共16分）
7.设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那
么（a +3c ）·（3b -2a ） ；（2a +b -3c ）2
= .
8.已知向量n A A 1=2a ，a 与b 的夹角为30°，且|a|=3，则21A A +32A A +…+n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为 .
9.如图9-5-8，已知空间四边形O ABC ，其对角线为O B 、AC ，M 是边O A 的中点,G 是△ABC 的重心，则用基向量OA 、OB 、OC 表示向量MG 的表达式为 .
10.已知P 、A 、B 、C 四点共面且对于空间任一点O 都有=2+
3
4
+λ,则λ= .
三、解答题（每小题7分，共14分）
11.如图9-5-9，已知点O 是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1体对角线的交点，点P 是空间任意一点.
求证：++++1PA +1PB +1PC +1PD =8.
12.如图9-5-10，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB,且与α所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C 、D 间的距离.
B 卷:综合应用创新练习题 （90分 90分钟） 一、学科内综合题(10分)
1.如图9-5-11所示，已知□ABCD ，O 是平面AC 外一点，
1OA =2OA ,1OB =2OB ,1OC =2OC , 1OD =2OD .求证：A 1、B 1、C 1、D 1四点共面.
二、应用题（10分）
2.在△ABC 中，∠C=60°,CD 为∠C 的平分线,AC=4，BC=2，过B 作BN ⊥CD 于N 延长交CA 于E ，将△BDC 沿CD 折起，使∠BNE=120°，求折起后线段AB 的长度.
三、创新题（60分） （一）教材变型题(10分)
3.（P 35练习2变型）如图9-5-12已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，求
AB 与CD 的夹角.
（二）一题多解(15分)
4.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定比2，N 分成定比1，求满足=x +y +z 的实数x 、y 、z 的值.
（三）一题多变(15分) 5.设a ⊥b,
3π,
π
，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，求|a +b +c |. （1）一变：设a ⊥b ，=3π，=6π
，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求|a+2b-c|. （2）二变：设a ⊥b ，=
3
π
，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，|a+b+c|=3617+，求
-b 与c 的夹角.
（四）新解法题（10分）
6.如图9-5-13，正方形ABCD 和正方形ABEF 交于AB ，M 、N 分别是BD 、AE 上的点，且AN=DM ，试用向量证明MN ∥平面EBC.
7.O 为空间任意一点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
OP =OA +λ(
|
||
|AC AC AB AB +),
λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心 四、高考题(10分)
8.（2002,上海,5分）若a 、b 、c 为任意向量，m∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A.(a +b )+c =a +(b +c ) B.(a +b )·c =a ·c +b ·c C.m(a +b )=ma+m b D.(a ·b )·c =a ·(b ·c ) 加试题：竞赛趣味题（10分）
证明：ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22(a ，b ，c 为正实数).
【课外阅读】
用向量表示三角形的四心
由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.
【例】 如图9-5-14，在△ABC 中，F 是AB 上的一点,E 是AC 上的一点,且
FB AF =l m ,EC AE =l
n
(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF 、BE 交于点D.求D 点的坐标.
解：在平面上任取一点O ，连结O A 、O B 、O C 、O D 、O E 、O F ，由定比分点的向量表达式，得：
OF =(OA +
l m ·OB )÷(1+l
m ) =
m
l OB
m OA l +?+? ①
=
l
n OC
l n
OA +?+
1=n l OC n OA l +?+? ②
又=
λλ+?+1OC OF =u OE u OB +?+1 ③(其中DC
FD
=λ,u DE BD =). 整理①、②、③式得λ=1
+m n
. 所以OD =
n m l l ++OA +n m l m ++OB +n
m l n
++OC ④
由④式出发，可得三角形四心的向量表达式：
（1）若BE 、CF 是△ABC 两边上的中线，交点G 为重心.由④式可得重心G 的向量表达式：
=
3
1
(++). （2）若BE 、CF 是△ABC 两内角的平分线，交点I 是内心. 因为
FB AF =a b ,EC AE =a
c
, 由④式可得内心I 的向量表达式：
OI =
c b a a ++OA +c b a b ++OB +c
b a c
++OC .
（3）若BE 、CF 是△ABC 两边上的高，交点H 是垂心. EC AE =C
a A c cos cos ??=A a C
c cos cos .
同理FB
AF =A
a B b
cos cos .
由④式可得垂心H 的向量表达式：
=C c B b A a C a cos cos cos cos +++C c B b A a C b cos cos cos cos +++C
c
B b A a
C c cos cos cos cos ++. （4）若BE 、CF 的交点O ′是△ABC 的外心，即三边中垂线交点，则 O ′A=O ′B=O ′C. 根据正弦定理：
EC
AE =CBE C
BE EBA A
BE
∠?∠?sin sin sin sin =)(2
1
sin sin )(21
sin
sin C BO A B AO C '∠-?'∠-?ππ =
A A C C cos sin cos sin ??=A
C
2sin 2sin .
同理
FB AF =A
B
2sin 2sin . 由④式可得外心O ′的向量表达式：
OO =
C B A A 2sin 2sin 2sin 2sin ++OA +C
B A B
2sin 2sin 2sin 2sin ++OB
+
OC C
B A C
2sin 2sin 2sin 2sin ++.
这四个向量表达式，都由④式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.
参考答案
A 卷
一、1.B 点拨：空间向量的一组基底是不共面的.
2.D 点拨:AB +BC +1CC =AC +1CC =1AC ,同理根据空间向量的加法运算法则可知(2)、(3)、(4)的计算结果也为1AC .
3.B 点拨：当三个非零向量a 、b 、c 共面时，a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，但是｛a ，b,c ｝为空间的一个基底时，必有a 、b 、c 都是非零向量.因此由P 推不出q ，而由q 可推出P.
4.B 点拨：AC ·=0?AC ⊥AB.同理可得AC ⊥AD,AB ⊥AD. 设AB=a ，AC=b ，AD=c.则BC=22b a +,CD=22c b +,BD=22c a +. ∵cos∠BCD=CD
BC BD CD BC ?-+22
22＞0,故△BCD 为锐角.
同理∠CBD 、∠BDC 亦为锐角.则△BCD 为锐角三角形.
5.D 点拨:向量共线则其所在直线平行或重合,故A 错误;向量平行于平面,则向量在面内或所在直线与面平行,故B 错误;取λ1=λ2=λ3=1,则λ1(a-b)+λ2(b-c)+λ3(c-a)=0,即a-b,b-c,c-a 是共面向量,不能构成空间的基底,故C 错.
x+y+z=1 x=
25, 6.A 点拨: x-y+z=2 ? y=-
2
1, x-y=3 z=-1.
二、7.-62，373 点拨：（a+3c ）·（3b-2a ）=3a ·b-2a 2+9c ·b-6a ·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2
+ 9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62.
8.3 点拨：∵21A A +32A A +…+n n A A 1-=n A A 1,
∴在b 方向投影为|n A A 1|·cos
1
OC 点拨：如答图9-5-1所示，连AG 延长交BC 于E ，MG =MA +AG =
21OA +32AE =21OA +32·21(AB +AC )=21OA +31(OB -OA )+3
1
(OC -OA )=-
61OA +31OB +3
1
OC .
10.λ=-3
7
点拨：根据共面向量定理知，P 、A 、B 、C 四点共面，则=x +y +z ,且x+y+z=1.
三、11.证明:设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心,于是有
PA +PB +PC +PD =(PA +PC )+(PB +PD )=2PE +2PE =4PE ,
同理可证1PA +1PB +1PC +1PD =41PE .
又∵平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，∴+1PE =2PO ,
PA +PB +PC +PD +1PA +1PB +1PC +1PD =4PE +41PE =4(PE +1PE )=8PO .
12.解:由AC ⊥α,可知AC ⊥AB.过D 作DD ′⊥α,D ′为垂足,则∠DBD ′=30°,<,BD >=
120°,||2
=·=(++)2
=||2
+||2
+||2
+2·+2·+ 2·=b 2
+a 2
+b 2
+2b 2
·cos120°=a 2
+b 2
.
∴CD=22b a +. B 卷
一、1.证明：∵11C A =1OC -1OA =2OC -2OA =2(OC -OA )=2AC =2(AB +AD ) =2[(OB -OA )+(OD -OA )]=2OB -2OA +2OD -2OA =(1OB -1OA )+(1OD -1OA )=11B A +11D A , ∴A 1、B 1、C 1、D 1四点共面. 二、2.解：如答图9-5-2.
解：过A 作AM ⊥CD 的延长线于M,则CM=4cos30°=23. CN=2cos30°=3,∴MN=CM -CN=3.
又AM=AC ·sin30°=2,BN=BC ·sing30°=1,且<,>=120°, ∴
∵AM ⊥MN ，则AM ·MN =0.同理MN ·NB =0. ∵AB =AM +MN +NB ,
∴2AB =2AM +2MN +2NB +2·+2·+2· =4+3+1+2||·||·cos60°=10. 即|AM |=10,所以线段AB 长度为10.
三、(一)3.解：取AB 、CD 的中点分别记为M 、N ，连结AN 、BN. ∵空间四边形的每条边和对角线的长都等于a ， ∴BN ⊥CD ，NA ⊥CD.
∴·CD =(AN +NB )·CD =AN ·CD +NB ·CD =0. 则AB 、CD 所成的角为
2
π. (二)4.解法一：如答图9-5-3，取PC 的中点E ，连结NE ，
则=-. ∵=
21=21=-2
1
, =-=
32PC -21PC =6
1
PC .
连结AC,则PC =AC -AP =AB +AD -AP ∴MN =-21AB -61(AB +AD -AP )=-32AB -61AD +6
1
AP . ∴x=-32,y=-61,z=6
1. 解法二：在PD 上取点F ，使F 分所成定比为2，连结MF ，则
MN =+FN =
32CD +DN -=-32+21-31=-32+6
1
=-
32AB +61AP -6
1
AD . ∴x=-
32,y=-61,z=6
1
. (三)5.解：|a +b +c |2
=a 2
+b 2
+c 2
+2a ·b +2a ·c +2b ·c =1+4+9+0+2×3×
21+2×2×3×2
3
=17+63. ∴|a +b +c |=3617+. (1)|a +2b -c |=31223-. (2)
6
5π
. (四)6.证明：设BC =a ，=b ，=c .
∵AN ＝λ1(c +b )，DM =λ1(c -a )，AM =a +λ1(c -a )=(1-λ1)a +λ1c , ∴MN =AN -AM =(λ1-1)a +λ1b .
∵a 、b 是平面EBC 上两个不共线的向量，∴(λ1-1)a +λ1b 必为平面EBC 上的一个向量ZY .由=，且MN ?面EBC ，必有MN ∥ZY ，所以MN ∥平面EBC.
点拨：本题老解法是过M 、N 作AB 的垂线通过证面面平行得到线面平行的，新解法用向量证明.
(五)7.B 点拨：本题是由20XX 年高考新课程卷改编而来，点P 的轨迹通过△ABC 内一定点，与O 点位置和△ABC 的形状无关，故取O 与A 重合.由平行四边形法则，易知P 在∠BAC 的平分线上.
四、8.D 点拨：（a ·b ）·c =|a |·|b | cos θ·c ，
a ·（
b ·
c ）=|b |·|c |cos α·a ，a 与c 的模不一定相等且不一定同向. 加试题:证明:如答图9-5-4，构造三棱锥A —BCD ，
且每个顶角均为60°，且|AB|=a ,|AC |=b ,|AD |=c ,则
ab b a -+22=b a b a ?-+222=|AB -AC |=|BC |, ac c a -+22=c a c a ?-+222=|-|=||,
bc c b -+22=c b c b ?-+222=|-AD |=||.
在三角形BCD 中,|BC |+|BD |＞|CD |, ∴ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22.
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
学案37 空间向量及其运算(理科 )
空间向量及其运算（理科 ） 一、 学习目标： 1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理： 6、空间向量分解定理： 7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。 （4）数量积满足的运算律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos= ____________ 三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且 OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = . （2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ） （A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3] （4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算
空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算 预习课本P84～85，思考并完成以下问题 1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？ 2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？ [新知初探] 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模． (3)表示法：????? ①几何表示法：空间向量用有向线段表示. ②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也 可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |. 2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a |＝1或|AB |＝1 相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量 －a
相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD 3.空间向量的加法和减法运算 空间向量的运算 加法OB＝OA＋AB＝a＋b 加法Z CA＝OA－OC＝a－b 运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同() (2)零向量没有方向() (3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致() 答案：(1)√(2)×(3)√ 2．化简PM－PN＋MN所得的结果是() A．PM B．NP C．0 D．MN 答案：C 3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形 C．矩形D．正方形 答案：A 4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． 答案：球面 空间向量的概念辨析 [典例] A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC [解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案
空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→
空间向量知识点与题型归纳总结
空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理
3.1.1空间向量及其运算
3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
高考数学一轮复习(北师大版理科)：第7章立体几何第6节空间向量及其运算学案
第六节空间向量及其运算 [考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． (对应学生用书第120页) [基础知识填充] 1．空间向量的有关概念 2. (1)共线向量定理：空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在实数λ，使 得a＝λb. (2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量．a是空间任 一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①交换律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③(λa)·b＝λ(a·b)． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)对任意两个空间向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) (3)若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) (4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)如图7-6-1所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 图7-6-1 A ．－12a ＋1 2b ＋c B ．12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D ．12a －1 2 b ＋ c A [BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB → )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12 b ＋ c .] 3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥d C ．c 不平行于d ，c 也不垂直于d D ．以上三种情况均有可能 B [由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面． ∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .] 4．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 2 6 [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2 ＋22 ＋22 ＝2 6.]
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
空间向量及其运算学案
8.6空间向量及其运算 考情分析 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 基础知识 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做 向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；
②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 注意事项 1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ， c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ?a ∥b ； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb . ③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习． 题型一 空间向量的线性运算 【例1】已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1 →＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )
空间向量及其运算测试题
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形
(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
人教版高中数学选修2-1 空间向量及其运算导学案
3.1.1 空间向量及其运算 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 一、自主学习 1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ； 当λ＜0时，λa 与b ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲 1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________. 2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-. a b 3.点C 在线段AB 上，且52 AC CB =,则AC = AB , BC = AB .