本质矩阵五点算法伪解的两种剔除策略_王文斌
201208.相对定向中误匹配的剔除方法研究
光学定位系统立体匹配中伪点的自动去除方法
光学定位系统立体匹配中伪点的自动去除方法刘素娟;杨荣骞;吴效明【期刊名称】《中国组织工程研究》【年(卷),期】2012(016)017【摘要】背景:光学定位系统捕捉到的空间标记点的图像存在特征点相似、场景纹理信息少等情况,使得立体匹配存在多义性,即产生匹配伪点.目的:分析匹配过程,提出一种有效的自动去除立体匹配中伪点的方法.方法:根据同一空间点发射的光线位于同一极平面的原理,将匹配特征点的搜索范围限制在一特定区域内,从而减小了搜索区域.然后通过伪点空间坐标的突变性剔除匹配中产生的伪点,从而得到正确的匹配标记点.结果与结论:实验中对装有3个标记点的模拟手术器械工具进行跟踪.对其连续拍摄40组图像,并选取δ=0.002 5作为初始匹配阈值进行测试.重建的运动轨迹表明该方法可有效的孤立伪点,同时将所得同一时刻的真实点间的距离与真实距离比较,平均误差为0.284 4 mm,相对误差为0.48%.实验结果验证了算法的可行性和有效性.【总页数】4页(P3156-3159)【作者】刘素娟;杨荣骞;吴效明【作者单位】华南理工大学生物医学工程系,广东省,广州市,510006;华南理工大学生物医学工程系,广东省,广州市,510006;华南理工大学生物医学工程系,广东省,广州市,510006【正文语种】中文【中图分类】R318【相关文献】1.脑电信号中眼电伪迹自动去除方法的研究 [J], 李明爱;崔燕;杨金福2.脑电信号中眼电伪迹自动识别与去除方法研究 [J], 李佳庆;李海芳;白一帆;阴桂梅;孙丽婷3.精神分裂症患者脑电信号中眼电伪迹自动去除方法 [J], 赵云;于毅;闫岑;司雅静;张红星;史丽娟4.光学定位系统立体匹配中伪点的自动去除方法 [J], 刘素娟;杨荣骞;吴效明5.印刷品自动光学检测伪缺陷去除方法 [J], 李凡;朱成就;印四华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
徐树芳-数值线性代数-答案完全版精选全文完整版
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给
基于单应性矩阵剔除SIFT错误匹配点的方法
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
第 ３２卷
局 部描述 子 的方 法是 基于 角点 或边 缘 的匹配 ，对环 境 的适 应能 力 差 ．Ｌｏｗｅ总 结 提 出了 一 种 基 于尺 度 空间 ，对 图像放缩、旋转甚至仿射变换具有强鲁棒 性 的 图像局 部特 征描 述子 一ｓＩ Ｆ１１ （Ｓｃａｌｅ Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｆｅａｔｕｒｅ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，尺度不变特征变换 ，简称 ＳＩＦＴ）， ＳＩＦＴ是 实际 问题 中应 用最 为 广泛 的局 部特 征 描 述 子 ．
配方法 Ｊ．基 于灰度 的匹配方法 不需要对 图像 进 行 特征 提取 ，直 接 利 用 图像 的灰 度 信 息 ，能 够提 高 估 计 的精度 和 鲁棒 性 ，但 是计 算 量 较 大 ，且 对 噪 声 敏 感 ＿２ Ｊ．基 于 特 征 的 匹 配 方 法 是 目前 主 要 运 用 的 图像 匹配方 法 ，此类 方法稳 健 性强 ，计算 量小 ，适 用 于 多源 图像 配 准 问题 ．基 于不 变特征 的匹配 是近 年 来 图像匹 配技 术 的研 究 热点 ．
刘 婷 婷
（天津大学 理学院 数学系 ，天津 ３０００７２）
摘 要 ：根据 图像几何 变换的单应性矩阵将 匹配点一一对应的特点 ，提 出一种基于单应性矩 阵的剔除
方法．该方 法首先利用 ＳＩＦＴ进行 匹配 ，得到初始 匹配对 ，进行初 步 筛选 ，然后 利 用相 似三 角形 求 出基 准单应性矩 阵，设定阈值 ，剔 除不 满足 阈值 的 匹配点对 ，最后得 到精确 匹配 点对．通 过与 ＲＡＮＳＡＣ算
法以及 结合 欧式距 离的 ＲＡＮＳＡＣ改进算法进行 实验 比较 ，该 算法具有 更高的正确 匹配率．
超详细MIT线性代数公开课笔记_完整版
9
3 倍这一过程。E21 的第二行使矩阵 A 的行向量进行前述的线性组合，而其它两行
为了保持与原矩阵相同，采用同阶单位阵 I 的行向量。左乘的这个矩阵为“初等矩
阵”（Elementary Matrix），因此记做 E。我以为是消元矩阵，所以记做 E 呢。因
为所乘行向量的倍数-3 出现在 E 矩阵的第二行第一列，因此将之标注为 21。完成
回代 Back-Substitution
8
做方程的高斯消元时，需要对等式右侧的 b 做同样的乘法和加减法。手工计算 时比较有效率的方法是应用“增广矩阵”（augmented matrix），将 b 插入矩阵 A
之后形成最后一列，在消元过程中带着 b 一起操作。（Matlab 是算完系数矩阵再处
理 b 的。）
0 0 1 0 0 1 0 0 1
11
第 03 讲 矩阵的乘法和逆矩阵 Multiplication & inverse matrices
矩阵乘法 Matrix multiplication
我们通过四种方法讨论如何使矩阵 A 与 B 相乘得到矩阵 C。其中 A 为 mn（m
行 n 列）矩阵，而 B 为 np 矩阵，则 C 为 mp 矩阵，记 cij 为矩阵 C 中第 i 行第 j
1 2 3 6
方程组列图像为 x 2
y
5 z 2 4
6 3 1 2
如果改变等号右侧的 b 的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对
于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合。
6
那么问题来了，是否对于所有的 b，方程 Ax=b 都有解？ 从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？” 反例：若三个向量在同一平面内——比如“列 3”恰好等于“列 1”加“列 2”， 而若 b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量 b。此时 矩阵 A 为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵 A 不可逆条件下，不是所有的 b 都能令 方程 Ax=b 有解。 对 n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。 否则这 n 个列向量起不到 n 个的作用，其线性组合无法充满 n 维空间，方程组未必 有解。 从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个 平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两 两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。 都是示意图，来看看 GS 和 Lay 的作图差异有多大吧……
第五章 矩阵函数及其微积分
|xj |
1/2
(和 范数 或 l1 范数 或 1- 范数 ); |2
1/p
j =1 n j =1 n j =1
|xj |xj
(欧 几里 得 范数 或 l2 范数 ); ,p≥1 (H¨ older 范 数 或 lp 范数 或 p- 范 数).
|p
显然, 当 n = 1 时, 例 5.1.2 中的所有范数都变成 C 或 R 上的普通范数 (模或绝对值). 容易看出, || · ||1 与 || · ||2 为 H¨ older 范数中取 p = 1 与 p = 2 的情形, 而 || · ||∞ 是 H¨ older 范 数当 p → ∞ 的极限情形. 直接验证可知 (见习题 3 ), || · ||∞ 满足 定义 5.1.1 的 3 个条件, 因而 为 V 上的向量范数. lp 范数 (p ≥ 1) 显然满足定义中的条件 (1) 和 (2). 为验证条件 (3), 只需 应用下列 Minkowski 不 等式 (证明见习题 4 ):
n i,j =1 n
1/2 |aij |2 |aij |
i=1 n
=
tr(A∗ A) ( Frobenius 范数或 F- 范数) 极大列和范数 极大行和范数
||A||1 = max
1≤j ≤n
||A||∞ = max
1≤i≤n
|aij |
j =1
则不难验证 (见习题 6 ), 它们都是 F n×n 中的范数, 因而 F n×n 成为赋范线性空间.
d d E 1 d −1 d
||x||2 = 1 T 1 '$ −1
E &%
||x||∞ = 1 T 1 −1 −1
E
RANSAC算法求解单应矩阵的具体研究
• 216 •价值工程
RANSAC算法求解单应矩阵的具体研究
Research on the RANSAC Algorithm for Solving the Homogeneous Matrix王博杨 WANG Bo-yang;刘海燕 LIU Hai-yan
(装甲兵工程学院信息工程系，北京100072)
(Department of Infor^nation Engineering, Academy of Ar^nored Forces Engineering, Beijing 100072, China )
摘要：本文主要研究RANSAC算法在单应矩阵求解中的应用。具体方法是在单应矩阵的求解过程中，利用RANSAC算法原理， 通过不断地取点、阈值判断等迭代过程，逐步更新内点集，优化单应矩阵的计算结果，得到更精确解。Abstract: In this paper, we mainly study the application of RANSAC algorithm in solving single homogeneous matrix. By using the
RANSAC algorithm, the interior point set is updated step by step through the iterative process of taking points and thresholds, and the result is optimized to obtain more accurate solutions.
关键词：RANSAC算法;迭代;单应矩阵Key words: RANSAC algorithm； iteration； homography matrix
中图分类号:TP317.4 文献标识码:A 文章编号：1006-4311(2017)02-0216-02
〇引言图像拼接技术能够将多目视频图像拼接成同一平面 下的合成图像，通过该方法的应用可以将无畸变全景监控 变为现实，在军事、交通、科研等领域具有深远意义。图像 拼接技术的关键一步就是多目视频图像间的单应矩阵的 求解。虽然通过4对不共线坐标就可以求出单应矩阵，但 是因为噪声的存在，在实际取点过程中，一定会存在误差， 导致单应矩阵计算不够准确，会给后续的图像拼接造成严 重影响。RANSAC 算法（Random Sample Consensus )是一种获 得非确定样本数据的方法，于1981年由Fischler和Bolles
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第37卷第8期 光电工程 Vol.37, No.8 2010年8月 Opto-Electronic Engineering August, 2010
文章编号：1003-501X(2010)08-0046-07 本质矩阵五点算法伪解的两种剔除策略
王文斌1，刘桂华1，刘先勇1,2，邱志强2 ( 1. 西南科技大学 信息工程学院，四川 绵阳 621010； 2. 绵阳铁牛科技有限公司，四川 绵阳 621010 )
摘要：本质矩阵五点算法是实现三维测量中双视图相对定向的常见方法，在其计算过程中常常采用多项式求解技术，从而引发了解的多异性。为了确定正确解，提出了五点算法的两种改进实现形式，用于消除多异解。它首先用点在相机前的约束排除非物理可实现解，然后在剩余的可能解中分别计算当前双视图中所有公共点的Sampson距离或反投影残差之和，最小值对应的相机参数即为正确的定向参数值。仿真和真实实验均证明了两种策略的可行性和正确性，且基于Sampson的方法较基于反投影的方法速度快。 关键词：本质矩阵；三维测量；相对定向；五点算法；反投影残差 中图分类号：TP391.7 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1003-501X.2010.08.009
Two Removal Tactics of Pseudo Solutions for Essential Matrix Five-point Algorithm
WANG Wen-bin1，LIU Gui-hua1，LIU Xian-yong1, 2，QIU Zhi-qiang2 ( 1. School of Information Engineering, Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621010, Sichuan Province, China; 2. Saint Buffalo Technologies Limited Company, Mianyang 621010, Sichuan Province, China )
Abstract: The five-point algorithm of essential matrix is a common way to achieve relative orientation of the two-view images in 3D measuring. Polynomial solving techniques, which lead to polysemia while computing, are always adopted during the computing process. In order to determine the right solution, two improved methods for five-point algorithm are proposed to avoid multi-solutions. First of all, the inconsistent solutions of physical model were excluded with cheirality constraint. Secondly, the rest error solutions can be solved by computing sums of Sampson distance of all the common points or re-projection residual. In the two-view images, the minimum value among sums is just the correct orientation parameter values. Both simulation and real images experiments have proved the feasibility and correctness of the two tactics. In most cases, methods based on Sampson are much quicker than that based on re-projection. Key words: essential matrix; 3D measuring; relative orientation; five-point algorithm; re-projection residual
0 引 言 由图像对应估计相机的位置、姿态以及空间场景结构是摄影测量和机器视觉领域的主要任务之一。两个或多个相机之间相对位置的估计称为相对定向，其中“八点算法”[1-2]以其线性易解算、运行速度快等特点被广泛使用。在2000年，B. Triggs[3]首先提出了本质矩阵的“五点算法”；之后，D. Nistér[4-5]和H. Li和R. Hartley[6]先后采用Gauss-Jordan消元法和隐含变量法对B. Triggs法中多项式的求解方式进行了改进，使
得求解过程更简单更快速。“五点算法”由于较“八点算法”具有以下优势而被广泛关注：1)“五点算法”
收稿日期：2010-01-12；收到修改稿日期：2010-03-26 基金项目：四川省科技厅国际合作项目(2009HH0023) 作者简介：王文斌(1984-)，男(汉族)，河北唐山人。硕士，主要研究工作是摄像机标定和三维重建。E-mail: wwb-624@163.com。 第37卷第8期 王文斌 等：本质矩阵五点算法伪解的两种剔除策略 47
具有更少的退化形式，比如，对平面场景不退化，但“八点算法”退化；2) 当“五点算法”与RANSAC结合使用时比“八点算法”更高效；3)“五点算法”的实现精度高于“八点算法”；4)“五点算法”需要的配置点更少。 由于“五点算法”的求解是一个多项式求解过程，一般存在多个解而非唯一解，但关于“五点算法”的文献大部分只关注于本质矩阵的求解[3-6]，很少关注误解的排除问题。文献[4]中虽然提到误解可通过“点
在相机前方[1, 7]”的理论进行剔除，但它只是对单一的本质矩阵对应的四个可能解而言的，对于多个本质矩阵对应的多个解，单从这一个约束是不足以确定正确解的，因为“点在相机前”的约束只能排除非物理可实现解，不能在多个物理可实现解中确定正确解。 针对以上问题，本文提出了两种改进算法。分别是：点在相机前方与Sampson距离[1]约束法；点在相机前与反投影残差最小约束法。它们均首先用“点在相机前方”的原理，排除非物理可实现解，然后用剩余的解分别计算两幅图像上所有公共点的Sampson距离或反投影残差之和，取最小值对应的相机姿态为最终解。两种方法都是在现有“五点算法”的基础上提出的，当出现多个本质矩阵多个对应解时，均可以排除非正确物理可实现解的干扰，实现正确解的确定，从而使得“五点算法”能够在实际应用中稳定的运行。模拟和真实实验均证明了两种方法的可行性。
1 五点算法一般实现及伪解剔除策略 “五点算法”主要是基于本质矩阵基本特性来求解的。假设x、x′是两幅图像上的对应点(经内参数矩阵K归一化后的对应点图像坐标)，则对应的本质矩阵E具有如下性质： 性质一： 0)det(=E (1)
性质二：
0)(trace2
1TT=−EEEEEE (2)
性质三： 0T=′xxE (3)
其中：)det(E表示矩阵的行列式，)(trace表示矩阵的迹。 当两幅图像之间存在五个或者更多的公共点时，根据以上性质，可以整理出一个多项式方程组，然后通过高斯-乔丹消去法[4]、隐式变量组合法[6]或稀释多重多项式求解法[3]，即可得到E的所有可能解。由于求解E的过程涉及到多项式，得到的解往往不唯一。因此需要进行多异解的排除，从而确定正确解。 在文献[4]中提到了如何从“一个E”分解出的四种可能解中确定正确解的方法——点在相机前原理。由于本文算法也要利用此原理，特列举出其理论如下： 定理：给定本质矩阵E，令T)0,1,1(VUEdiag=和第一个相机矩阵为]0[IP=，那么第二个相机矩
阵有下列四种可能解[1, 8]：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−==′
][][
][
][][
3TT3TT3
T3T
uVUWuVUWuUWVuUWV
TRP (4)
其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=100001010W，u3为U的最后一列，R和T是第二个相机相对于第一个相机的旋转和平移矩阵，)(diag表示对角矩阵。 由上述定理可以看出，一个E对应四个可能的解，这四组解对应的几何解释可以通过图1得到。图1(a) 光电工程 2010年8月 48
中空间点在两个相机的前方，图1(b)中空间点在所有相机的后方，图1(c)中空间点在相机A的后方B的前方，图1(d)中空间点在B的后方A的前方。在实际中，空间点必须同时位于两个相机的前方，即重建点在两个相机坐标系下的Z坐标都大于零，这才是物理可实现解，因此只有图1(a)才是合理的。
依据上述理论可以将E所有解中非物理可实现解剔除，具体实现方法如下： 1) 用第二个相机的每一个可能解与第一个相机组成双视图，通过三角测量原理
[9]
，分别重建空间场景
点iD
。
2) 分别将D
i通过相应的旋转平移转换到第一个相机和第二个相机坐标系下，得到三维点坐标为
(,,)iDAiDAiDAiDAXYZ，(,,)iDBiDBiDBiDBXYZ。 3) 提取DAi，DBi对应的Z坐标DAiZ和DBiZ，判断哪些组同时满足：0DAiZ>和0DBiZ>的条件，则这
些组所对应的解即为物理可实现解。 从上面的分析可以发现，此方法只能从“一个E”对应的四种可能解中获取正确解，但不能从多个E中获取唯一的相机定向参数。在多数情况下，由五点算法能够计算出多个可能的本质矩阵E，而一个E对应一个物理可实现解，那么多个E就对应多个物理可实现解，但这些解中只可能有一个是满足实际条件的，
“点在相机前”的约束只能排除非物理可实现解，却不能在多个物理可实现解中找出正确解。因此，只是应
用点在相机前的约束不足以确定正确的相机定向参数。 本文根据上述情况，提出了两种异解排除方法，模拟和真实实验均证明了其可行性和可靠性。
2 改进的异解排除策略 本文提出的两种异解排除方法：点在相机前与Sampson距离最小约束法；点在相机前与反投影残差最小约束法。具体的理论分析及实现方法如下： 2.1 点在相机前与Sampson距离最小约束法 Sampson距离
[1]