(完整word版)矩阵分解及其简单应用
矩阵分解及其应用
《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：******专业：*******学号：*******指导教师：********2015年12月Little Paper about the Course of "Linear Algebra and MatrixAnalysis"Matrix Decomposition and its ApplicationCandidate:******Major:*********StudentID:******Supervisor:******12,2015中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。
本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。
矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。
因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。
关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用AbstractMany particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition.Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)1 绪论 (1)2 矩阵分解的常用方法 (1)2.1矩阵的等价分解 (1)2.2矩阵的三角分解 (2)2.2.1 矩阵的三角分解 (2)2.2.2 矩阵的正三角分解 (2)2.3矩阵的谱分解 (5)2.3.1 单纯形矩阵的谱分解 (5)2.3.2 正规矩阵与酉对角化 (6)2.3.3 正规矩阵的谱分解 (6)2.4矩阵的奇异值分解 (7)2.4.1 矩阵的奇异值分解（SVD分解） (7)2.5矩阵的FITTING分解 (7)3矩阵分解的理论应用 (8)3.1矩阵等价分解的理论应用 (8)3.2矩阵三角分解的理论应用 (8)3.3矩阵奇异值分解的理论应用 (9)4 矩阵分解在递推系统辨识中的应用 (10)4.1递推系统辨识中的困难 (10)4.1.1 病态问题 (10)4.1.2 效率和计算量问题 (10)4.2QR分解的实现方法 (11)4.2.1 GIVENS变换 (13)4.3递推算法 (13)5 结论 (18)6 参考文献 (18)1 绪论矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。
第五章 矩阵分解
, yn 即可（其实 y r 1 , 可以是任意数， 它们是自由变量）。那么
c1 / 1 c2 / 2 H V x cr / r 0 0 c1 / 1 c2 / 2 x V c r / r 0 0
设A是 m 矩阵， b是n维列向量，考虑如 n 下线性方程组
Ax b
在很多情形下，上述方程组没有解，
因此，我们计算其最小二乘解，即求x使 得 Ax 最小。 b2
设 A的奇异值分解为
0 r Vn A U ， 0 0
其中U,V是酉矩阵。可以证明2-范数具
有酉不变性，因此
A , Q R
则称此分解为A的QR分解(或酉三角分解)。
n n 当A R 时称为 A的正交三角分解。
例 5.2.3
m n 定理5.2.3 设 A C ，则存在酉矩阵
m m 使得 QC
，其中 A QR
是 R C m n
阶梯型矩阵。
例 5.2.4
5.2.3 QR分解的应用
的解，通常只需迭代几步就可以得到很精确 Ax b
的解。
5.2 QR分解
QR分解在解决最小二乘问题，特征值的 计算等方面有十分重要的应用。
5.2.1 Householder变换 在平面解析几何中，将向量 x 映射为关
于 x 轴对称的向量 y 的变换称为关于 x 轴的
x (x1 , x 2，则 )T 镜像变换（见图5.2.1）。设
D diag(1 ,, n ), i 0(i 1,, n)
矩阵分解的方法和应用
矩阵分解的方法和应用在机器学习和数据分析领域，矩阵分解是一个常用的技术手段。
通过对数据矩阵进行分解，我们可以得到数据的潜在特征和规律，从而更好地理解和利用数据。
本文将介绍矩阵分解的常见方法和应用。
一、基本概念矩阵分解是指将一个矩阵表示为若干个小矩阵（或向量）的乘积的形式。
这些小矩阵一般是具有特定结构或意义的，例如对称矩阵、正定矩阵、特征矩阵等等。
矩阵分解可以应用到各种场景，例如数据降维、矩阵压缩、矩阵重构、协同过滤等等。
二、矩阵分解的方法常见的矩阵分解方法有以下几种：1. 奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种基础的矩阵分解方法。
它将一个矩阵分解为三个小矩阵的乘积形式：$A=U\Sigma V^T$，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是奇异值矩阵。
通过特征值分解可以得到奇异值矩阵，从而实现矩阵分解。
奇异值分解可以用来进行数据降维和矩阵重构。
例如，我们可以将一个高维度的数据矩阵分解为低维度的奇异向量，从而实现数据降维；或者我们可以使用奇异向量重构原始的矩阵，从而实现数据压缩。
2. QR分解QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。
具体来说，对于一个矩阵$A$，可以分解为$A=QR$，其中$Q$是正交矩阵，$R$是上三角矩阵。
QR分解可以应用到求解线性方程组、估计模型参数等领域。
3. 特征值分解（EVD）特征值分解是指将一个方阵分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积形式。
具体来说，对于一个方阵$A$，可以分解为$A=V\LambdaV^{-1}$，其中$V$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵$A$的特征值。
特征值分解可以用于矩阵压缩和数据降维。
三、矩阵分解的应用1. 推荐系统推荐系统是一种常见的应用场景，它可以根据用户历史行为和兴趣，向用户推荐可能感兴趣的物品。
矩阵分解可以应用到推荐系统中，其基本思路是利用用户对物品的评分矩阵，对其进行分解，得到用户和物品的特征向量，然后通过计算余弦距离等方法，计算出用户和物品之间的相似度，从而推荐给用户可能感兴趣的物品。
矩阵分解法
矩阵分解法
矩阵分解法是一种被广泛应用于矩阵和数据分析领域的数学方法，它能够对复杂的数据集进行简单而有效的分解，为更深入的分析提供基础。
本文将详细介绍矩阵分解法的基本原理及各种应用，以及它能够解决的相关问题。
矩阵分解法的基本概念是使用矩阵的特定分解技术，将一个大的复杂的矩阵分解成若干较小的更简单的矩阵，这些矩阵之间可能存在一定的关系。
最常用的矩阵分解方法是奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD），它能够有效地将一个矩阵分解成三个矩阵，这三个矩阵可以用来描述矩阵的行、列和特征。
其中，最重要的矩阵是特征值矩阵，它能够描述矩阵中特征之间的关系，这些特征信息可以作为进一步分析的依据。
同时，这些特征也能够影响到矩阵的值，从而有助于解决机器学习和数据挖掘中的关系推断问题，从而获得新的结论。
此外，矩阵分解还可以用于对数据进行统计和预测，这是因为矩阵分解能够提取出高维数据中隐藏的模式，从而将复杂的数据集简化为易于理解的表示形式。
因此，矩阵分解法在实际的数据分析中有着重要的应用，如文本分类、推荐系统和图像识别等。
另外，矩阵分解法还能够帮助数据科学家们解决压缩和特征选择的问题。
首先，矩阵分解能够帮助我们压缩数据集，从而节省存储空间；其次，这种方法也可以帮助我们提取出有用的特征，从而达到减少计算负担的目的。
（尾）总之，矩阵分解法是一种极其重要的数学方法，它可以帮助我们对复杂的数据集进行分解，提取有用信息，从而为进一步分析提供基础，同时还可以用于压缩和特征选择等目的。
因此，矩阵分解法可以说是数据科学领域的一个重要的数学工具，值得进一步关注和研究。
矩阵分解应用
矩阵分解应用矩阵分解是一种将一个大型矩阵分解成多个小矩阵的数学方法。
它在各个领域都有着广泛的应用，包括图像处理、推荐系统、自然语言处理等。
本文将介绍矩阵分解的一些应用，并从实际案例中探讨其作用和优势。
矩阵分解在图像处理中有着重要的作用。
图像可以看作是由像素点组成的矩阵，每个像素点的数值代表了其在图像中的亮度或颜色。
通过对图像矩阵进行分解，可以提取出图像的特征，如边缘、纹理等。
这些特征对于图像的识别、分类和重建非常重要。
例如，在人脸识别中，可以将人脸图像矩阵进行分解，得到表示人脸特征的小矩阵，再通过比对数据库中的小矩阵，可以实现人脸的识别。
矩阵分解在推荐系统中也有广泛的应用。
推荐系统旨在根据用户的历史行为和偏好，为用户推荐个性化的商品或服务。
矩阵分解可以将用户对商品的评分矩阵分解为用户特征矩阵和商品特征矩阵，通过计算它们的内积来预测用户对未评分商品的评分。
这种方法不仅可以提高推荐准确度，还可以解决数据稀疏性和冷启动等问题。
例如，Netflix就使用了矩阵分解方法来实现其著名的电影推荐系统。
矩阵分解在自然语言处理中也有重要的应用。
自然语言处理是研究如何使计算机能够理解和处理人类语言的一门学科。
在文本分类、情感分析和机器翻译等任务中，矩阵分解可以将文本矩阵分解为词向量矩阵和语义矩阵，从而提取出文本的语义特征。
这些特征可以用于计算文本之间的相似度、进行情感分析和实现机器翻译等任务。
例如，Google的Word2Vec模型就是基于矩阵分解思想实现的，它可以将单词表示为低维向量，并通过向量之间的相似度来计算单词之间的关联性。
矩阵分解作为一种强大的数学工具，在图像处理、推荐系统和自然语言处理等领域都有着广泛的应用。
通过对大型矩阵的分解，可以提取出其潜在的结构和特征，从而实现更高效、更准确的数据处理和分析。
随着技术的不断发展和创新，相信矩阵分解在更多领域会有更多的应用机会。
第3章 矩阵的分解
2,正规矩阵的基本特性 定理3 .78 定理3.10 (P.78 ) : A∈Cn×n正规A酉相似于对角形. 正规 酉相似于对角形.
推论:正规A 推论:正规A∈Cn×nA有n个标准正交的特征 向量构成空间C 的标准正交基. 向量构成空间Cn 的标准正交基.
定理3 11( .80 )(正规矩阵的谱分解 定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) 正规矩阵的谱分解) Hermite A正规A有如下谱分解: 正规 有如下谱分解: 性
已知:欧氏空间中的对称矩阵A 已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形. 相似于对角形. 讨论:一般方阵A 讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵? 酉相似于对角矩阵? 在内积空间中讨论问题,涉及: 在内积空间中讨论问题,涉及:
空间 Cn, Cn×n, 酉矩阵U 酉矩阵U,UHU=I, U – 1=UH U=I, 酉相似: 酉相似: UHAU=J U–1 AU=J 重点: 重点:理论结果
三角分解 满秩分解 等价标准形 相似标准形
可对角化矩阵的谱分解
一,矩阵的三角分解
方阵的LU和LDV分解 方阵的LU和LDV分解(P.61) 分解( .61
LU分解:A∈Fn×n, 存在下三角形矩阵L , LU分解: 存在下三角形矩阵L 分解 上三角形矩阵U 使得A=LU. 上三角形矩阵U ,使得A=LU. LDV分解 LDV分解:A∈Fn×n, L,V分别是主对角线 分解: 元素为1的下三角形和上三角形矩阵, 元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为 对角矩阵,使得A=LDV. 对角矩阵,使得A=LDV. 已知的方法:Gauss已知的方法:Gauss-消元法 例题1 .61eg1 例题1 (P.61eg1)设 2 2 3
A∈C m×n,AHA∈C n×n,AAH∈C m×m , A 都是Hermite矩阵 矩阵. 都是Hermite矩阵. 定理3 12 定理3.12(P.82)
矩阵分解及其简单应用
矩阵分解及其简单应用x=b，即有如下方程组：Ly=bUx=y 先由Ly=b依次递推求得y1, y2,……，yn，再由方程Ux=y依次递推求得 xn，xn-1，……，x1、必须指出的是，当可逆矩阵A不满足∆k≠0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：Ly=pbUx=y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2、矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
2、1．Schmidt正交方法的QR分解Schmidt正交方法解求QR分解原理很简单，容易理解。
步骤主要有：1）把A写成m个列向量a=（a1，a2，……，am），并进行Schmidt正交化得=（α1，α2，……，αm）；2)单位化，并令Q=（β1，β2，……，βm），R=diag（α1，α2，……，αm）K，其中a=K；3）A=QR、这种方法来进行QR分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便。
2、2．Givens方法的QR分解Givens方法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵Tij(c,s)来得到的，Tij(c,s)是正交矩阵，并且det(Tij(c,s))=1。
Tij(c,s)的第i行第i列和第j行第j列为cos，第i行第j列和第j行第i列分别为sin和-sin，其他的都为0、任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘Tij(c,s)矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另Q=T-，就有A=QR。
该方法最主要的是在把矩阵化为列向量的基础上找出c和s，然后由此把矩阵的一步步向上三角矩阵靠近。
Givens方法相对Schmidt正交方法明显的原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵Tij(c,s)固有的性质很特别可以使其在很多方面的应用更加灵活。
第4章矩阵的分解
例 求下列特殊矩阵的广义逆； 零矩阵0； 0 + m×n =0 对角矩阵
n×m
2、M-P 广义逆的惟一性
Theorem 如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆 是惟一的。 3、M-P广义逆的存在性及其求法
Theorem 任何矩阵都有M-P广义逆。 求法： • 设A满秩分解A=BC，则
A +与A–1 性质的差异比较：
（AB）–1=B –1 A –1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。(只有满秩分解成立) （A–1）k =（Ak） –1 ，但不成立（A+）k=（Ak）+
1. 秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。 2. AHA 和AAH 的非零特征值相等。 3. AHA和AAH 是半正定矩阵。 AHA和AAH 的特征值是非负实数：1 2 n
2、奇异值的定义： （P099） AC m×n，秩（A）=r，设AHA的特征值1 2 r 0，r+1= r+2 == n =0，则矩阵的奇异值
1
d2
dr
奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA 的酉相似 分解的。
一、矩阵A的奇异值及其性质
1、矩阵AHA和AAH的性质：
AC m×n，AHAC n×n，AAHC m×m ， 都是Hermite矩阵。 Theorem 2.7.8（P052）
列 满 秩
行满秩
满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法
例 求矩阵A的满秩分解
1 1 2 3 A (1 , 2 , 3 , 4 ) 1 0 1 0 0 1 1 3 1 0 1 0 1 1 0 1 1 3 , B 1 0 , A BC 行初等 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 C 0 1 1 3
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对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。
矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。
秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。
1. 矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU 则称A可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU勺分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求 A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。
由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：Ly = b{{Ux = y先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ，y n，再由方程Ux = y依次递推求得X n，x n-1 ， ... ，X1 .必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k工0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零，此时有：Ly = pb{{ Ux = y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2. 矩阵的QF分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Give ns方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
2.1 . Schmidt正交方法的QR分解Schmidt正交方法解求QR分解原理很简单，容易理解。
步骤主要有：1)把A写成m个列向量a= (a〔，a2， ... ，a m)，并进行Schmidt正交化得ct = (a 1，a 2，.. ， a m ) ；2)单位化，并令Q= (B 1，B 2， . ， B m )，R=diag (a 1，，a m ) K其中a= K; 3) A=QR.这种方法来进行QR分解，过程相对OC 2，较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便。
2.2 . Give ns方法的QR分解Give ns方法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Give ns矩阵T j (c,s)来得到的，T j (c,s)是正交矩阵，并且det(T j (c,s))=1 。
T j (c,s)的第i行第i列和第j行第j列为cos=，第i行第j列和第j行第i列分别为sinO和-sin 2，其他的都为0.任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘T j (c,s)矩阵(乘积为T)化为上三角矩阵R,另Q=T,就有A=QR该方法最主要的是在把矩阵化为列向量的基础上找出c和s，然后由此把矩阵的一步步向上三角矩阵靠近。
Give ns方法相对Schmidt正交方法明显的原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵T j (c,s)固有的性质很特别可以使其在很多方面的应用更加灵活。
2.3 . Householder 方法的QR分解Householder方法分解矩阵是利用反射矩阵，即Householder矩阵H= E-2uu T，其中u是单位列向量，H是正交矩阵，detH = -1。
可以证明，两个H矩阵的乘积就是Give ns矩阵，并且任何实非奇异矩阵A可通过连乘Householder 矩阵(乘积为S)化为上三角矩阵R,则A= QR这种方法首要的就是寻找合适的单位列向量去构成矩阵H,过程和Give ns方法基本相似，但是计算量要小一些。
矩阵的QR分解可以用来解决线性最小二乘法的问题，也可以用来降低矩阵求逆的代价。
矩阵的求逆是件不小的工程，尤其是阶数慢慢变大的情况时，而用先把矩阵QR分解成正交矩阵和上三角矩阵，就容易多了，况且正交矩阵的转置就是逆，这一点是其他的矩阵分解无法比拟的。
在解求线性方程组中，如果系数矩阵的阶数比较大，可以利用QR分解来使计算简单化。
另外，QR分解考虑的是n阶矩阵，其他的矩阵是不能用这种方法进行分解，由于QR分解的这一前提条件，使得下面提到的满秩矩阵分解和奇异值分解就有了其特殊的意义。
3. 满秩分解满秩分解也称最大秩分解，前面的QR分解是面对n阶矩阵的，而满秩分解可以处理长方阵。
满秩分解是指，把秩为r的mxn矩阵A分解成A=FG其中F 是秩为r的mxr阶矩阵，G是秩为r的rxn阶矩阵。
满秩矩阵的解求可以通过初等变换法，但是必须经过多次求逆，所以就利用Hermite 行标准形来完成。
把矩阵A经过变换成为Hermite行标准形B，B的j i,j 2, ......................................................................................... ，j r列为单位矩阵I m的前r列，另A的第j i,j 2,……，j r列为矩阵F，B的前r行为矩阵G,则有A=FG 在广义逆中，满秩分解有很多的应用。
在证明A{1}的存在性时就需要用到Hermite行标准形来得到“对于任一的矩阵，总是存在非奇异矩阵Q和置换矩阵P,使QAP= (E r 00) ”，之后才能构造X= P(E r：)Q来证明A {1}是存在的。
用矩阵的满秩分解还能构造A+，若矩阵A有满秩分解，即A=FG则可以证明有A+ =G H(F H AG H)-1 F H。
4. 奇异值分解矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在最优化问题、特征值问题、最小二乘问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。
对秩为r 的mxn阶矩阵A进行奇异值分解的步骤是：1)求得AA的特征值Y，Y,……Y，2及对应的特征向量并正交单位化，得矩阵V，使得V H(A H A)V=M 00], M =diag(仃Y,……Y n); 2)将V的前r列作为V，令5 = AV1H-1，再扩张U成m 阶的矩阵U; 3)那么A= 5》0] V H。
从计算过程中可以看出，矩阵的奇异值分解解求是由矩阵的特征值开始的，因此这种分解自然和特征值的问题有莫大联系的。
在广义逆问题中，矩阵的奇异值分解的作用一样不可代替。
在证明A{1，2，3}的存在性时，首先就需要用奇异分解来得到一个结论：r(A H A)= r(AA H)= r(A H)=r(A)，由此得到的A H可以由AA表示，再去证明A {1，2，3}应该满足的条件就方便得多了。
另外，在构造A+的过程中也有应用，若A有奇异值分解A+ =U（M 0））V H，则有可以得到A = V（M-1 0 ）。
5. 奇异值分解应用于秩亏网平差在经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上，比如水准网必须至少知道已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一个点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
此时，误差方程的系数矩阵B 总是列满秩的，由此得出的法方程系数阵N = B T PB是个对称的满秩方阵，即R（N） = R（B）, 法方程有唯一解。
当网中没有必要的起算数据时（引起秩亏的原因），网中所有点均为待定点，就为自由网，B为列亏矩阵，秩亏数为d（必要的起算数据个数）, 误差方程为：V = Bx~ - l 组成的法方程为：B T PBx~ - B T Pl = 0若是按照直接解法用如下的方程组来解求x 的解：V= Bx~ - l{B T PBx~ - B T Pl = 0 （a）V T PV= min可以得到|B T PB| = 0，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有x~无穷多组解，无法求得x~的唯一解，这是与经典平差的根本区别。
为了求得唯一解，必须增加新的约束条件。
秩亏自由网平差就是在满足最小二乘V T PV= min和最小范数x~T x~ = min的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求x~的唯一解：V = Bx~ - l{B T PBx~ - B T Pl = 0{ V T PV= minx~T x~ = min这是个复杂的方程组，如果按部就班按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。
我们首先根据前面矩阵奇异分解的步骤求得矩阵 B 的奇异值分解： B =U[M 0] V H,在此基础上令矩阵G = V[M-1°] U H。
通过矩阵理论的学习我们知0 0 0 0道，我们可以通过如下的方式来验证G就是B的广义逆：（1）BGB= U[M 0]V H V[M 0]U H U[M 0]V H= U[M 0]V H= B0 0 0 0 0 0 0 0(2)GBG=V[M0-10] U H U[M000] V H V[M000]-1U H = V[M-10] U H00=G(3)(BG)H= (U[M000]V H V[M0-10] U H)H =BG(4)(GB)H = (V [ M0-100]U H U[M000]V H)H=GB我们知道，对于不相容方程组Bx = b,使得x =:Gb为极小范数最小—乘的充(b)要条件是G为B的广义逆。
而我们已经得到了G就是B的广义逆，那么就说明G是满足该方程式的极小范数最小二乘解。
也就是说，我们得到未知参数的估值x~ = -1Gl= V[M 0]U H|。
通过这种方式，我们求解方程组（b）就简单多了，矩阵00的奇异分解令问题很容易的简单化了。
6. 结论矩阵的分解还有很多的应用，比如可以用来求矩阵的秩，对于阶数偏大的矩阵，即使用初等变换的方法，也是计算量很大的，而把矩阵分解后可以使计算简单。
再如，在线性代数中求矩阵的n 次幂是很常见的，若是一板一眼的进行矩阵相乘，当n 较大时计算量可想而知，况且，当n逐渐增大或是非纯数据间的运算的情况下，根本就没有计算的可能，此时，矩阵分解方法的应用可以令问题变得简单而易懂。
判断矩阵的正定性需要不断的计算行列式，计算量大而复杂，矩阵分解可以使之更简单直接。
矩阵的分解作用很广泛，在不同的领域都发挥着其独特的作用，只要应用得好，肯定可以使原有的问题简单而易于理解。
我们知道，矩阵理论就其理论来说，对于除了数学本专业的人而言，意义是不大的。
纯理论的学习是枯燥而乏味的，只有和是具体问题的结合才会显出它的强大生命力。