矩阵的分解

31 §9. 矩阵的分解

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。

这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。

将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。

定义1 如果(1,2,,)iiain均为正实数，()(,1,2,1;ijaCRijin

1,2,),jiin则上三角矩阵

11121222000nnnnaaaaaRa

称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)iiain时，R称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)iiain均为正实数，()(,1,2,1;ijaCRijin

1,2,),jiin则下三角矩阵

11212212000nnnnaaaLaaa 32 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)iiain时，L称为单位下三角复（实）矩阵。

定理1设,nnnAC则A可唯一地分解为

1AUR

其中1U是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵；或者A可唯一地分解为

2ALU

其中2U是酉矩阵，L是正线下三角复矩阵。

推论1设,nnnAR则A可唯一地分解为

1AQR

其中1Q是正交矩阵，R是正线上三角实矩阵；或者A可唯一地分解为

2ALQ

其中2Q是正交矩阵，L是正线下三角实矩阵。

推论2 设A是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R，使得

TARR

推论3设A是正定Hermite矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R，使得

TARR

定理2设,nnnAC用L表示下三角复矩阵，*L表示单位下三角复矩阵，R表示上三角复矩阵，*R表示单位上三角复矩阵，D表示对角矩阵，则下列命题等价：

（1）A的各阶顺序主子式 33 1112121222120(1,2,,)kkkkkkkaaaaaaknaaa；

（2）A可唯一地分解为*ALR，并且L的主对角线上元素不为零；

（3）A可唯一地分解为**ALDR，并且D的主对角线上元素不为零；

（4）A可唯一地分解为*ALR，并且R的主对角线上元素不为零；

说明：若A是n阶满秩实方阵，则对于实矩阵L、*L、R、*R、D，定理2 仍然成立。

例1.设147130021A，求A的三角分解。

解. 由147147147130077011021021021

*147011001R

所以147100147130170011021021001A

n阶方阵的三角分解对求解非其次线性方程组非常方便。比如，设方程组Axb，系数矩阵A有三角分解式LRA，则有LRxb，于是令Rxy，有

,LybRxy 34 先求第一个方程组中的未知向量y，然后将y代入第二个方程组再求解x。由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的解，并且易于利用计算机求解。

例2 用三角分解求解方程组：

123412423412342583692254768xxxxxxxxxxxxxx

解：系数矩阵可以分解为

200015117215122210025131306013770212020700141476700011292A

代入上面的新方程组中的第一式可得：54,,5,110Ty，再将此结果代入新方程组中的第二式可得：3,4,1,1Tx，此即所求方程的解。

二、任意矩阵的三角分解

前面讨论的矩阵分解仅仅是对n阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三角分解。

定义3 设A是mn阶复（实）矩阵，如果rankAm，则称A是行满秩矩阵，记为()mnmnmmACR；如果rankAn，则称A是列满秩矩阵，记为()mnmnnnACR。

定理3 当A是行满秩或列满秩复矩阵时，有

（1）若mnmAC，则存在m阶正线下三角复矩阵L和n阶酉矩阵U， 35 使得

()ALOU

（2）若mnnAC，则存在m阶酉矩阵U和n阶正线上三角复矩阵R，使得

RAUO

注：该定理表明了行（列）满秩矩阵能分解为一个酉矩阵与一个长（高）三角矩阵的乘积。下面我们进一步给出行（列）满秩矩阵能分解为一个正线三角矩阵与一个长（高）酉矩阵的乘积。

记mnmU表示以m个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合，mnnU表示n个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。

定理4 （1）若mnmAC，则A可唯一地分解为

ALU

其中L是m阶正线下三角矩阵，mnmUU。

（2）若mnnAC，则A可唯一地分解为

AUR

其中mnnUU，R是n阶正线上三角矩阵。

说明：当A是行满秩或列满秩实矩阵时，亦有类似于定理3和定理4的结论。

当A既不是行满秩矩阵，也不是列满秩矩阵时，则有

定理5 设mnrAC，则存在酉矩阵mmUC、nnVC及r阶正线下三角矩阵L，使得

LOAUVOO 36 推论4设mnrAC，则存在酉矩阵mmUC、nnVC及r阶正线上三角矩阵R，使得

ROAUVOO

三、矩阵的谱分解

在线性代数中，已经讨论了一个方阵的特征值和特征向量的问题，已经发现特征值有着非常重要的作用。由于相似矩阵有相同的特征值，因而人们总希望在相似矩阵中找到结构最简单的矩阵，这就是对角矩阵或Jordan标准形矩阵。下面我们将根据矩阵的特征值，进一步寻求利用简单矩阵来表示已知的矩阵，即讨论矩阵的谱分解。

1.单纯矩阵的谱分解

定义1若矩阵A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称矩阵A为单纯矩阵。

注意到“属于每个特征值的线性无关的特征向量合起来也是线性无关的”这一事实，则可知如下定理是成立的。

定理1 A是单纯矩阵A与对角矩阵相似。

下面给出单纯矩阵的谱分解定理。

定理2 设nnAC是单纯矩阵，则A可分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)iAin的加权和，即

1niiiAA，（3.1）

其中(1,2,,)iin是A的特征值。

定理2中的分解式称为A的谱分解，分解式中的矩阵iA具有如下的性质：

（1）幂等性：2iiAA； 37 （2）分离性：()ijAAOji；

（3）可加性：1niniAE。

由这些性质容易得出：

221niiiAA

1(2,3,)nlliiiAAl。

当()fA是A的多项式或是A的解析函数时，容易得到：

1()()niiifAfA （3.2）

称上式为矩阵函数()fA的谱分解。

例3 求2AAE的谱分解。

解：由（3.2）式2AAE21(1)niiiiA

若设111()nnnnfIAaaa

由Hamilton——Caylay定理可知：

1110nnnnAaAaAaE，（3.3）

则有：

111()nnnnAaAaAaE

由此可知，对任意的1mn，mA都是矩阵1,,,nEAA的线性组合。同时由（3.3）式，当0na时，可知A可逆，且A的逆矩阵为 38 112111()nnnnAAaAaEa

由（3.2）式容易求得1A的谱分解为

1121111()nnniiniinAaaAa。（3.4）

把一个单纯矩阵A分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)iAin的加权和，无论从代数上，还是从几何上进行研究，都有它的方便之处。特别对于（3.2）和（3.4）的分解，在自动控制中有许多应用。更一般地，单纯矩阵的谱分解定理为：

定理3设nnAC，它有k个相异特征值(1,2,,)iik，则A是单纯矩阵存在k个矩阵(1,2,,)iAik满足：

（1）,;iijAjiAAOji

（2）1kiniAE；

（3）1kiiiAA。

其中1()(1,2,,),()()()kiiijjijiAAik。

值得注意的是定理中的条件（1）中的矩阵(1,2,,)iAik是幂等矩阵，故定理中存在k个矩阵(1,2,,)iAik，又可看作是存在k个投影算子（简称为谱算子）。

例4 求矩阵1141A的谱分解。 39 解：首先求得A的特征值为123,1，则

12()，21()

1112()4，2221()4

1241()42AAI，2121()42AAI

所以：11111141()14421()412AA

22221121()124421()412AA

因此，1122123AAAAA

2.正规矩阵及其分解

引理1 设A是正规矩阵，A与B酉相似，则B也是正规矩阵。

引理2设nnAC，则存在酉矩阵U，使得

HAURU

其中R是一个上三角矩阵且主对角线上的元素为A的特征值。

引理3 设A是三角矩阵，则A是正规矩阵A是对角矩阵。

定理4 n阶复矩阵A是正规矩阵A与对角矩阵酉相似，即存在n阶酉矩阵U，使得：

12(,,,)HnAdiagUU

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矩阵的极分解例题

- 1 - 矩阵的极分解例题

矩阵的极分解是数学领域里一个重要的概念。它的出现使得解决复杂的数学问题变得更加容易，有助于人们更好地理解复杂的数学思想。矩阵的极分解也可以用来解决实际场景中的问题，例如拆分矩阵，查找最近元素等。本文将详细介绍矩阵的极分解以及如何使用它来解决一个实际问题。

一、矩阵的极分解

矩阵的极分解是一种分解矩阵的方法，它可以将一个矩阵分解为两个不同矩阵的乘积，即：A=UDV*，其中A是一个m*n的（m>n）矩阵，U是一个m*m的正交矩阵，D是一个m*n的对角矩阵，V*是一个n*n的正交矩阵。

矩阵的极分解具有如下特点：

1、可以有效减少矩阵乘法和矩阵计算的时间复杂度。

2、U D V*分解可以将一个矩阵分解成非奇异的正交矩阵和对角矩阵，从而更加容易理解和计算矩阵。

3、矩阵的极分解也可以用于拆分矩阵，确定最近元素等等。

二、矩阵的极分解的应用

1、拆分矩阵

将矩阵A分解为U D V*，其中U的第一列向量可以用来拆分A的第一行，而V*的第一行行向量可以用来拆分A的第一列。

2、查找最近元素

如果想查找A中最接近某个元素x的元素，可以使用U D V*来 - 2 - 确定。具体来说，可以使用U D V*来确定A中最接近x的元素，即将A分解成U、D和V*三个矩阵，求出D中最接近x的元素，再将它乘以U和V*，最后就能求得A中最接近x的元素。

三、示例

下面用一个实际的例子来进一步说明矩阵的极分解。

假设有一个3*3的矩阵A：

[ 1 2 1

5 0 -3

-2 4 6 ]

首先，将A分解为U*D*V*：

[-0.5 0.5 -1.3

0.6 -0.5 0.5

0.5 0.5 0.5]

矩阵的满秩分解

## 简介

矩阵的满秩分解（Full Rank Decomposition，FRD）是矩阵分解的一种，它将矩阵分解为两个或更多满秩矩阵的乘积。FRD可用来求解非奇异（non-singular）非对称矩阵（asymmetric matrix）。FRD可以将矩阵分解成多个较小的矩阵，这可以提高矩阵求解的速度和准确度。

## 原理

矩阵的满秩分解可以将非奇异非对称矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，即A=UL，其中L和U既不是行手乘以列向量，也不是列手乘以行向量，而是一个L矩阵和一个U矩阵的乘积。L矩阵是下三角矩阵，U矩阵是上三角矩阵，两者都具有单位对角线，另外，L和U具有相同的秩，并且都是正定的满秩矩阵，而A是它们的乘积，因此A也是满秩矩阵。

求解满秩分解矩阵的一般过程是：先进行LU分解，将矩阵A分解为两个单位对角线的满秩矩阵L和U；接着求解A的列空间的基，即求解A的列块的空间；最后再从A的行空间中求解A的行块的空间。LU分解的算法的时间复杂度主要以A的维度D（即A的行数和列数）为关键，因此矩阵FRD分解的时间复杂度也主要以D为关键。

在计算机编程中，可以采用不同的算法来实现FRD，比如基于LU分解的矩阵FRD算法，和基于Gauss消元法的矩阵FRD算法。

## 应用

矩阵的满秩分解具有广泛的应用，既可以用来解决矩阵求解问题，还可以用来分解多项式。例如，可以用矩阵FRD分解将矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，以求解线性方程组的系数矩阵，或者用于求解最小二乘问题；另外，可以用FRD分解将一个多项式分解成多个单项式，以求解多项式函数的数值解或其他曲线拟合问题。同时，矩阵的满秩分解还可以用于图像处理，如图像中的边缘检测、图像去噪等。

矩阵因式分解公式

矩阵因式分解公式是将一个矩阵分解成几个矩阵的乘积的公式。常见的矩阵因式分解公式包括以下几种：

1. 特征值分解：对于一个$n\times n$的方阵$A$，可以将其分解为特征值和特征向量的乘积，即$A=PDP^{-1}$，其中$P$是特征向量组成的矩阵，$D$是对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的特征值。

2. 奇异值分解：对于一个$m\times n$的矩阵$A$（其中$m\geq n$），可以将其分解为奇异值和奇异向量的乘积，即$A=UΣV^T$，其中$U$是$m\times m$的酉矩阵，$Σ$是$m\times n$的对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的奇异值，$V$是$n\times n$的酉矩阵。

3. Cholesky 分解：对于一个正定对称矩阵$A$，可以将其分解为下三角矩阵$L$的平方，即$A=L^TL$。

4. QR 分解：对于一个$m\times n$的矩阵$A$（其中$m\geq n$），可以将其分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵$R$的乘积，即$A=QR$。

以上是常见的矩阵因式分解公式，不同的分解公式适用于不同的矩阵类型和问题。

第4章矩阵分解-1

1矩阵分析简明教程

第四章

矩阵分解矩阵分析简明教程

例1求解线性方程组

12320xxx

一、从Gauss消元法说起§1、矩阵的LU分解

12331

21xx

xxx



()I

解：

()I(3)

1

23123

3112

530

xxxxxxx















矩阵分析简明教程

15

124352

513

3220

531xx

xxx

x













521

12()

3512

320

133











(2)

31313

x













()II矩阵分析简明教程

用矩阵形式表示，系数矩阵

121

310A

1

532



12(3)r

112013

0012/5121

053U



13(1)r

231

5()r

矩阵分析简明教程

2313125()(1)(3).RRRAU

2313125[()(1)(3)]RRRAU

1111

1213235[(3)][(1)][()]RRRU

15121

233((3)1)()URRRLU

1/5100

1







121

053

0012/5



矩阵分析简明教程

ALU这就是Gauss提出消元法100多年后才被Dwyer

注意到的分解：LU

据此，有

因此可通过求解两个特殊的三角方程组()AxLUxLbUx

,yyLbUx

来求解线性方程组，这就是数值软

件中采用的方法。Axb

2矩阵分析简明教程

二、矩阵的LU分解

定义定义4.1.14.1.1如果方阵可以分解成一个下三下三

角矩阵与一个上三角矩阵的乘积A

则称其为的LU 分解分解或三角分解三角分解。AALU

什么样的矩阵才有LU 分解呢？矩阵分析简明教程

定理定理4.1.14.1.1( LU分解定理)如果方阵的各

矩阵正交分解

1 矩阵正交分解

矩阵正交分解（Matrix Orthogonal Decomposition），是矩阵分

解技术的一种，它可以将高维矩阵分解成多个变量之间互不相关的、

线性无关的正交基向量的组合，其中基向量有极好的正交性和几何性

质。

矩阵正交分解技术可以帮助研究者有效地处理矩阵数据，并能显

著提高统计分析的准确性和效率。通过矩阵正交分解技术，可以消除

多个变量之间的间接性和共线性影响，使得研究者可以有效地分析不

同变量间的动态变化和静态相关性。

而且矩阵正交分解技术可以帮助研究者降低变量的复杂性，将原

无规律的统计数据转换成只包含有意义性和相关性研究变量的新矩阵，

形成一个更为清晰和简便的数据集，以便进行更深入的数据分析。

除了常规的统计分析，矩阵正交分解技术还可以应用于投资回报

率的分析、股票市场的预测分析、因变量预测建模等等，在这些领域

中矩阵正交分解技术可以有效提高统计分析的准确度。

从上面的介绍中可以看出，矩阵正交分解技术对于统计分析研究

具有重要的意义，是大数据分析分析中不可缺少的一个要素。

矩阵分解大全

矩阵分解⼤全

矩阵分解是指根据⼀定的原理⽤某种算法将⼀个矩阵分解成若⼲个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有可逆⽅阵的三⾓（LU）分解、满秩⽅阵的正交三⾓（QR）分解、对称正定矩阵的Cholesky分解，以及任意⽅阵的Schur分解、Hessenberg分解、EVD分解、任意矩阵SVD分解、GMD分解等。

(1) 可逆⽅阵的LU分解

矩阵的LU分解就是将⼀个矩阵表⽰为⼀个交换下三⾓矩阵和⼀个上三⾓矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要⽅阵A是⾮奇异的（即可逆的），LU分解总是可以进⾏的。

当L为单位下三⾓矩阵⽽U为上三⾓矩阵时，此三⾓分解称为杜利特(Doolittle)分解。当L为下三⾓矩阵⽽U为单位上三⾓矩阵时，此三⾓分解称为克劳特(Crout)分解。显然，如果存在，矩阵的三⾓分解不是唯⼀的。

（PS：⽅阵A可唯⼀地分解为A=LDU(其中L，U分别为单位下，上三⾓矩阵，D为对⾓矩阵)的充分必要条件为A的前n-1个顺序主⼦式都不为0。特别：对n阶对称正定矩阵，存在⼀个⾮奇异下三⾓矩阵L，使得A=LL'成⽴。）

MATLAB提供的lu函数⽤于对矩阵进⾏LU分解，其调⽤格式为：

[L,U]=lu(X)：产⽣⼀个上三⾓阵U和⼀个变换形式的下三⾓阵L(⾏交换)，使之满⾜X=LU。注意，这⾥的矩阵X必须是⽅阵。

[L,U,P]=lu(X)：产⽣⼀个上三⾓阵U和⼀个下三⾓阵L以及⼀个置换矩阵P，使之满⾜PX=LU。当然矩阵X同样必须是⽅阵。

(2) 满秩⽅阵的QR分解

对矩阵X进⾏QR分解，就是把X分解为⼀个正交矩阵Q和⼀个上三⾓矩阵R的乘积形式。QR分解只能对⽅阵进⾏。MATLAB的函数qr可⽤于对矩阵进⾏QR分解，其调⽤格式为：

[Q,R]=qr(X)：产⽣⼀个⼀个正交矩阵Q和⼀个上三⾓矩阵R，使之满⾜X=QR。

[Q,R,E]=qr(X)：产⽣⼀个⼀个正交矩阵Q、⼀个上三⾓矩阵R以及⼀个置换矩阵E，使之满⾜XE=QR。

(3) 对称正定矩阵的Cholesky分解

矩阵乘法分解

矩阵乘法分解通常指的是将一个矩阵分解成两个或多个矩阵的乘积。常见的矩阵乘法分解有 LU 分解、QR 分解和奇异值分解（SVD）等。

以下是其中几种常见的矩阵乘法分解方法：

1. LU 分解（LU Decomposition）:

LU 分解将一个矩阵拆分为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积。这种分解对于解线性方程组和矩阵求逆等问题很有用。

假设有矩阵 A，LU 分解可以表示为 A = LU。

2. QR 分解（QR Decomposition）:

QR 分解将一个矩阵拆分为一个正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵（R）的乘积。这种分解对于求解最小二乘问题等有很好的应用。

假设有矩阵 A，QR 分解可以表示为 A = QR。

3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）:

SVD 将一个矩阵拆分为三个矩阵的乘积，分别是一个正交矩阵（U）、一个对角矩阵（Σ）和另一个正交矩阵（V^T）。SVD 在降维、图像压缩等领域有广泛应用。

假设有矩阵 A，SVD 分解可以表示为 A = UΣV^T。

这些分解方法都有各自的应用场景和优势。矩阵乘法分解在数值计算、线性代数和机器学习等领域都有广泛的应用，可以帮助简化复杂的计算问题。

数值分析矩阵的正交分解

矩阵的正交分解是数值线性代数中的一个重要概念。它的主要目标是将一个矩阵表示为两个正交矩阵的乘积，这样可以简化矩阵的计算过程。矩阵的正交分解有多种形式，其中最常见的有QR分解和SVD分解。

首先，我们来介绍QR分解。给定一个m×n的矩阵A，它可以表示为两个矩阵Q和R的乘积，其中Q是一个正交矩阵，即QTQ=I，R是一个上三角矩阵。可以用以下方式计算QR分解：

1.初始化矩阵A为Q.

2. 对于每一列j = 1,2,...,n，计算矩阵A的第j列的尺度因子rjj。

3. 更新R的第j行为A的第j列除以尺度因子rjj。

4. 对于每一列k = j + 1,j + 2,...,n，更新矩阵A的第k列为原矩阵A的第k列减去R的第j行乘以A的第k列与R的第j行的内积，即ak = ak - (rjTak)rj.

5.重复步骤2-4直到所有的列都被处理完。

6.将矩阵A的前n行作为正交矩阵Q。

QR分解的一个重要应用是解决最小二乘问题，即通过最小化误差的平方和来求解一个线性方程组。在该问题中，可以将矩阵A进行QR分解，然后通过求解三角矩阵R的上三角线性方程组来得到解。

其次，我们来介绍SVD分解。给定一个m×n的矩阵A，它可以表示为三个矩阵U、Σ和VT的乘积，其中U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，VT是一个n×n的正交矩阵。可以用以下方式计算SVD分解： 1.将矩阵A的转置矩阵AT与A进行乘积，得到一个对称正定矩阵ATA.

2. 对ATA进行特征值分解，得到特征值λ1,λ2,...,λn和相应的特征向量v1,v2,...,vn.

3. 计算A的奇异值σi=√ λi和左奇异向量ui=Avi/σi.

4.构造U和V矩阵，其中U的列向量是左奇异向量，V的列向量是右奇异向量。

5.构造Σ矩阵为对角矩阵，对角线上的元素是A的奇异值。

SVD分解的一个重要应用是矩阵的伪逆的计算。对于一个非奇异矩阵A，它的伪逆可以通过SVD分解来计算，即A+=VΣ+UT，其中Σ+是Σ的逆矩阵取对角元素非零的逆。

矩阵的lu分解的计算步骤

矩阵的 LU 分解是指将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，即 A=LU，其中 L 的对角线元素为 1。

LU 分解的计算步骤如下：

Step 1: 选取主元

选取主元可以是部分选主元或者完全选主元。部分选主元每次选取一列中绝对值最大的元素作为主元，而完全选主元则是每次在全矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元。选取主元的目的是为了在后面的计算过程中减少误差。

Step 2: 消元

进行初等行变换，通过加减倍数的方式将矩阵 A 化为上三角矩阵 U。同时对于每个主元所在的列，将其下面的元素通过加减倍数的方式消为零。消元的过程中需要记录每一步所对应的初等矩阵，利用初等矩阵可以还原出矩阵 L。

Step 3: 矩阵 L 的求解

根据步骤 2 中记录的初等矩阵，利用反向代替法求解矩阵 L。反向代替法是指先求解 L 的下面一行，然后再带入上面一行的求解式中求解。

总结

LU 分解可以大大简化矩阵求解的过程。在进行 LU 分解的过程中需要注意选取主元的方式，万一选取的主元不合适，就可能导致误差的累计。因此，选取主元往往是 LU 分解最为关键的一步。

矩阵的三角分解

§4矩阵的三角分解

矩阵的三角分解定理：设nnAR×∈,如果A的前

n-1个顺序主子式

det()0,1,2,,1

iAin≠=−󰀢，

则A可分解为一个单位下三角矩阵L与一个上

三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。

证明：

1.存在性：利用高斯消去法来构L和U

(1)(2)()

1122det()0,1,2,,1i

iiiAaaain=≠=−󰀢󰀢

1LAU−=，ALU=

12100

1nnm

mm⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=

⎢⎥

⎣⎦󰀢

󰀢

󰀣󰀣󰀢󰀣

󰀢，(1)(1)(1)

11121

(2)(1)

222

()0

00n

nnaaa

a⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦󰀢

󰀢

󰀣󰀣󰀣󰀣

󰀢 2．唯一性：分A非奇异和奇异两种情况来证

（1）A非奇异

考虑到A的前n-1个顺序主子式非零，得

det()0,1,2,,

iAin≠=󰀢

设1122ALULU==，12,LL为单位下三角

矩阵，12,UU为上三角矩阵。

因A非奇异，所以1U可逆，从而

2121LLUU−−= 11

2121

2121(,)LLEUU

LLUU−−

−−⇒==

因为单位下三角阵为上三角阵

2121,LLUU⇒==

（2）A奇异

因det()0,1,2,,1

iAin≠=−󰀢，det()0

nA=

()0,1,2,,1i

iiain⇒≠=−󰀢，()0n

nna=

设1122ALULU==，12,LL为单位下三角矩

阵，12,UU为上三角矩阵。对它们进行矩阵分块，得

(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222

(1)(1)112200

1010nnnnnn

nnLUaLUa

mama−−−−−−

−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞

=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

其中

(1)(1)12,nnLL−−为n-1阶单位下三角矩阵，

(1)(1)12,nnUU−−为可逆的n-1阶上三角矩阵

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222nnnnnnnn

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