大型稀疏矩阵的LU分解及特征值求解
稀疏矩阵方程算法
稀疏矩阵方程算法稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为0的矩阵。
在实际问题中，很多矩阵都是稀疏的，例如图像处理、自然语言处理等领域。
由于稀疏矩阵的特殊性，传统的矩阵运算方法效率较低，因此需要设计高效的算法来解决稀疏矩阵方程。
稀疏矩阵方程是指形如Ax=b的线性方程，其中A是一个稀疏矩阵，b是一个向量。
解决稀疏矩阵方程的一种常用方法是使用迭代算法，例如共轭梯度法（Conjugate Gradient，CG）和广义最小残差法（Generalized Minimal Residual，GMRES）等。
共轭梯度法是一种迭代法，它可以用来解决对称正定稀疏矩阵方程。
该方法的基本思想是通过最小化残差的二次范数来逼近方程的解。
具体而言，共轭梯度法通过迭代计算一个与残差正交的搜索方向，并在该方向上进行搜索，直到找到方程的解。
广义最小残差法是一种迭代法，它可以用来解决非对称稀疏矩阵方程。
该方法的基本思想是通过最小化残差的二范数来逼近方程的解。
与共轭梯度法不同的是，广义最小残差法使用Krylov子空间来进行搜索，并在该子空间上进行最小化残差的计算。
除了迭代算法外，还可以使用直接求解方法来解决稀疏矩阵方程。
其中一种常用的方法是LU分解。
LU分解是将稀疏矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
通过LU分解，可以将原始方程Ax=b转化为Ly=b和Ux=y两个方程，进而求解出x的值。
稀疏矩阵方程的求解算法还有很多，例如Jacobi迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
这些算法在不同的问题和应用中具有不同的优势和适用性。
在实际应用中，稀疏矩阵方程的求解是一个复杂且关键的问题。
通过选择合适的算法和优化技术，可以提高求解的效率和精度。
同时，还可以利用稀疏矩阵的特殊性质，例如压缩存储和并行计算等，进一步提高算法的性能。
稀疏矩阵方程是一类特殊的线性方程，传统的矩阵运算方法在处理稀疏矩阵时效率较低。
针对稀疏矩阵方程，可以采用迭代算法和直接求解方法来求解。
矩阵的lu分解计算量
矩阵的LU分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积的方法。
LU分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它在求解线性方程组、计算行列式、计算矩阵的逆等方面都有广泛的应用。
对于一个$n \times n$的矩阵A，其LU分解的计算量主要取决于以下几个因素：
1. 存储量：LU分解需要存储原始矩阵A、下三角矩阵L和上三角矩阵U，因此需要额外的$3n^2$个浮点数存储空间。
2. 计算量：LU分解需要进行一系列的矩阵乘法和行交换操作，因此计算量相对较大。
具体来说，LU分解的计算量主要包括以下几部分：
* 计算L矩阵：需要执行$n(n+1)/2$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。
* 计算U矩阵：需要执行$n^3/6$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。
* 行交换操作：需要执行$n-1$次行交换操作，其中$n$是矩阵的阶数。
因此，LU分解的计算量大约为$O(n^3)$，其中$n$是矩阵的阶数。
在实际应用中，为了提高计算效率，通常会采用一些优化算法和并行计算技术来加速LU分解的计算过程。
lu分解方法求矩阵特征值
lu分解方法求矩阵特征值
矩阵特征值可以通过LU分解方法来求解。
首先，我们需要将矩阵A进行LU分解，得到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得LU=A。
接下来，我们可以利用LU分解的结果来求解特征值。
假设我们已经得到了LU分解后的矩阵L和U，那么我们可以进行如下步骤来求解矩阵A的特征值：
1. 首先，求解U矩阵的特征值。
U矩阵是一个上三角矩阵，其特征值就是它的对角线元素。
2. 接下来，求解L矩阵的特征值。
L矩阵是一个下三角矩阵，其特征值也是它的对角线元素。
3. 最后，将U矩阵和L矩阵的特征值组合起来，就得到了矩阵A的特征值。
需要注意的是，LU分解方法求解特征值的过程相对比较复杂，尤其是对于大型矩阵而言。
在实际应用中，可以借助计算机软件来进行LU分解和特征值求解，以提高计算的准确性和效率。
总之，通过LU分解方法可以求解矩阵的特征值，但需要注意计算的复杂性和精度的要求。
希望这个回答能够帮助到你理解如何利用LU分解方法来求解矩阵的特征值。
lu分解算法
lu分解算法
LU分解算法是一种将一个非奇异矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法，它可以用于解线性方程组以及求矩阵的逆等计算中。
具体的LU分解算法如下：
输入：一个n×n的非奇异矩阵A
输出：下三角矩阵L和上三角矩阵U
1. 初始化一个n×n的下三角矩阵L和一个n×n的上三角矩阵U，使它们的所有对角元素为1。
2. 对于矩阵A的第一行，将其作为矩阵U的第一行。
3. 对于矩阵A的第一列，将其除以矩阵U的第一个元素得到矩阵L的第一列。
4. 对于矩阵A的剩余行，以及对应的列，进行如下操作：
- 计算当前元素的值，即A(i, j)减去矩阵L的第i行与矩阵U的第j列的内积。
- 如果i小于等于j，将计算得到的值赋给矩阵U的第i行第j列元素。
- 如果i大于j，将计算得到的值除以矩阵U的第j列第j个元素，然后赋给矩阵L的第i行第j列元素。
5. 返回矩阵L和矩阵U作为结果。
通过LU分解算法，可以将解线性方程组的计算转化为简单的矩阵乘法和求解步骤。
此外，通过求解LU分解后的矩阵，还可以求矩阵的逆和行列式等相关计算。
大型稀疏矩阵的LU分解及特征值求解-bestparallelsparsesolver
利用稀疏矩阵的特性，得到一系列密集子阵（波前）。将LU分解 转化为对这些波前的装配，消去，更新等操作。
• 多波前法的优点
波前是dense matrix ,可直接调用高性能库（BLAS等） 密集子阵可以节省下标存储 提高并行性
• 目前主要的求解器
UMFPACK,,GSS,MUMPS,PARDISO, WSMP,HSL MA41等
GSS1.2
15秒
2012
3.0G 4核
GSS 2.34秒ຫໍສະໝຸດ 2014i7 8核
GSS 2.4
1秒
• 硬件的发展 CPU，内存等
• 稀疏算法逐渐成熟
稀疏排序，密集子阵 multifrontal ,supernodal…
• 数学库
BLAS，LAPACK
稀疏LU分解算法的关键
稀疏LU分解 （不考虑零元的）LU分解 1 零元是动态的概念，需要稀疏排序,减少注入元(fill-in)
• 直接法基于高斯消元法，即计算A的LU分解。A通常要经过一系列置换排 序，可归并为左置换矩阵P，右置换矩阵Q。基本步骤如下： 1）符号分析： 得到置换排序矩阵 P Q
2）数值分解：
3）前代 回代：
I.S.Duff, A.M.Erisman, and J.K.Reid. Direct Methods for Sparse Matrices. London:Oxford Univ. Press,1986. J.J.Dongarra,I.S.Duff, ... Numerical Linear Algebra for High-Performance Computers. G.H.Golob, C.F.Van loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press. 1996
8、矩阵特征值问题计算
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
k
k
k A v0 max(vk ) max max(Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (vk 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时，k 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk， v
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇
大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现共3篇大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现1大型稀疏矩阵直接求解算法的研究及实现随着计算机技术的不断发展和数学建模需求的增加，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现日益受到人们的关注。
在实际应用中，大型稀疏矩阵经常出现在各种科学计算、工程计算以及机器学习等领域。
因此，如何高效地求解大型稀疏矩阵成为了一个十分重要的问题。
一般来说，大型稠密矩阵的求解可以使用各种经典算法，如高斯消元、LU分解等。
然而，大型稀疏矩阵的求解却需要特殊的算法和数据结构。
传统的直接求解方法存在着效率低下和存储空间过大等问题，因此研究者们提出了许多改进方法和优化方案。
稀疏矩阵存储结构是求解算法中的重要问题之一。
目前，广泛应用的稀疏矩阵存储格式包括压缩列（Compressed Column，CC）、压缩行（Compressed Row，CR）以及双重压缩（Double Compressed）等。
这些存储格式各有优缺点，具体用哪一种存储格式取决于矩阵的具体特点和求解算法的需求。
比如，在随机梯度下降等机器学习算法中，常常使用压缩行存储方式来优化矩阵乘法操作的速度。
多核并行、GPU加速等技术也被广泛应用于大型稀疏矩阵的求解算法中，以提高计算效率。
并行求解算法可以将巨大的计算任务划分成多个子任务，并分配给多个核心同时执行，充分利用计算机的计算资源。
而GPU加速则充分利用了GPU的特殊架构，通过将计算任务映射到各个流处理器上并行执行，进一步提高求解效率。
除了以上所述的算法优化和技术应用，近年来还出现了一些新的求解算法。
比如，基于埃米尔特矩阵分解的求解算法，具有比传统LU分解更快的求解速度；基于内点法的求解算法，在高稀疏性的情况下，具有比其他算法更优的求解速度和精度。
综上所述，大型稀疏矩阵直接求解算法的研究和实现是一个充满挑战的领域。
在实际应用中，选择适合的算法和存储结构，并结合多核并行、GPU加速等技术，可以有效提高求解速度和精度。
[全]矩阵LU分解的几种算法
![[全]矩阵LU分解的几种算法](https://img.taocdn.com/s3/m/890d0cf2f111f18582d05a7c.png)
矩阵LU分解的几种算法Doolittle分解将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵UCrout 分解将矩阵A分解为下三角矩阵L和单位上三角矩阵UCholesky分解Doolittle分解和Crout 分解适于一般非奇异的矩阵，但对于一些更特殊的矩阵，我们有更好的分解方法。
基础概念矩阵A对称：A^T=A矩阵A正定：A的各阶顺序主子式大于0，对于实对称矩阵A正定的等价条件是A的特征值全为正假设矩阵A是对称正定矩阵，则可以分解为：其中L为下三角矩阵注：这里不给出证明，具体的分解过程，大部分数学软件都有相应的函数，我们更关心如何应用这样可以将求解线性方程组的过程看做两个步骤由于L为下三角矩阵，所以x,y都很好求解，简化了运算过程。
现在假设A为对称矩阵，去掉正定的条件，但是规定矩阵A的各阶顺序主子式不为0那么矩阵A可以做如下分解其中D为对角阵，L为下三角矩阵这样我们可以将求解线性方程组的过程同样看做两个步骤由于D为对角阵，它的逆就是它的倒数，其余的矩阵都是三角矩阵，所以计算也十分简便。
值得注意的是，显然，如果矩阵A是对称正定的，那么也是可以分解为LDL^T的，但如果矩阵A 不是正定的，那么不能分解为LL^T。
补充知识：一个三角矩阵的逆，也是三角矩阵且对角线上元素是倒数关系，但其余位置不是的。
例如：追赶法追赶法是针对带状矩阵（尤其是三对角矩阵）这一大稀疏矩阵的特殊结构，得出的一种保带性分解的公式推导，实质结果也是LU分解可以将一个三对角的稀疏矩阵分解为如下形式：其中三对角矩阵A为：最后提及一句：mathematica中提供LUDecomposition,CholeskyDecomposition 两个函数实现矩阵的LU分解。
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Frontal的装配，消去，更新过程
{a}
{c} {f,g} {b} {e} {d}
ach c ·· h ··
c,g,h g ·· h ··
bej e ·· j ··
d,i,j i ·· j ··
f,g,h gg· h ··
e,i,j i ·· j ··
{h,i,j}
消去树
h,i, j i i · j ·j
条件数
求解器的飞速发展
• BBMAT
/research/sparse/matrices/Simon/bbmat.html
38744阶，分解后元素超过四千万. 1988 巨型机cray-2上 2003 4G umfpack4 2006 3.0G GSS1.2 2012 3.0G 4核 GSS 2.3 2014 i7 8核 GSS 2.4
稀疏矩阵复杂、多变
• 基本参数 • 敏感性，病态矩阵 • 格式多变 • 测试集
Harwell-Boeing Exchange Format 。。。 Harwell-Boeing Sparse Matrix Collection UF sparse matrix collection
对称性，稀疏性，非零元分布
/index.php?title=Benchmark
多波前法(multifrontal)简介
• 发展
Duff and Raid [2] J.W.H.Liu等分析，改进 [3] T.A.Davis开发UMFPACK 一系列密集子阵（波前）。将LU分解 转化为对这些波前的装配，消去，更新等操作。
AMESTOY, P. R., DAVIS, ... 1996a. An approximate minimum degree ordering algorithm. SIAM J. Matrix Anal. Applic. 17, 4, 886 –905.
为何需要密集子块(Dense Matrix)
• 多波前法的优点
波前是dense matrix ,可直接调用高性能库（BLAS等） 密集子阵可以节省下标存储 提高并行性
• 目前主要的求解器
UMFPACK,,GSS,MUMPS,PARDISO, WSMP,HSL MA41等
LU分解形成frontal
10阶矩阵。 蓝点代表非零元。红点表示分解产生的注入元(fill-in) Frontal划分{a}, {b}{c}{d} {e} {f,g}{h,i,j}
• 直接法基于高斯消元法，即计算A的LU分解。A通常要经过一系列置换排 序，可归并为左置换矩阵P，右置换矩阵Q。基本步骤如下： 1）符号分析： 得到置换排序矩阵 P Q 2）数值分解： 3）前代 回代：
I.S.Duff, A.M.Erisman, and J.K.Reid. Direct Methods for Sparse Matrices. London:Oxford Univ. Press,1986. J.J.Dongarra,I.S.Duff, ... Numerical Linear Algebra for High-Performance Computers. G.H.Golob, C.F.Van loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press. 1996
Yannokakis M. Computing the minimum fill-in in NP-Complete. SIAM J.Algebraic Discrete Methods, 1981, 2:77~79
近似最小度排序算法 – 商图
近似最小度排序（AMD，Approximate Minimum Degree OrderingAlgorithm）算法于 1996年左右由Patrick R. Amestoy等学者提出
大型稀疏矩阵 的LU分解及特征值求解
陈英时 2016 . 1. 9
2013. 7. 20
稀疏矩阵求解的广泛应用
• • 矩阵求解是数值计算的核心[1] 稀疏矩阵求解是数值计算的关键之一
偏微分方程，积分方程，特征值，优化… 万阶以上dense matrix不可行
• 稀疏矩阵求解往往是资源瓶颈
时间瓶颈，内存，外存等瓶颈
2 密集子阵
根据符号分析，数值分解算法的不同，直接法有以下几类[15]： 1）general technique(通用方法)： 主要采用消去树等结构进行LU分解。适用于非常稀疏的非结构化矩阵。 2）frontal scheme(波前法) LU分解过程中，将连续多行合并为一个密集子块(波前)，对 这个子块采用BLAS等高效数学库进行分解。 3）multifrontal method(多波前法) 将符号结构相同的多行(列) 合并为多个密集子块，以这些密 集子块为单位进行LU分解。这些子块的生成，消去，装配，释放等都需 要特定的数据结构及算法。
>1000秒 32.6秒[4] 15秒 4秒 1秒
• 硬件的发展 CPU，内存等 • 稀疏算法逐渐成熟
稀疏排序，密集子阵 multifrontal ,supernodal…
• 数学库
BLAS，LAPACK
稀疏LU分解算法的关键
稀疏LU分解 （不考虑零元的）LU分解
1 零元是动态的概念，需要稀疏排序,减少注入元(fill-in)
稀疏排序
排序算法的作用是减少矩阵LU分解过程中产生的注入元，求解 矩阵的最优排序方法是个NP完全问题（不能够在合理的时间内进行 求解），对具体矩阵而言，目前也没有方法或指标来判定哪种算法 好。因此实测不同的算法，对比产生的注入元，是确定排序算法的 可靠依据。 主要的排序算法有最小度排序（MMD，minimum degree ordering algorithm）和嵌套排序（nested dissection）两种。矩阵排序方面相应 的成熟软件库有AMD[12] 、COLAMD、METIS[13]等。