1 数学-南京市金陵中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题
江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学
江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1. 设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B ＝ ▲ .2. 设U ＝{x |x ≤ 1} ，A ＝{x |x ＜0} ，则∁U A ＝ ▲ .3. 函数f (x )＝ log 21x －3的定义域是 ▲ . 4. (lg 5)2＋lg 2×lg 50＝ ▲ .5. 已知函数f (x )＝(α－2)x α是幂函数，则函数f (x )的奇偶性是 ▲ .6. 方程3x ＝x ＋2解的个数是 ▲ .7. 已知函数f (x )的定义域为R ，下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）. ①. 若f (3)＞f (2)，则f (x )在定义域R 上是单调增函数； ②. 若f (3)＞f (2)，则f (x )在定义域R 上不是单调减函数； ③. 若 f (x )在定义域R 上是单调增函数，则必有f (3)＞f (2)； ④. 若f (3)＜f (2)，则f (x )在定义域R 上不是单调增函数. 8. 设a ＝log 75，b ＝log 67，则a 、b 的大小关系是 ▲ .9. 已知函数f (x )＝x 3－bx ＋1，a 、b ∈R ，若f (－2)＝－1，则f (2)＝ ▲ .10. 已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝ ▲ . 11. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且在区间(—∞，0)上是增函数，则下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）.①. f (－1)＜f (－2)， ②. f (1)＜f (2)， ③. f (－1)＜f (2)， ④. f (－1)＞f (2)12. 若 a ＋1a ＝3，则a 2－1a 2 ＝ ▲ . 13. 已知函数f (x )＝a ＋14x＋1是奇函数，则常数a ＝ ▲ . 14. 若ax x x f 2)(2+-=与xa x g -+=1)1()(在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是▲ .二、解答题（共计90分）15. （本题满分14分）记函数f(x)＝3－x＋x－1 的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3的值域为集合N，求M∩N和M∪N.（答案写在答卷纸上相应的位置）16. （本题满分14分）（1）说明由函数y＝log3(x－1)作怎样的变换可以得到函数y＝log3(x＋2)的图象；（2）画出函数y＝log3 |x| 的图象，根据图象指出其奇偶性与单调区间（不需证明）.（答案写在答卷纸上相应的位置）Oyx17. （本题满分14分）复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法。
2 数学-南京市第三中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题
一、填空题（共14小题，每小题5分计70分.）1、设集合A ＝{1, 2, 3}, B ＝{2, 4, 5}, 则=⋃B A ___▲___________2、函数1)1lg()(++-=x x x f 的定义域是 ▲3、函数[]1,1,1)21()(-∈+=x x f x的值域是 ▲ ．4、已知幂函数αx x f =)(的图像过点(2,)2，则=)4(f ▲ 5、已知)(x f 是奇函数，当0x >时，1()f x x x=+，则(1)f -=____▲_________6、方程151243=-x 的解为=x ▲7、设220()log 0xx f x xx -⎧≤=⎨>⎩，则1(())4f f = ▲8、已知33442232(),(),log 323a b c ===，则,,a b c 从小到大用“﹤”号排列为 ▲9、若322=--xx，则=+-x x 44 ▲10、若函数()f x 对一切x R ∈，都有1(2)()f x f x +=，且()11,f =-则=)5(f ▲ ． 11、若关于x 的方程21x a -=有三个不等的实数解，则实数a 的值是 ▲12、已知函数52)(2+-=ax x x f （1>a ），若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，则实数a = ▲13、设已知函数2()log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()fmfn =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m += ▲ ．14、已知函数)⎢⎣⎡∈⎢⎣⎡⎪⎭⎫∈⎪⎩⎪⎨⎧+=-2,2121,0,,221)(1x x x x f x ，若存在,,21x x 当2021<<≤x x 时，),()(21x f x f =则)(21x f x ⋅的取值范围是 ▲ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15、（本题满分14分）)31()3)()(1(656131212132b a b a b a ÷- 4lg 2lg 5lg )2(22+-16.（本题满分14分）设集合{})1(log |2-==x y x A ，{}R x x x y y B ∈++==,32|2. （1） 求集合B A ,，)(B C A R ⋂（2） 若集合C =}0|{>-a x x ，且满足C C A = ，求实数a 的取值范围.17. （本题满分15分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，12)(2--=x x x f 。
金陵中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学答案
答：铺设水管的最小费用为 万元，相应的角 ．………………… 16分
19．（本小题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为bx－ay－ab＝0，
即mx－2my－2m2＝0．
所以＝，解得m＝1．
所以a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．………………… 5分
（2）由得E(，)，F(－，－)．……………………………….7分
又F2(，0)，所以＝(－，)，＝(－－，－)，
所以·＝(－)×(－－)＋×(－)＝＞0．
14.已知函数f(x)=，若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，则实数k
的取值范围是▲．
【答】 ．
【解析】 ，令 ，
则 ．
原题等价为：对于 ， 恒成立，求实数k的取值范围．
（1）当 时，显然成立；
（2）当 时， ，由 ，得 ；
（3）当 时， ，由 ，得 ．
综上，实数k的取值范围为 ．
②当 时，
a) 时， ， ，所以
b) 时， ， ，
所以 ， 在 上递减，
所以 ，综合a)b) 有最大值为 与a有关，不符合……15分
综上所述，实数a的取值范围是 ．………………………………………………16分
金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷
数学（附加题）
21【选做题】在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
江苏省南京市金陵中学—度第一学期高一数学期中考试试卷 苏教版必修1
江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试高一数学2007．11．16一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答案卷的表格内）1. 已知集合P ＝{x ∈N ｜1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R ｜x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于 （A ）{1，2，3} （B ）{2，3} （C ）{1，2} （D ）{2}2. 函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是（A ）(－13，＋∞)（B ）(－13，1)（C ）(－13，13)（D ）(－∞，－13)3. 已知log 12b ＜log 12a ＜log 12c ，则 （A ）2b ＞2a ＞2c（B ）2a ＞2b ＞2c（C ）2c ＞2b ＞2a（D ）2c ＞2a ＞2b4. 函数f (x )＝9－x 2x的图象关于（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线x －y ＝0对称5. 函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的 取值范围是 （A ）a ≤2 （B ）a ≥－2 （C ）－2≤a ≤2 （D ）a ≤－2或a ≥26. 设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中，计算得到f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间 （A ）(1，1.25) （B ）(1.25，1.5) （C ）(1.5，2) （D ）不能确定二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答卷纸上） 7. 函数y ＝2x的值域为____▲____.8. 已知f (x )＝｜log a x ｜，其中0＜a ＜1，则f (2)，f (13)，f (14)由大到小排列为_____▲_____.9. 若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图像与x 轴只有一个公共点，则m 的取值集合为______▲___. 10. 若log a 23＜1（a ＞0且a ≠1），则实数a 的取值范围是_____▲_____.11. 已知函数f (x )＝ax 7＋bx －2，若f (2008)＝10，则f (－2008)的值为_____▲_____.12. 函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ， x ≤0，x 2＋1，x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝_____▲_____.13.填写后面表格，其三个数依次为：____▲____.14.关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下四个结论：①定义域为(－∞，－3]∪(1，＋∞)；②递增区间为[1，＋∞)；③最小值为1；④图象恒在x轴的上方.其中正确结论的序号是_______▲_______.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本题满分8分）（1）化简：0.25－1×(32)12×(274)14；（2）已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，求log2xy的值.16.（本题满分10分）设函数f(x)＝｜x2－4x－5｜，x∈R.（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图像；（2）写出该函数在．R．上．的单调区间.17.（本题满分10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月效益最大？最大效益是多少？18.（本题满分10分）已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)（k∈Z）满足f(2)＜f(3).（1）求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；（2）对于（1）中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x，在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分12分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .（1） 若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，证明f (x )的图象与x 轴有2个交点；（2） 在（1）的条件下，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3） 若对x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2).江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．将答案填在相应的横线上．7．[1，＋∞) 8．f (14)，f (13)，f (2)9．{0，92}10．(0，23)∪(0，＋∞)11． －14 12．3或－5 13．3，2，1 14．②③④三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分） （1）解：原式＝4×2－12×314×2714×4－14＝4×2－12×314×334×2－12＝4×2－1×3＝6.（2）解：根据题意，得⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，( x －2y )2＝xy ，解得⎩⎨⎧x ＞2y ＞0，x ＝y ，或x ＝4y ，因此x ＝4y .所以log 2 xy＝log 24＝4.16．（本题满分10分）22（2） 函数在(－∞，－1]上单调递减；函数在[－1，2]上单调递增； 函数在[2，5]上单调递减； 函数在[5，＋∞)上单调递增.17．（本题满分10分） 解：（1）3600－3000＝600（元） 600÷50＝12（辆） 100－12＝88（辆）答：当每辆车的月租金为3600元时，能租出88辆.（2）设每辆车的月租金定为(3000＋50x )元时，租赁公司的月效益为y 元，则y ＝(100－x )(3000＋50x －150)－50x ，其中x ∈N ， 对于y ＝(100－x )(3000＋50x －150)－50x＝－50(x －21)2＋307050，当x ＝21时，此时月租金为3000＋50×21＝4050（元），y max ＝307050（元）. 答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月效益最大，为307050元. 18．（本题满分10分） 解：（1）对于幂函数f (x )＝x (2－k )(1＋k )满足f (2)＜f (3)， 因此(2－k )(1＋k )＞0， 解得－1＜k ＜2， 因为k ∈Z ， 所以k ＝0，或k ＝1， 当k ＝0时，f (x )＝x 2，当k ＝1时，f (x )＝x 2，综上所述，k 的值为0或1，f (x )＝x 2.（2）函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x＝－mx 2＋(2m －1)x ＋1，因为要求m ＞0，因此抛物线开口向下， 对称轴x ＝2m －12m，当m ＞0时，2m －12m ＝1－12m ＜1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以⎩⎨⎧1－12m ＞0，g (1－12m )＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧1－12m ≤0，g (0)＝5，解得m ＝52＋6满足题意.19. （本题满分12分） 解：（1）因为f (1)＝0， 所以a ＋b ＋c ＝0， 又因为a ＞b ＞c ， 所以a ＞0，且c ＜0， 因此ac ＜0， 所以Δ＝b 2－4ac ＞0， 因此f (x )的图象与x 轴有2个交点.（2）由（1）可知方程f (x )＝0有两个不等的实数根， 不妨设为x 1和x 2， 因为f (1)＝0， 所以f (x )＝0的一根为x 1＝1， 因为x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，所以x 2＝－b a －1＝ca，因为a ＞b ＞c ，a ＞0，且c ＜0，所以－2＜x 2＜0.因为要求f (m )＝－a ＜0， 所以m ∈(x 1，x 2)， 因此m ∈(－2，1)， 则m ＋3＞1，因为函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增； 所以f (m ＋3)＞f (1)＝0成立.（3）构造函数g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]，于是g (x 1)g (x 2)＝14[f (x 1)－f (x 2)][f (x 2)－f (x 1)]＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，因为f (x 1)≠f (x 2)， 所以g (x 1)g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2＜0，所以方程g (x )＝0在(x 1，x 2)内有一根， 即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一根属于(x 1，x 2).。
数学-南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题
南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数)2cos(3π-=x y 的最小正周期为 .2==T ππ.2.已知复数的模为 .【答案解数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），∴()()211223i i iz i i i-++=+=+=--=【思路点拨】先解出复数z 的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线241x y =的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】1y =-解析 ：解：由题得24x y =，所以：2 4.p p ==1=，故准线方程为：1y =-．故答案为1y =-.【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出p 即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b A B A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】{}1,2,3解析 ：解：因为{}2A B =,所以22a =，1a =，则2b =.所以{}1,2,3AB =,故答案为{}1,2,3.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由22a=可确定a ，然后就可以确定b 的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21． 故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦2人， 16=，∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率2224151166C P C =-=-=．第5题8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域将3z x y =+变形为画出直线13y x =-最大，联立方程20y x x y k ì=ïí++=ïî得x y ì=-ïïíï=-ïî9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AC BE =, 则AB 的长为 .数量积运算法;一元二次方程的解法. 1,,AC AB AD BE BC CE AD AB =+=+=- ∴()221111222AC BEAB AD AD AB AD ADAB AB 骣琪?+-=+?=琪桫， 20AB AD AB -?，AB ＞0，AB ＝【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】3p 解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，所以外接球的表面积为243p p =桫，故答案为3p .【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】(),1-∞-解析 ：解：当x ＞0时，112102xx--=->与题意不符， 当0x <时，()012xx fx ->\-=-，，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()()()1221xxf x f x f x f x -=-\-=-\=-，，，∴()1121<222xxf x =--\，＜， ∴1x <-，∴不等式()12f x <-的解集是(),1-?．故答案为(),1-?．【思路点拨】()f x 是指定义在R 上的函数，而题目中只给出了0x >的表达式，故先求出当0x <时，()f x 的解析式，后再可解此不等式．12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ．（第12题）∴B 、C 两点是关于Y 轴对称的．由题知：OA=a 四边形OABC 为平行四边形，所以BC=OA=a 可设B ,2a y 骣琪-琪桫,C ,2ay 骣琪琪桫,设D 为椭圆的右顶点，因【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC 为平行四边形，可以得出B 、C 两点是关于Y 轴对称，进而得到BC=OA=a ；设B ,2ay 骣琪-琪桫,C ,2ay 骣琪琪桫，从而求出|y|，然=13．已知实数,x y满足x y =，则x y +的最大值为 ．【知识点】基本不等式的应用.【答案解析】4解析 ：解：∵x y -，∴x y +,则()()224x y x y +?+解得：24x y -? ∴x y +的最大值为4,故答案为：4£y +的范围，即可求出所求．14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ．【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ==+=+=++，，①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p -+=由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p +=++（）（），解得p =1 则n n 1n a a 2+=+,由累加法得：2n 1n n 1a a 22222--=++?=-解得n n a 2n 2=（）,显然，当n=1时也适合，故nn a 2n N *= （）． 故存在实数p =1，使得数列{}n a 为等比数列，其通项公式为n n a 2=,故()121222201412n n n S +-==->-，解得9n >，则满足的值为的最小正整数n s n 2014>10，故答案为10.【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ==+=+=++，，进行分类考虑：①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p -+=由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p +=++（）（），解得p =1 则其通项公式为n n a 2=,再由故2014n S >，解得9n >，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与⑴求 ⑵若2π弦函数．【答案解析】⑴16173⑵34p解析 ：解：⑴由三角函数的定义知43tan α=-ABCFED∴42()24341(73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,b 为第一象限角，1tan 7b \=，()24116177tan 224173177a b -\+==+. (2) cos a ＝0a p b ＜＜，＜＜2p， a b+＜＜∵()sin sin cos cos sin a b a b a b ++＝＝435105102??． a b +＜＜b +＝【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出sinb ，然后再求tan b ； （Ⅱ）由cos a ，求出a b +0a p b ＜＜，＜＜2p，求出a b +．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）83a 3解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △C EF ＝12DC •CF ＝12×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PC EF ＝V P −C EF ＝13PQ •S △CEF ＝13•4a 2•2a ＝83a 3． （注：本题亦可利用V P −C EF ＝V B −C EF ＝V E −BC F ＝V D −BC F ＝16DC •BC •CF ＝83a 3求得）恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)Pm n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【答案解析】（1）2212516x y +=（2）L ∈ 解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C的方程为2212516x y +=.…………… 6分 （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=.所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分MB 又直线l 被圆O 截得的弦长为L ===分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是L ∈…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落 在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) 212sin MA q =, 4590<θ< (2) 23解析 ：解：解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分 在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ=，…………4分 ∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ<…7分(2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=23pq -,∴根据正弦定理得：sin ANq122sin sin 3AN p q q =骣-琪琪桫令212sin sin 2sin sin 32t p q q q q q 骣骣琪琪=-=琪琪桫桫()01sin 2302q =+-，19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）14a =（2）4332a £＜（3）y 2e =-解析 ：解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==得：212x a =，此时214y a =，…………2分 则点2211(,)24a a到直线30x y --=的距离为即=，解之得a =．…………4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，（3）设21()()()l n 2Fxf x gx x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x =)2e ． …………12分设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(e y k x -=，由e f x kx 2?-（）则2x 2kx e 0--+在x ∈R 恒成立．所以24(k )=-下面证明2g x e x 0?（）（＞）恒成立．设G x elnx =-（）x ?（）所以当 时，G ′（x ）＜0．因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则2g x e x 0?（）（＞）成立．故所求“分界线”方程为：y x =-【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；2g x e x 0?（）（＞）成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列； （3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用．【答案解析】（1）n n a 2=（2）3=t (3) 满足题意的正整数仅有2=m .解析 ：解：（1）nn a 2=………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tn n b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-= 则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分 当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分（3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分 当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k 即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k 则k k f k 212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ， 所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分【思路点拨】（1）由33a 是18a 与5a 的等差中项得到6a 3=8a 1+a 5，根据首项2和公比（3）显然2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意，然后说明即可.。
江苏省南京市金陵中学2013-2014学年度高一第一学期期中考试英语试卷
金陵中学2013-2014学年度第一学期期中考试高一英语试卷命题人：刘忠审核：王光明第一部分：单项选择(共15小题；每小题1分，满分15分)1. In the activity, a few hours of “disability” gave us only a taste of the _______both physically and mentally the disabled people should overcome.A. weaknessB. challengesC. anxietiesD. illness2. It’s an either-or situation ________ we can buy a new car this year or we can go on holiday but we can’t do _________.A. that; othersB. which; eitherC. in which; anotherD. where; both3. I was glad to mee t Jerry again, ________ I couldn’t wait to spend all day with her.A. butB. andC. soD. or4. I can’t thank him too much, ____________ I couldn’t have finished the project in time.A. without his helpB. with his helpC. without whose helpD. with whose help5. Every year, typhoons and losses ______ lead to are frightening though measures have been taken.A. whichB. thatC. theyD. ones6. ---Do you get together with your old friends?---Yes, from time to time, but not ___ ___.A. normallyB. certainlyC. regularlyD. necessarily7. ----- Do you think the Stars will beat the Bulls ?----- Yes. They have better players, so I ______ them to win.A. hopeB. preferC. expectD. want8. I refuse to accept the blame for something _____ was someone else’s fault.A. whoB. thatC. asD. what9. His mother doesn’t ________ of her going to study in the United States al one.A. allowB. agreeC. proveD. approve10. We have ________ in your bill the cost of the teapot you broke just now.A. increasedB. includedC. containedD. charged11 He has ______ lung cancer for several years and is never _______ pain.A. recovered from; away fromB. suffered; away fromC. recovered; free fromD. suffered from; free from12. The lazy boy tried to get through the exam without hard work in the way ______ his friend suggested.A. in thatB. in whichC. whichD. where13. There are two thousand students in this college, ______ are from the countryside.A. one-third of themB. one-third of whichC. one-third of whomD. one-third in which14.To some degree, uncontrolled information from the Internet that many people turn ______ false.A. to turn outB. to turns outC. turn outD. turns out15. Laughter, along with an active sense of humor, ______ protect you against a heart attack, according to a recent study.A. have helpedB. helpedC. helpD. helps第二部分：完形填空（共20小题；每小题1分，满分20分）请认真阅读下面短文，从短文后各题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟试卷(含答案)
2024/2025学年度第一学期高一期中模拟试卷数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C.D. 2．若，则（ ）A ．3B ．4C ．9D ．163．设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．4设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知集合，则的非空真子集的个数为（ ）A.2B.3C.4D.66.已知，则（ ）A. B. C. D.2{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = {}2,0,2,4-{}2,10-{}0,2,4{}2,424log log 2m n +=2m n =()()cos f x x ωϕ=+0ω>()f x ()01f =()00f =()01f '=()00f '=0.1e 1=-a 111b =ln1.1c =b c a <<c b a <<a b c <<a c b <<{}{}4,3,0,6,3A B x x =--=∈≤Z A B ⋂3212log 61a a +=+-a =39log 2323log 47.已知a ，b 为正数，若，有函数，则的最小值为（ ）A.B.C.9D.8设集合，若，则的取值范围为（ ）A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）A. B. C. D.10. 设是非空的实数集，若，则（ ）A. 函数的定义域为B. 函数的值域为C. 函数值域为D. 函数无极值11. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则是3阶聚合点集B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集C. 若，则不是阶聚合点集D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．.x b ∀>-()()1x a f x x b -=+≥18a b +9+9+{}{}25,(1)0A x x B x x a x a =>=-++<A B =∅ a (,5]-∞[5,)+∞(,5)-∞(5,)+∞()e x f x a bx c =++1,1-()00f <1e e 2c a -+=-⋅0a >2e 0b a +<0a b c ++<,A B :f A B →()f x A()f x B ()3f x ax bx =+R ()3233f x x x x =-+M (,)x y M ∈()0,t ∞∈+(,)tx ty M ∈M t {}(,)M x y x y =≥M M t M t 22(,)14x M x y y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭M 13[1,+t ∞∈）{}2(,)M x y y x =≥t12．已知集合A ，B ，C 均是集合的非空真子集，则以集合A ，B ，C 为元素所构成的集合的个数为 .13. 关于不等式的解集为，则实数的取值范围为_________．14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC =b ，BC =a (b ≥a )，AB =c ，图中两个阴影三角形的周长分别为l 1，l 2，则l 1+l 2a +b 的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.16.已知集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a 的取值范围.17. 已知函数.{}1,3,5,7,9{},,A B C x ()()222240a x a x -+--<R a 2: 12,0p x x a ∀≤≤-≥22:, 220q x x ax a a ∃∈+++=R p ⌝a p q ⌝a {}(){}21,lg 310A x a x aB x y x x =≤≤+==--1a =()B A ⋂R ðx A ∈x B ∈R ð()()211R y m x mx m m =+-+-∈(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.18（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．（2）已知不等式的解集是，求不等式的解集．19.高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.（1）求的解集和的解集.（2）若，恒成立，求取值范围.（3）若的解集为，求的范围.0y <∅m 2m >-y m ≥[]1,1x ∈-21y x x ≥-+m p x 22430x ax a -+<0a <q x 23100x x +->q p a 210ax bx -->1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭20x bx a --≥[]y x =[]x x []1.21=[]1.22-=-[]5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤712x ∀≤≤[][]240x m x -+>m [][]22210x x a --+≤{}|03x x ≤<a参考答案选择题答案1-5 C D DA A 6-8 A B A多项选择题答案9 ABD 10.AD 11 ACD填空题答案12.4060 13. 14. 1+2215. 解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(2)由(1)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.16.解：（1）由题意，即，解得或，所以，或当时，，且，故.（2）“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集.则满足两边等号不能同时成立，解得，综上所述，的取值范围为.17. （1）当时，由，得到，所以，不合题意，当时，由，得到，解得，{}22a a -<≤12x ≤≤214x ≤≤2: 12,0p x x a ⌝∃≤≤-<1a ∴>∴a {}|1a a >p 1a ≤q ()224420a a a ∆=-+≥0,a q ≤∴⌝0a >10a a ≤⎧∴⎨>⎩01a <≤a {}|01a a <≤23100x x -->()()250x x +->2x <-5x >{2B xx =<-∣5},x >1a ={}12A xx =∣……{}25B x x =-R ∣ð……(){}R 12B A xx ⋂=∣ð……x A ∈x B ∈R ðA B R ð2,15,a a -⎧⎨+⎩……24a -……a []2,4-1m =-0y <20x -<2x <1m ≠-0y <210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩m ≥所以实数的取值范围为.（2）当时，，即，可得，因为，①当时，即，不等式的解集为②当时，，因为，所以不等式的解集为③当时，．又，所以不等式的解集为,综上：，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（3）由题对任意，不等式恒成立．即，因为时，恒成立．可得，设，则，所以，可得因为，当且仅当所以故得m 的取值范围18. 【解】（1）命题，m ∞⎫+⎪⎪⎭2m >-y m ≥2(1)1m x mx m m +-+-≥[(1)1](1)0m x x ++-≥2m >-10m +=1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭111m ->+1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭1011m -<<+1{|1}1x x x m ≤-≥+或1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1{|1}1x x x m ≤-≥+或[1,1]x ∈-22(1)11m x mx m x x +-+-≥-+()212m x x x -+≥-[1,1]x ∈-()210x x -+>221x m x x -≥-+2t x =-13t ≤≤2x t =-222131(2)(2)13x t x x t t tt -==-+---++-3t t+≥t =221x x x -≤=-+2x =∞⎫+⎪⎪⎭22:{|430,(0)}{|3,(0)}p A x x ax a a x a x a a =-+<<=<<<命题或，是的必要不充分条件，∴ ，或，又，故实数的取值范围是．（2）依题意有和是方程的两根，且，则有，解得，即，解得或，即不等式的解集为或.19. 【1】由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，，则，所以.所以的解集为.【2】，[x ]2−m [x ]+4>0恒成立，即，恒成立，2:{|3100}{|5q B x x x x x =+->=<-2}x >q p A B 32a ∴≥5a ≤-0a <a (,5]-∞-12-13-210ax bx --=0a <0112311123a b a a ⎧⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩65a b =-⎧⎨=⎩20x bx a --≥2560x x -+≥2x ≤3x ≥{2x x ≤}3x ≥[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z []5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<[]5522x -≤≤{}|23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤[]532x ∴≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}|34x x ≤<712x ∀≤≤[]13x ≤≤此时712x ∀≤≤[][]4m x x <+又，当且仅当时，即时等号成立.故的最小值为，所以要使[x ]+4[x ]>m 恒成立，则.故的取值范围为.【3】不等式，即，由方程可得或.①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得.综上所述， 或.故的范围为.[][]44x x +≥[]2x =23x ≤<[][]4x x +44m <m (),4∞-[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}{}|11|03|1[]3x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-{}{}{}|1[]1|03|1[]3x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<a (][)2,11,2--⋃。
2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx
2013-2014 学年度第一学期期中考试高一年级数学（满分 160 分，考试时间 120 分钟）一、 填空题1 、设集合 A {1,3} ，集合 B {1,2,4,5} ，则集合 AB2 、若 f ( x) x 1 ，则 f (3)3 、函数 f (x) (k 1)x 3 在 R 上是增函数，则 k 的取值范围是4 、指数函数 y a x 的图像经过点（ 2 ，16 ）则 a 的值是5 、幂函数 yx 2在区间 [ 1,2] 上的最大值是26 、已知1 3 ，则1aaaa1 7 、函数 f (x)2 x 3的定义域是 ________．8 、化简式子 log 8 9的值为log 2 39 、已知函数 y f ( x) 是定义在 R 上的单调减函数，且 f (a 1)f (2 a) ，则 a 的取值范围是10、下列各个对应中, 从 A 到 B 构成映射的是（填序号）A B ABAB A B1 4 1 1 3 1 a 22 54 2 b 3536253c（ 1 ）（ 2 ）（3 ）（ 4 ）11 、满足 2 x 8 的实数 x 的取值范围12 、设 f x 为定义在 ,上的偶函数，且 f x 在 0, 上为增函数，则 f2 ， f， f 3 的大小顺序是 ____________13 、当 a 0 且 a 1 时，函数 f ( x) a x3 的图像必过定点x 2 2x ( x 0) 3, 则 x14 、已知 f (x)1(x若 f ( x) x0)二、解答题15 、全集 UR ,若集合 A { x | 3 x 10}, B { x | 2 x 7} ，则（结果用区间表示）（1）求 AB, A B,(C U A)(C U B)；（2 ）若集合C{ x | x a},A C ，求a的取值范围16 、对于二次函数y4x28x 3 ，（1 ）求函数在区间[ 2,2]上的最大值和最小值；（2 ）指出函数的单调区间17、化简或求值：211115（1 ）(3a3b2)( 4a2b3)( 3a 6 b 6 ) ；（2 ）lg500lg 81 lg 64 50 lg2 lg5 2 5 218 、已知某皮鞋厂一天的生产成本c(元)与生产数量 n (双)之间的函数关系是 c 400050 n（1 ）求一天生产 1000 双皮鞋的成本；（2）如果某天的生产成本是 48000 元，那么这一天生产了多少双皮鞋？（3）若每双皮鞋的售价为 90 元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润 P 关于这一天生产数量 n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本？1x19 、已知f (x) log21x（1 ）求f (x)的定义域；（2 ）求证：f ( x)为奇函数（3 ）判断f ( x)的单调性，并求使 f (x)0 的x的取值范围。
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金陵中学2013－2014学年度第一学期期中试卷高一数学命题：翁德强 审核：张松年 李跃学一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分，请将答案填在答卷纸上) 1． 已知集合P ＝{x |1＜x ＜6}，集合Q ＝{x |x －3＞0}，则P ∩Q ＝ ▲ ． 2． 函数f (x )＝1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是 ▲ ． 3． 函数f (x )＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3]的值域是 ▲ ． 4． 函数f (x )＝log 2(x －1)的单调递增区间是 ▲ ． 5． 计算：(3－π)2＝ ▲ ．6． 若方程lg x ＝4－2x 的根x 0∈(k ，k ＋1)，其中k ∈Z ，则k 的值为 ▲ ． 7． 设幂函数y ＝f (x )的图象经过点(12，18)，则当f (x )＝8时，实数x 的值为 ▲ ．8． 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0，x ＋1，x ≤0．若f (a )＝－2，则a 的值为 ▲ ．9． 设f (x )＝|log a x |，其中a ＞1，则f (2)，f (13)，f (14)由大到小．．．．排列为 ▲ ． 10．函数y ＝2x －1的值域为 ▲ ．11．若f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (－1)＝ ▲ ． 12．已知函数f (x )对于任意的x ∈R ，都满足f (－x )＝f (x )，且对任意的a ，b ∈(－∞，0]，当a≠b 时，都有f (a )－f (b )a －b ＜0．若f (m ＋1)＜f (2)，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．函数f (x )＝(2－x )|x －6|在区间(－∞，a ]上取得最小值－4，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．定义：如果函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在区间[a ，b ]⊆D (其中a ＜b )，使得在区间[a ，b ]上，f (x )的取值范围恰为区间[a ，b ]，那么称函数f (x )是D 上的“正函数”．若注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分100分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡上交。
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填在答题卡上。
3．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
1 m－1x(m＞0)是(0，＋∞)上的“正函数”，则实数m的取值范围为▲．函数g(x)＝二、解答题(本大题共6小题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本题满分8分)(1)已知x 12＋x －12＝3，求x ＋1x 的值；(2)计算：(log 43＋log 83)·(log 32＋log 98)．16．(本题满分10分)设全集为R ，集合A ＝{x |x ≤－3，或x ≥6}，B ＝{x |2＜x ＜7}． (1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)设C ＝{x |m －3≤x ≤3m －2}，若B ⊆C ，求实数m 的取值范围．17．(本题满分8分)设函数f (x )＝(12)10－ax ，其中a 为常数，且f (3)＝12． (1)求a 的值；(2)若f (x )≥4，求x 的取值范围．18．(本题满分10分)某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上划出一块长方形MNDG 的地面修建一座公寓楼．问如何设计才能使公寓楼地面MNDG 的面积最大，并求出最大的面积．19．(本题满分12分)探究函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，＋∞)上的最小值，并确定取得最小值时x 的值．列表如下：x … 0.5 11.51.71.922.12.22.33457…y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …(1)观察表中y 值随x 值变化趋势的特点，请你直接写出．．．．函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，＋∞)上的单调区间，并指出f (x )的最小值及此时x 的值．(2)用单调性的定义证明函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上的单调性； (3)设函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．20．(本题满分10分)已知函数m (x )＝log 2(4x ＋1)，n (x )＝kx (k ∈R )．(1)当x ＞0时，F (x )＝m (x )．若F (x )为R 上的奇函数，求x ＜0时F (x )的表达式； (2)若f (x )＝m (x )＋n (x )是偶函数，求k 的值；(3)对(2)中的函数f (x )，设函数g (x )＝log 2(a ·2x －43a )，其中a ＞0．若函数f (x )与g (x )的图象G100m 60m BAME D C70m80mN有且只有一个公共点，求a的取值范围．金陵中学2013－2014学年度第一学期期中试卷高一数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分，请将答案填在答卷纸上)1．{x |3＜x ＜6} 2．(－13，1] 3．[2，6] 4．(1，＋∞) 5．π－3 6．1 7．2 8．－3 9．f (14)＞f (13)＞f (2) 10．[12，＋∞) 11．－3 12．(－3，1) 13．[4，4＋22] 14．(0，12) 二、解答题(本大题共6小题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本题满分8分)(1)已知x 12＋x －12＝3，求x ＋1x 的值；(2)求值：(log 43＋log 83)·(log 32＋log 98)． 【解析】(1)因为x 12＋x －12＝3，所以(x 12＋x －12)2＝32，……2分即x ＋x－1＋2＝9．所以x ＋1x ＝7． ……4分 (2)(log 43＋log 83)·(log 32＋log 98)＝(12log 23＋13log 23)·(log 32＋32log 32) ……6分 ＝56log 23·52log 32＝2512． ……8分 16．(本题满分10分)设全集为R ，集合A ＝{x |x ≤－3，或x ≥6}，B ＝{x |2＜x ＜7}． (1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)设C ＝{x |m －3≤x ≤3m －2}，若B ⊆C ，求实数m 的取值范围．【解析】(1)A ∪B ＝{x |x ≤－3，或x ＞2}． ……2分∁R A ＝{x |－3＜x ＜6}， ……4分 所以(∁R A )∩B ＝{x |2＜x ＜6}． ……5分(2)因为C ＝{x |m －3≤x ≤3m －2}，且B ⊆C ，所以⎩⎨⎧3m －2≥7m －3≤2． ……7分所以所求实数a 的取值范围是[3，5]． ……10分 17．(本题满分8分)设函数f (x )＝(12)10－ax ，a 为常数，且f (3)＝12． (1)求a 值；(2)求使f (x )≥4的x 值的取值范围．【解析】(1)由f (3)＝12，即(12)10－3a ＝12， ……2分所以10－3a ＝1，解得a ＝3． ……4分 (2)由已知(12)10－3x ≥4＝(12)－2，所以10－3x ≤－2， ……6分 解得x ≥4，故f (x )≥4解集为{x |x ≥4}． ……8分 18．(本题满分10分)某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上划出一块长方形MNDG 的地面修建一座公寓楼．问如何设计才能使公寓楼地面MNDG 的面积最大，并求出最大的面积．【解析】设长方形为MNDG 的边MG ＝x m ，矩形MNDG的面积为S m 2，则MN ＝70＋32(80－x )＝－32x ＋190． ……2分 于是S ＝MG ·MN ＝－32x 2＋190x ……4分＝－32(x －1903)2＋180503，x ∈(60，80) ……6分 所以当x ＝1903∈(60，80)时，S 有最大值180503． ……8分 答：只要使与AE 平行的边长为1903m ，公寓楼的地面面积达到最大为180503m 2．……10分 19．(本题满分12分)探究函数f (x )＝2x ＋8x －3，x ∈(0，＋∞)上的最小值，并确定取得最小值时x 的值．列表如下：x … 0.5 11.51.71.922.12.22.33457…y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …(1)观察表中y 值随x 值变化趋势的特点，请你直接写出．．．．函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，＋∞)上的单调区间，并指出f (x )的最小值及此时x 的值．(2)用单调性的定义证明函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上的单调性； (3)设函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．G100m 60m BAME D C70m80mN【解析】(1)由表中可知f (x )在(0，2]为减函数，[2，＋∞)为增函数， ……2分并且当x ＝2时，f (x )min ＝5． ……4分 (2)证明：设0＜x 1＜x 2≤2，因为f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋8x 1－3－(2x 2＋8x 2－3)＝2(x 1－x 2)＋8(x 2－x 1)x 1x 2＝2(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x2， ……7分因为0＜x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0，0＜x 1x 2＜4，即x 1x 2－4＜0． 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，2]为减函数． ……9分 (3)由(2)可证：函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增．则①当0＜a ＜2时，(0，a ]⊆(0，2]，所以函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上单调递减， 故f (x )min ＝f (a )＝2a ＋8a －3； ……11分 ②当a ≥2时，函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，2]上单调递减，[2，a ]上单调递增， 故f (x )min ＝f (2)＝5；综上所述，函数f (x )＝2x ＋8x －3在区间(0，a ]上的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋8a －3，0＜a ＜2，5， a ≥2．……12分 20．(本题满分10分)已知函数m (x )＝log 2(4x ＋1)，n (x )＝kx (k ∈R )．(1)当x ＞0时，F (x )＝m (x )．若F (x )为R 上的奇函数，求x ＜0时F (x )的表达式； (2)若f (x )＝m (x )＋n (x )是偶函数，求k 的值；(3)对(2)中的函数f (x )，设函数g (x )＝log 2(a ·2x －43a )，其中a ＞0．若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围．【解析】(1)设x ＜0，则－x ＞0，由于F (x )为R 上的奇函数，所以F (x )＝－F (－x )＝－log 2(4－x＋1)，所以x ＜0时，F (x )＝－log 2(4－x＋1)； 2分(2)因为f (x )＝log 2(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意x ∈R 恒成立， 4分 即log 2(4－x＋1)－kx ＝log 2(4x ＋1)＋kx 恒成立，所以k ＝－1． 6分(3)由于a ＞0，所以g (x )＝log 2(a ·2x －43a )定义域为(log 243，＋∞)， 也就是满足2x ＞43．因为函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个交点，所以方程log 2(4x ＋1)－x ＝log 2(a ·2x －43a )在(log 243，＋∞)上只有一解，即方程4x ＋12x ＝a ·2x －43a 在(log 243，＋∞)上只有一解． 8分 令2x ＝t ，则t ＞43，因而等价于关于t 的方程(a －1)t 2－43at －1＝0 (*)在(43，＋∞)上只有一解． ①当a ＝1时，解得t ＝－34∈／(43，＋∞)，不合题意；②当0＜a ＜1时，记h (t )＝(a －1)t 2－43at －1，其图象的对称轴t ＝2a 3(a －1)＜0．所以函数h (t )＝(a －1)t 2－43at －1在(0，＋∞)上递减，而h (0)＝－1， 所以方程(*)在(43，＋∞)无解．③当a ＞1时，记h (t )＝(a －1)t 2－43at －1，其图象的对称轴t ＝2a3(a －1)＞0，所以只需h (43)＜0，即169(a －1)－169a －1＜0，此式恒成立．综上所述，所求a 的取值范围为(1，＋∞)． 10分。