概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解

概率论与数理统计习题及答案

第3章习题详解

M论鸟a «尤计a＜及冬嚓

——第誇季习题祥解

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面

的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出

现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联

合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表:

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在

其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，

以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布

律.

【解】X和Y的联合分布律如表:

I

35

3•设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为

求二维随机变量（x, y）在长方形域

0*雳5寻内的概率.

4 6 3 J

【解】如图叩＜洗处＜丫马公82）

4 6 3

yi

!■：：■：：

6 1 4 J 6 J

jT

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X, Y）的分布密度

ft .71 . 7E . Tl

=sin — sin ——sin —

^sin —

4 3 4 6

=午（75-1）.

7T 71

sin Olin-+sin O[iin-

3 6

0

其他.

求：(1) 常数A ;

随机变量(X , Y )的分布函数;

f(x,y)dxdy 0 0

Ae (3x4y)

dxdy 寻 1

A=12

由定义，有

求 P{X V 1, Y v 3}; 概率论&

计幻懸及冬嚓

f (x, y )

Ae (3x 4y) 0,

x 0, y 0,

其他.

(3) P{0 «1, 0之<2}.

F(x,y)

f (u,

v)dudv

y y

12e

(3u 4v)

dudv (1 e 3x

)(1

0 0

0,

e 4y ) 0,

y 0,x 0,

其他

(3) P{0 X 1,0 Y

P{0 X 1,0 Y 2}

1 2

12e

(3x 4y)

dxdy (1

0 0

2}

e 3)(1 e 8

) 0.9499.

5.设随机变量(X , Y )的概率密度为

k(6 x y), 0 x 2,2 y 4,

f

(x , y ) = 0,

其他.

(1

)

确定常数k ; 【解】(1)

(3) 求 P{X<1.5};

(4) 求 P{X+Y < 4}.

【解】

(

1)由性质有

2 4

f(x,y)dxdy ° 2 k(6 x y)dydx 8k 1,

1 3 1

02

8*(6 x y)dydx

⑶ P{X 1.5} f (x, y)dxdy 如图 a f (x, y)dxdy

x 1.5 D1

⑷ P{X Y 4} f (x, y)dxdy如图 b f (x, y)dxdy

X Y 4 D2

a] 2 4

(a) (b)

题5图

6.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,

0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）

P{YN}.

(2) P{X 1,Y 3} 1 3 f (x,

1.5 4 1

dx

2 8(6 x y)dy

27

32

(6

1 - y)

f Y（y）5e5y, y 0,

0, 其他.

所以

f(x, y)X,Y 独立 f x (x)gf Y (y)

f (x, y)dxdy 如图 25e 5y dxdy

D

0.2 X -5y

0.2

5x

dx

0 25e

dy 0 ( 5e

5)dx =e -1

0.3679.

X ，Y )的联合分布函数为

F

（x ，y ）=（

；

e 4x )(1 e 2y

),

x 0,y 0,

其他.

求（X , Y ）的联合分布密度.

【解】（1）因X 在（0, 所以X 的密度函数为

题6图

0.2）上服从均匀分

布，

f x (x)

丄

0,

0 x 0.2,

其他.

f Y (y)

5e 5y 0,

y o,

其他.

1 5y

5e

0.2

0,

25e 5y

0,

0 x 0.2 且 y 0,

其他.

⑵ P(Y X)

y

7.设二维随机变量（