排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理

1.乘法原理和加法原理

（1）乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1

m 种不同的方法，第2步有2

m 种不同的方法，，第n 步有n

m 种不同的方法，那么完成这件事共有1

2

n

N m m m =种不同的方法. （2）加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法

中有1

m 种不同的方法，在第2类办法中有2

m 种不同的方法，，

在第n 类办法中有n

m 种不同的方法，那么完成这件事共有

12n

N m m m =+++种不同的方法.

【注意】

应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.

2.排列组合

（1）排列的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m

n

P 表示.

（2）排列数公式：!

(1)(2)(1)(,*,)

()!

m

n

n P n n n n m m n N m n n m =---+=

∈≤-，!

n n

P

n =，

规定：0!1=.

（3）组合的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素组

成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从

n

个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做

从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n

C 表示. （4）组合数公式：

(1)(2)(1)!!!()!

m m n n

m m P n n n n m n C P m m n m ---+===

-

（5）组合的两个性质：①m n m n

n

C

C -=；②11

m m m n n n C

C C -++=

【注意】解决排列组合问题常见的解题方法有： 直接法，间接法，捆绑法，插空法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。

（1）直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。

（2）间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。

（3）捆绑法：关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。 （4）插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此

限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，这种方法叫插空法。

二项式定理

（1）二项式定理：0111*

(),n

n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈

（2）通项：1

,0,1,2,

,.

r n r r r n T C a b r n -+==

（3）二项式系数的性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式

系数相等，即0n n n

C

C =，···

1k

k n n

C C -=

②二项式系数和：令1

a b ==,则二项式系数的和为

012

2r

n n

n n n n n C C C C C +++

++

+=，

【注意】

①项数：展开式中总共有(1)n +项.

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n

a b +与

()n

b a +是不同的.

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指

变形式1221

r

n

n n n n n C C C C +++++=-．

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0

n n

n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，

从而得到：0

24213

21

1

1222

r r n n n

n n n n n n C

C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++

++⋅⋅⋅=⨯=

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0011222

0120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++

+=+

+++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135

(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n

n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②

①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值．

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间

两项的二项式系数12n n

C -,12n n

C +同时取得最大值．

⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定

系数法．设展开式中各项系数分别 为1

2

1

,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有

112

r r r r A A A A +++≥⎧⎨

≥⎩，从而解出r 来．

(4)常用的结论：

【二项式定理主要应用】