2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷

2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷考生注意： 2013.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式1|2|≤-x 的解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B= . 4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5. 【理科】若函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，则=--)8(1f.6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式 为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意 取两个，则编号的和是奇数的概率为 （结果用最简分数表示）8. 在210(2x 的二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅= .11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.12. 【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，则11MC MD+ 的最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 .（第4题图）S14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）非充分非必要条件.16. 【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）的焦点坐标为……………………（ ） （A ）)0,(22b a +±. （B ）)0,(22b a -±. （C ）)0,2(22λ-+±b a . （D ）),0(22b a +±.17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是…………………（ ） （A ）7. （B ）8. （C ）9. （D ）10.18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是…………………………………………………………………………………（ ） （A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm . （1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，P（第18题图）如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 52、求动点A 的轨迹方程； 53、记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ． （1）求c ； （2）求)42cos(π-B 的值．22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1nn n B B ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.（第20题图）【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（2）若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为 “H 函数”,求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式.2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan 5.93 6.32n a n =-（*N n ∈） 7.538.180 9.1- 10.3 11.【理科】1021 12.1 13.1:1 14.)2,43[二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶的质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分 )31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分（2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分 在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a bA B = 则36343226sin sin =⨯=⋅=a Ab B …………2分 由于B 为锐角，则33cos =B ……2分 313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B 所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. ………1分 （证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.） （2）由（1）得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+， 逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n a 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分（3）由（2）n a 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。