圆与圆的位置关系点评(广东深圳中学张建强)
圆与圆得位置关系
共心
定义
两个圆有共同的圆心，但半径不相等。
性质
共心的两个圆具有相同的圆心，但半径不同。它们有公共 的弦和弧。
判定
可以通过比较两个圆的圆心距和半径来判断两个圆是否共 心。如果圆心距等于两个圆的半径之和或差，则两个圆共 心。
1 2
定义
两圆的圆心之间的距离等于两圆的半径之和或差。
特征
两圆只有一个公共点。
3
示例
两个相距1厘米的圆，半径分别为3厘米和4厘米。
04
相切关系
外切
定义
两个圆心之间的距离等于两个圆 的半径之和，即两圆外切。
性质
两圆外切时，两圆的交点只有一 个，且该交点为两圆的切点。
判定
若两圆在某点相切，且该点到两 圆心的距离之和等于两圆的半径
03
相离关系
外离
定义
两个圆心之间的距离大于两圆的半径之和。
特征
两圆没有公共点。
示例
两个相距1厘米的圆，半径分别为2厘米和3厘米。
内含
定义
一个圆的圆心位于另一个圆内，或者一个圆的半径小于另一个圆 的半径。
特征
一个圆完全位于另一个圆内。
示例
一个半径为2厘米的圆完全位于Leabharlann 个半径为4厘米的圆内。相切相离
圆与圆的位置关系
contents
目录
• 圆与圆的位置关系概述 • 相交关系 • 相离关系 • 相切关系 • 特殊位置关系
01
圆与圆的位置关系概述
定义与分类
定义
两个圆之间的相对位置关系，可以通过它们之间的位置关系来描述。
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系
圆与圆的位置关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个圆之间的相对位置关系。
在本篇文章中，我们将对圆的位置关系进行详细阐述，包括重叠、相切、外离等多种情况。
1. 重叠
当两个圆的大小、位置完全相同时，它们重叠在一起，形成一个都包含了两个原圆的圆形。
在这种情况下，两个圆的半径相等，圆心坐标完全重合。
2. 相切
当两个圆的半径相等时，在它们的外部可画一条公共切线，使得两个圆分别和切线在同一点相接。
3. 内含
当一个圆完全被另一个圆包含时，这两个圆的位置关系称为内含。
对于内含的情况，大圆半径大于小圆半径，同时两个圆的圆心坐标不同。
4. 外离
外离是指两个圆之间没有任何重叠部分的位置关系。
我们可以将两个圆连接起来画出一条连接线，如果这条连接线在两个圆的外部，则两个圆是外离的。
5. 相交
当两个圆互相交叠时，它们的位置关系称为相交。
对于此种情况，相交的两个圆心坐标不同，且两个圆的半径也不相同。
6. 相离
当两个圆没有任何交叉部分时，称其位置关系为相离。
此时，两个圆的距离即为两个圆的半径之和。
总之，圆与圆的位置关系主要有重叠、相切、内含、外离、相交、相离等类型。
这些位置关系有时对于圆的制作、建模和各种场景中的设计非常重要。
今天的阐述到这里，希望您能够更加深入地理解圆与圆之间的位置关系，同时适用于实际生活和工作的场景。
空间几何的圆与圆的位置关系
空间几何的圆与圆的位置关系在空间几何中，圆是一种重要的几何形状，而不同圆之间的位置关系也是我们研究的重点。
本文将介绍圆与圆之间的三种主要位置关系：相离、相切和相交。
一、相离如果两个圆在空间中没有任何交点，则称它们为相离的。
相离的两个圆的圆心到达的距离大于两个圆半径之和。
相离的两个圆没有任何交点，它们之间的距离可以任意远。
二、相切当两个圆的内切圆、外切圆或者一个圆的内切圆与另一个圆的外切圆相切时，我们称它们为相切的圆。
相切的圆之间有且仅有一个公共切点。
下面我们分别介绍内切圆和外切圆的情况。
1. 内切圆当两个圆的圆心距离等于两个圆半径之差时，这两个圆相切于内切圆。
内切圆的圆心与外接于两个圆的两条切线垂直，并且与两条切线的交点均在两个圆的连线上。
2. 外切圆当两个圆的圆心距离等于两个圆半径之和时，这两个圆相切于外切圆。
外切圆的圆心与过相切点的法线交于两个圆的圆心连线上。
三、相交当两个圆在空间中有交点时，我们称它们为相交的圆。
相交的圆之间可以有两个交点、一个交点或者无穷多个交点。
下面我们分别介绍两个圆的四种相交关系：相离、外离、内含和相交。
1. 相离如果两个圆不相切且两个圆心之间的距离大于两个圆半径之和，则这两个圆相离。
2. 外离如果两个圆不相切且两个圆心之间的距离等于两个圆半径之和，则这两个圆外离。
3. 内含如果一个圆完全位于另一个圆内部，它们之间没有任何交点，则这两个圆内含。
4. 相交如果两个圆有交点，它们既不相离、外离也不内含，则这两个圆相交。
在空间几何中，圆与圆的位置关系涉及到圆心之间的距离、圆半径以及切线的垂直性等几何性质。
通过对圆与圆之间位置关系的研究可以帮助我们更好地理解空间中的几何形状和关系，为实际问题的解决提供指导和借鉴。
通过以上对圆与圆位置关系的介绍，我们可以更好地理解在空间几何中，圆与圆之间的相离、相切和相交的情况，以及相切的内切圆和外切圆的特性。
这些位置关系的理解对于解决实际问题和应用几何概念具有重要意义。
圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）
圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的定义圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的知识扩展1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）4、两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。
（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。
◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的特性圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r（没有交点）两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)两圆内切d=R-r（R>r） (有一个交点,叫切点)两圆内含d<R-r（R>r）(没有交点)两圆相切的性质：（1）连心线：两圆圆心的连线。
（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。
◎圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）的教学目标1、掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题。
圆与圆的位置关系解读
圆与圆的位置关系解读如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆． 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．【类比思考】 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆的公共点的个数及点与圆的位置关系来判定,能否像点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系一样,也用数量关系来表示圆与圆的位置关系呢?又需要几个量呢? 如果设两圆的半径为 1r 、2r ,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表典例1 两圆半径是R 和r(R ＞r),圆心距是d,且R 2＋d 2 - r 2=2dR,则两圆的位置关系为( )A.相交B.内切C.外切D.内切或外切【解析】根据R 2＋d 2 - r 2=2dR 这一已知条件,来推出圆心距 d 与两圆的半径R 和r 之间的大小关系,从而得出两圆的位置关系.因为 R 2＋d 2-r 2=2dR ，所以 R 2-2dR ＋d 2=r 2，即 R-d)2=r 2,r=±(R -d)所以 d=R-r 或d=R ＋r,故选D.典例2 在平面直角坐标系中,两圆的圆心坐标分别为（0,1）和（1,0）,其半径分别是1和2,则这两个圆的位置关系是( )A.外离B.相切C.相交D.内含【解析】本题借考两个圆的位置关系,而关键是在平面直角坐标系中结合图形利用勾股定理求出圆心距,由条件可得圆心距为2,因为2-1﹤2﹤2+1,所以两个圆的位置关系是相交,故选C.。
27.5 圆与圆的位置关系(课件)九年级数学下册(沪教版)
27.5 圆与圆的位置关系
教师
xxx
目 录
01
03
圆与圆的位置关系
C O N TA N T S
02 相交（切）圆连心线
的性质
01
圆与圆的位置关系
生活中常见的圆与圆之间的位置关系
在上面的情景中，你能发现两圆的哪些不同的位置？分别
用不同颜色的两圆，尝试在展示板上展示出来.
观察⊙O与⊙O’在接近过程中的位置关系？
圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴
经过两圆圆心的直线叫做连心线
连接相交两圆的两个交点的线段
叫做公共弦
探究1.如图，两圆相交，连心线O1O2与公共弦AB有怎样
的关系？
已知：⊙O1和⊙O2相交于点A、B.
求证：直线O1O2是AB的垂直平分线.
你能用推理的方法来说明吗？
相交两圆的性质定理
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
将图（1）中的⊙O1固定，将⊙O2沿直线O1O2向右（左）移动，
当移动到如图外切（内切）时，A、B两点一定重合，这一点
就是外切（内切）两圆的切点，由此可知两圆相切时切点在连
心线上。
相切两圆的性质定理：
相切两圆的连心线经过切点.
例题1.已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，线
段O1O2的延长线交⊙O2于点C，CA、CB的延长线分别
交⊙O1于点D、E.
求证：AD=BE.
例题2：已知⊙O1、⊙O2相交于点D、E,半径分别为15厘米
和20厘米,圆心距O1O2为25厘米,
求两圆的公共弦DE的长。
变式：已知已知⊙O1、⊙O2相交于点D、E,半径分别为15厘
米和20厘米,公共弦DE的长为24厘米,求两圆的圆心距O1O2 。
圆与圆的位置关系
2、已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 与圆 C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0 相交于 A、B 两点，求圆心在直线 y＝－x 上，且经过 A、B 两点的圆的方程．
3、过原点 O 作圆 C：x2＋y2 为 P、Q，求线段 PQ 所在的直线方程．
例1变式：
求半径为 8 且与圆 C：x2＋y2＋10x＋10y＝0 切于原点的圆的方程．
§9.6
圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1．圆与圆的位置关系（五种）： 2．判断圆与圆位置关系的方法：
3．两圆公共弦问题：
【知识梳理】
1．圆与圆的位置关系（五种）：外离、外切、相交、内切、内含． 2．判断圆与圆位置关系的方法：
(1) 几何法： 圆心距与两圆半径的和或差的大小关系．
两圆圆心距 d＞r1＋r2，则两圆外离； d＝r1＋r2，则两圆外切； |r1－r2|＜d＜r1＋r2，则两圆相交； d＝|r1－r2|，则两圆内切； d＜|r1－r2|，则两圆内含；
(2) 代数法： 解两圆的方程组成的方程组， 若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交； 若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切； 若方程组无实数解，则两圆相离．
3．两圆公共弦问题：
(1) 当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在
直线方程，这一结论的前提是两圆相交．
(2) 两圆公共弦的垂直平分线是两圆圆心的连线．
(3) 求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
【方法梳理】
1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆 的方程作差得到．
【易错点】
两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
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对张建强老师《圆与圆的位置关系》的点评
魏显峰
这节课给我们的突出感觉是：把一节很普通的内容上出了新意，上出了特色。我们认为，至
少有三个突出的优点：
1、准备充分，学生为本。
为了充分了解学生现状，教师事先布置了有指导的预习作业。我们看到，预习作业中的问题
是经过老师精心设计的，既体现了教材的知识脉络，又能够引领学生在最近发展区内进行思
考。我们看到，教师授课的重点确实源于学生作业中的问题，对学生作业的展示起到了很好
地作用。应该说，教师给了学生足够的信任。而这种信任，来源于对学生的长期了解。
2、结构清晰，数学为基。
教师在课堂上提出了五个层层递进的问题，而这些问题恰恰体现了数学发展的过程。首先，
具体讨论了两种判定方法（how to do），并比较不同的使用条件（when）；然后，引出了高中
再次学习两圆位置关系的必要性（why）；最后，深入研究了一个源于判定方法的问题（how to
develop）。
3、站位较高，反思深刻。
张老师在上完课后，介绍了自己的设计理念，比如“多解归一”的两个思维角度、“五阶段二
十点”的备课理论以及“三层四段五问”教学模式等等。这些说法虽然不一定正确，值得商
榷；但是，经常思考、总结归纳的习惯却是一个青年教师快速进步的必备特质。