专题《解析几何》的一轮复习分析与指导

专题：《解析几何》的一轮复习分析与指导学校：人大附中主讲人：吴中才一、专题内容分析（一）本专题知识体系的梳理本专题内容在高中数学中衔接几何与代数，充分体现了数形结合，重点研究如何用代数方法解决几何问题，如何在代数与几何之间实现问题与解答的转化．从学习者的角度来看，解析几何的学习需要培养数形结合的思想、较强的运算能力和一定的几何与代数的转化能力；从教学者的角度来看，解析几何的教学除了遵循学习者的要求外，还需要重视常规与规范的训练．本专题的知识体系结构为：（二）本专题中研究的核心问题本专题研究的核心问题是如何用代数语言表示几何元素，进而用解析方法（坐标法）解决几何问题．因而，首先要复习直线、圆、圆锥曲线的方程，然后要用方程研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，能够在数和形之间相互转化，综合运用几何方法与解析方法解决几何问题．解析法是借助代数方法解决几何问题的一种方法，解决几何就是利用坐标方法解决几何问题过程中形成的一门学科，它对贯穿代数与几何起着十分重要的作用．（三）本专题蕴含的核心观点、思想和方法解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门学科，它把形与数有机地结合起来．一方面，将几何问题代数化------用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；另一方面，将代数问题几何化------分析代数语言的几何含义，使代数语言更直观、更形象地表达出来．解析几何的核心观点就是用恰当运用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合思想，核心方法是坐标法．数形结合思想和坐标法是统领全局的，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题一门学科．用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，让“形”与“数”对应起来，将“形”进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来．用图可以简略表示为：例如，直角三角形ABC 中，CB ＞CA ，点D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足BE ＝CA ，AD ＝CE ，AE 与BD 交于点F ，求∠AFD 的度数．D CB二、典型考题解构虽然解析法可以少想多算，甚至以算代想，但是如果能够合理适当运用几何关系，则可以减少运算量．例1. 【2013高考北京理第19题】已知A ，B ，C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．这道题实质上是研究四边形OABC 的形状有没有可能是菱形，如果是，它的面积是多少？由于只有当B 为椭圆W 的顶点时，四边形才可能成为菱形，其它情况均不可能成为菱形，因而设计出两个问题：一是特殊情况（B 为右顶点）求菱形面积，一是一般情况（B 不是顶点）探究四边形OABC 是否可能为菱形．其中渗透了分类思想，考查了反证法，几何特征的代数化，运算能力等．点 坐标 曲线 方程几何特征数式和数量关系从备考者的角度看，本题的解答需要我们具备以下储备：菱形的几何特征的选择及其代数化，反证法，代数运算能力．特别是第(2)题究竟选择菱形的什么几何特征入手对后续的代数运算有较大的影响．因此，在复习教学中，我们应当做好以下几个环节：（1）落实解析几何的基础知识：包括直线方程与斜率，圆与圆锥曲线的方程和性质，点、直线、圆和圆锥曲线之间的位置关系，等等．（2）适当复习几何图形的几何特征：包括角分线的性质、直线垂直、线段平分、点共线、线共点、线段相等、面积相等、特殊四边形的性质与判定等等．（3）总结几种题型的研究方法：包括弦长与面积等度量问题、探究问题、存在性问题、最值问题、定点问题、定值问题、共点问题、共线问题等等．（4）适当渗透数学思想方法：包括数形结合思想、解析思想、方程思想、函数思想、不等式方法等等．附1：【2014海淀一模19】已知,A B是椭圆22+=上两点，点M的坐标为(1,0).:239C x y∆为等边三角形时，求AB的长；（Ⅰ）当,A B两点关于x轴对称，且MAB∆不可能为等边三角形.（Ⅱ）当,A B两点不关于x轴对称时，证明：MAB附2：【2015朝阳一模理19】（题见“教学资源”）例2. 【2015海淀一模第19题】（题见“教学资源”）第（Ⅱ）题的解答思路对学生来说不太自然．如果要证“不存在”这样的菱形，学生可能会想到按答案思路去找矛盾．但问是否存在，对学生而言，很可能会想到用t和m表示出C点坐标，再利用AC⊥BD将t消去，最终得到m的一元二次方程．再看看m在范围内是否有解．三、教学目标的分析与定位通过平面解析几何的学习，体会用代数方法处理几何问题的思想、进一步体会数形结合的思想方法，是本章最根本的思想教学目标．结合课标要求与北京市考纲要求，本专题的重点内容有：直线平行与垂直的条件，直线的几种方程形式，距离公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆与抛物线的定义、标准方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系（主要是直线与椭圆的位置关系）．在平面直角坐标系中建立直线、圆与圆锥曲线的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互间的位置关系，这是本章学习的核心内容和重点知识目标．解析几何把数学的两个基本对象——形和数有机地联系起来，这就使得坐标法的作用更加明显，这对于人们发现新结论也具有重大意义．我们在用坐标法解决几何的过程中，除了将“形”翻译为“数”和将“数”翻译为“形”这两个环节外，还有一个关键环节就是代数运算，这也是很多学生的弱点．因此，通过具体问题的解答示范与训练，培养学生数形结合的思维习惯，形成用代数方法解决几何问题的能力和一定的代数运算能力，是本章最突出的能力教学目标．以下是具体内容的课标要求和北京市高考考试说明的要求：（一）课标要求1. 直线和圆的方程（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．2. 圆锥曲线与方程（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题．⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．（2）曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．四、教学实施建议解析几何的教学要立足引导学生数形结合，将几何关系与代数运算有机结合，学习解决问题的通法，避免单纯地进行题型归类和将解答过程模式化．既要培养学生的转化能力和运算能力，又要引导学生理解其中的方程思想与函数思想．针对具体的教学，有如下几点建议：1、切实掌握基础知识按课标要求与高考考试说明的要求，落实基础知识的复习． 2、切实形成基本运算能力解析几何题一般都涉及到直线与圆锥曲线的综合问题，因而联立直线与圆锥曲线的方程，消元得一元二次方程，根据韦达定理写出根与系数的关系，计算判别式，这些都是基本的运算量，也是研究解析几何问题的一般基础．教学时，要学生通过训练形成基本运算能力．3、掌握一些常见的几何关系与几何特征的代数化 ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式③三角形面积： 21底×高，正弦定理面积公式④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征4、重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．例3．【2015高考新课标2，理20】已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 本题涉及到弦的中点，可以用“点差法”证明，也可以用韦达定理进行证明．例4．【2014北京理19】已知椭圆22:24C x y +=． （1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.第（2）题考查直线与圆的位置关系，虽然A 、B 两点都在运动变化，但本题的解答思路属于常规思路，只需研究圆心到直线的距离与半径的关系．例5．【2012北京理19】已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线．第（1）题考查曲线方程的分类，第（2）题考查三点共线．三点共线常转化为向量，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG u u u r ，AN u u u r共线，再结合韦达定理即可证，或证0AG AN k k -=．例6.【2015北京理19】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(0,1)P 和点(,)A m n (0)m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用,m n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．第（Ⅱ）题属于存在性探究问题，将OQM ONQ ∠=∠利用三角形相似转化为||||||||OM OQ OQ ON =进行求解，或直接用三角形表示两个角的正切．例7.【2016北京理19】已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.第（2）题考查了定值问题，基本方法就是将|AN|与|BM|分别表示出来，计算其积为定值．用什么量来表示呢？这就涉及到选择参数的问题，可以设()00,P x y ，也可以设()2cos ,sin P θθ．当然，本题还有一个整体求解问题也是一个小难点．例8.【2016全国I 卷】）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 第（Ⅱ）题考查取值范围问题，将四边形的面积转化为某一个变量的函数（设直线的斜率为k ），通过求函数的值域求得范围．5、要重视解题过程中思想方法的提炼与运用 ①坐标法：坐标法是解析几何的基本方法，要能够在具体问题中写出相关点的坐标、直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的方程，并用坐标与方程研究几何问题．②方程思想：解析几何的求解问题基本都转化为求解方程问题，一般地，未知数的个数和方程（或题中独立条件）的个数一样．另外，有些探究性问题也常常转化为对方程解的讨论．③函数思想：对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a 、b 、c 、e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．从另一视角看，当题中独立条件的个数少于未知数的个数时，所研究的问题就会转化为某一个或几个未知数的函数问题．④分类讨论：解析几何问题常常需要分类讨论，例如涉及到直线的斜率是否存在，涉及到最值问题中某个参数是否为0，以及几何背景中某一位置关系是否具有多种可能，等等。